インド式計算11選まとめてみた【かけ算わり算や19×19までの九九や足し算など】

こんにちは、ウチダです。

今日は、計算力を上げるのにもっとも効率的な

「インド式計算(法)」

について、私が感動した計算法の中からオススメ順でご紹介したいと思います！

かけ算わり算や19×19までの九九、単純な足し算において効果抜群ですよ♪

(一部証明もご紹介します。)

インド式計算とは

インド数学では、「ヴェーダ数学」と呼ばれる古来から伝わる計算法を愛用しています。

よく「インド人はITに強い」だったり、「インド人は19×19まで九九を覚えている」だったり、我々日本人からしたら考えづらい話を耳にしますよね。

しかし！

実は高校一年生レベルの数学でそのカラクリが分かるものがほとんどなんです、これが！！

ということで、これを知らずにはもったいない！

という、私が厳選した11個ものインド式計算法(いわゆる秒算術)を、

• おすすめ度
• 感動度
• 実用性

これら3つを加味した上で、順番にご紹介したいと思います♪

インド式計算①【かけ算や2乗】

まずは「掛け算と2乗(3乗)」についてのインド式計算です！

(☆1～☆5で勝手に評価してみました＾＾)

(おすすめ度☆5)(感動度☆5)(実用性☆5)

とある本で「はじめの公式」と名前が付けられていたので、それを採用します！

↓↓↓

※途中で「/(スラッシュ)」が出てきますが、これはインド式計算でよく出てくる「分割法」と呼ばれる技法です。2つに分けて考えることで、思考がスッキリします。

これについては、仕組みも単純なので、解説したいと思います。

【仕組みの解説】

2つの数は、$$10a+b,10a+c(b+c=10)$$と表せる。(ここがポイント！)

ここで、2つの数の掛け算を考えると、

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

(終了)

いかがでしょうか。

今2つの数に与えられた条件を正しく文字で置き、分配法則で計算し、途中で$$b+c=10$$を代入して整理すれば、簡単に求めることができましたね！

$100a(a+1)$ という部分が「/」の前の部分の計算に当たり、$bc$ という部分が「/」の後の部分の計算になる、というわけです。

何問か練習してみましょうか。

(1)　52×58

(2)　91×99

(3)　43×47

(4)　123×127

答えは以下のようになります。

↓↓↓

(1)　$6\times 5/2\times 8\to 30/16\to 3016$

(2)　$10\times 9/1\times 9\to 90/09\to 9009$

(3)　$5\times 4/3\times 7\to 20/21\to 2021$

(4)　$13\times 12/3\times 7\to 156/21\to 15621$

注意するのは(2)で「09」とするところと、(4)のような3桁×3桁でも同じようにできる、というところぐらいですかね。

文句なしの満点公式だと思います♪

ではじゃんじゃん行きましょう！！

(おすすめ度☆5)(感動度☆4)(実用性☆5)

今度は先ほどの「はじめの公式」の逆バージョン、つまり「一の位の数が同じで、十の位の数の和が10である」場合について、いきなり仕組みから考えていきましょうか。

【仕組みの解説】

2つの数は、$$10a+c,10b+c(a+b=10)$$と表せる。(ここがポイント！)

ここで、2つの数の掛け算を考えると、

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

(終了)

先ほどとほぼ同じように変形していくことで、$$100(ab+c)+c^2$$という式が結論として得られました。

これを具体的な計算に当てはめるとこうなります。

では今度も練習問題を何問か解いてみましょうか。

(1)　56×56

(2)　19×99

(3)　32×72

答えは以下のようになります。

↓↓↓

(1)　$5\times 5+6/6\times 6\to 31/36\to 3136$

(2)　$1\times 9+9/9\times 9\to 18/81\to 1881$

(3)　$3\times 7+2/2\times 2\to 23/04\to 2304$

ウチダ

この公式もおススメ度は文句なしの☆5だと思います♪

(おすすめ度☆4)(感動度☆3)(実用性☆5)

こんな感じで、いよいよ「19×19」までの九九をやっていきます！

…よくよく考えれば、「19×19までの九九(9×9)」って可笑しいですね(笑)。

これは、例えば$$13\times 17$$などを考えてみましょうか。

10~19の2桁の数どうしの掛け算であれば、2つの数を、$$10+a,10+b(0\leqq a,b\leqq 9)$$

というふうにおけますね。(ここがポイント！)

よって、2つの数の積を計算すると、

(終了)

ただし、ここで気をつけなければならないのは、結果として得られた$$10(10+a+b)+ab$$の最初の数字が100ではなく10であること！

この事実により、前まで2桁ずつで分割していたのが、少し変わってきます。

正確には繰上り(くりあがり)を考えなくてはなりません。

したがって、以下のような計算になります。

今度も練習問題を解いてみましょう。

(1)　12×13

(2)　16×13

(3)　19×19

答えは以下のようになります。

↓↓↓

(1)　$10+2+3/2\times 3\to 15/6\to 156$

(2)

$10+6+3/6\times 3\to 19/18\to 19+1/8\to 208$

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

(3)

$10+9+9/9\times 9\to 28/81\to 28+8/1\to 361$

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

(おすすめ度☆4)(感動度☆1)(実用性☆∞)

実用性☆∞としましたが、いつでもどこでも使えるものをご紹介しましょう。

先ほどの $13\times 17$ を例にとってやってみます。

$$13\times 17=13\times (10+7)=130+91=221$$

はい、ただの分配法則ですね！！

ですが、やはり分配法則はいついかなる時でも使えるので、実用性はものすごく高いです。

(今までの3つは特定の場合には驚異の威力を発揮しましたが、この計算法はいつでもそこそこの威力があります。)

やっぱり、分配法則って大切な法則なんですね…

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これと同様に、分配法則から作られる「2乗の展開公式」も、インド式計算ではかなり役に立ちます。

(おすすめ度☆3)(感動度☆2)(実用性☆4)

たとえば、${102}^2$ を計算してみますか。

$${102}^2\to 102+2/2^2\to 104/04\to 10404$$

これ、結構驚きですよね！！

このように、100付近の数は2乗が大変簡単にお求めやすくなっております(笑)。

まあ、これも、公式を使えば簡単に示せます。

↓↓↓

【仕組みの解説】

2乗する数を、$$100+a$$とおく。

よって、

(終了)

これは、$a$ がマイナスでも使えます。

試しに練習してみましょう。

(1)　${103}^2$

(2)　${97}^2$

(3)　${201}^2$

(4)　${48}^2$

答えは以下のようになります。

↓↓↓

(1)　$103+3/3^2\to 106/09\to 10609$

(2)　$97-3/3^2\to 94/09\to 9409$

(3)　$(201+1)\times 2/1^2\to 404/01\to 40401$

(4)　$(48-2)÷2/2^2\to 23/04\to 2304$

(3)、(4)については、100に近い数の2乗の公式をもとに、200に近い数の2乗や50に近い数の2乗の公式を実際に作ってみれば、納得できるかと思います。

やっぱり、掛け算や2乗は計算の基本である上によく問われますから、いろんな方法があるのですね…

(おすすめ度☆2)(感動度☆5)(実用性☆1)

では掛け算編の最後として、感動度がマックスだけどあんまりおすすめはしない方法をご紹介しましょう。

$321\times 13$を例にやってみます。

↓↓↓

図のように、$321$ なら 「3本、2本、1本」という風に線を書いて、そこに $13$、つまり、「1本、3本」の線を書き、交点の数を求め、並べれば答えが出るよーというやり方です。

このやり方を見た時、「マジか、すげー！！」と感動しましたが、この図自体を書くのがまあまあ面倒なのと、$$321\times 13=321\times (10+3)$$と分配法則で計算してもそこまで大変ではないことを考えると、実用性はないのかなーと感じています。

仕組みも単純ですからね～。

…とまあ、掛け算編で6つもご紹介してしまったので、ここからはサクッと行きますね☆

インド式計算②【割り算】

割り算編は、「概算法」「分数法」この2つをご紹介します♪

ウチダ

特に「分数法」は、感動ものですよ！！

(おすすめ度☆3)(感動度☆2)(実用性☆4)

まずは「概算法」です。

この方法は文字通り、「概ね(おおむね)の計算法」ですので、正確な値ではありませんが、大体の値を知りたいときなんかに非常に重宝します。

たとえば、$$2786÷119$$を計算しようと思ったら、かなり骨が折れますよね。

こういう時に、$$2786÷119\fallingdotseq 2790÷120$$としてしまえば、そこまで難しい計算は必要なく、$$2790÷120=23.25$$と大体の値が出るよーという方法です。

実際、$$2786÷119=23.4117647\dots$$ですので、誤差±0.2です。

中々の精密度合いですね。

(おすすめ度☆2)(感動度☆5)(実用性☆4)

今度はマジで感動する「分数法」です。

$73÷139$ を例にやってみます。

↓↓↓

Step1は簡単ですが、Step2はどういうことなんでしょうか…

まず、$73÷14$ 計算します。

すると、$73÷14=5あまり3$ ですね。

そしたら、$5$ を答えの列に、$3$ を余りの列に書きます。

そこで、斜めに囲った $35$ という数が次 $14$ で割る数になります。

また同じことをしてみると、$35÷14=2あまり7$ ですね。

これを繰り返すと、なんと厳密に答えと一致してしまう！！

これマジですごくないですか！？

ちなみに、これは「わる数が9でおわる場合のみ」に使える方法でして、例えば「わる数が8でおわる場合」だと以下のようになります。

$$\frac{73}{138}\to \frac{73}{140}=\frac{73}{14}\times \frac{1}{10}$$

ここまでは一緒ですが…

先ほどのに一行「商×(9-8)」が追加されます。

あとは同様にできて、これもなんと厳密に答えと一致します！

さて、これ、なぜ成り立つのか、不思議でしょうがないですよね！

ですが、これを証明するには割る数割られる数の関係式をごちゃごちゃ式変形したり、少し面倒な計算が必要です。

なので、見たい方だけ見て、感動だけで十分な方は読み飛ばしてください(笑)。

【仕組みの解説(割る数が9で終わる場合)】

割られる数を $x$ とする。

ここで、割る数を、$10\times a+9$ と置くことができる。

よって、商を $Q$ 、余りを $R$ とすると、$$R=10x-(10a+9)Q\dots \dots ①$$となる。

ここで、インド式計算法においては、割る数を1プラスするので、$\frac{1}{10}x$ を $a+1$ で割る場合について考える。

このときの商は $Q$ で一緒だが、余りが異なるため、$R^{\prime }$ と置く。

すると、$$R^{\prime }=x-(a+1)Q\dots \dots ②$$となる。

①、②より、$$10R^{\prime }+Q=10x-(10a+10)Q+Q=R$$

よって、$R^{\prime }$ を10倍したものに商 $Q$ を加えたものが、もとの余り $R$ と一致するため、それを $(a+1)$ で割りまた同じ操作をすることで、永遠にもとの計算と同じ結果が得られることが分かる。

(終了)

①、②の理解が少し難しいですが、$$10R^{\prime }+Q=R$$となるのは美しすぎると言わざるを得ません。。。

ただ、この分数法、いつ使うかは不明です。

だって、割り切れない筆算をずっとやらなくてはならないケースって、かなり珍しいですからね～。

それよりも、無限に続く数であれば、「～より大きい(小さい)」だったり、「～とほぼ等しい」といった評価のほうが重要になってくるケースが多いと思います。

なので、おすすめ度は☆2としました。

まあでも、使いこなせたら、3行ぐらいで簡単に計算できてしまうし、めちゃくちゃ実用的ではありますけどね！

(補足)
ちなみに、「割る数が7で終わる場合」なども、同じ考え方で拡張可能です。

インド式計算③【足し算引き算】

足し算引き算のコツは、ズバリ「分割法」です。

かけ算の時にも散々出てきましたが、分割法はインド式計算法の基本中の基本なので、必ず押さえておきましょう♪

(おすすめ度☆3)(感動度☆1)(実用性☆4)

たとえば、$2561+423$ などをやってみましょうか。

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

やってることは掛け算の時とそんなに変わらないですね。

では、練習問題をやってみましょう。

(1)　262+537

(2)　1897+654

(3)　3429－492

答えは以下のようになります。

↓↓↓

(1)　$2/62+5/37\to 7/99\to 799$

(2)

$18/97+6/54\to 24/151\to 24+1/51\to 2551$

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

(3)

$34/29－4/92\to 30/－63\to 29/100－63\to 29/37\to 2937$

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

分割法で重要なのは、分割する位をそろえることです。

それさえ守れば、くりあがりも自然とできるようになり、応用が利くでしょう。

インド式計算④【平方根と立方根】

それではここからは、四則演算以外の計算について見てみましょうか。

「平方根」というのは、つまり「√(ルート)」のことで、「ある数に対して、平方(2乗)すると元の数に等しくなる数」ですね。

よって「立方根」は、「ある数に対して、立方(3乗)すると元の数に等しくなる数」のことです。

これらを求める際には素因数分解もいいですが、ぜひ「末尾の法則」を使いこなしましょう！

(おすすめ度☆4)(感動度☆4)(実用性☆3)

今からやる方法は、「完全平方数」や「完全立方数」のみに対して有効です。

例えば$$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$$という風に、$12$ の平方根は整数になりません。

ようはこういう数ではなく、$$\sqrt{25}=5$$のように、平方根も整数になる数に対してのみ有効である、ということです。

早速ですが図をご覧ください。

↓↓↓

今、末尾のみに注目しました。

この図から分かることは、末尾のみに注目さえすれば、候補はだいぶ絞れるということですね！

平方根でもだいぶすごいですけど、立方根だとさらなる威力を発揮しますよ！

↓↓↓

よって、完全立方数の立方根を求める場合には、「末尾を見れば一の位は分かる」ということになります！

では、こんな練習問題を解いてみましょうか。

解答に移ります。

↓↓↓

【解答】

(1)　末尾が9なので、一の位の候補は「3か7」である。

また、$${50}^2=2500$$$${60}^2=3600$$なので、候補は「53か57」である。

候補が2つまで絞られたら、何らかのインド式計算法を用いて、$${53}^2\to (53+3)÷2/3^2\to 28/09\to 2809$$$${57}^2\to (57+7)÷2/7^2\to 32/49\to 3249$$

よって、3249の平方根は57である。

(2)　末尾が4なので、一の位の候補は「4」のみである。

また、$${30}^3=27000$$$${40}^3=64000$$なので、候補は「34」のみである。

よって、39304の立方根は34である。

(終了)

ちなみに、3乗についても展開の公式を用いることで比較的簡単に計算することができます。

インド式計算⑤【検算】

さて、最後は「検算(たしかめ算)」の方法についてです。

こんなところにまでインド式があるの！？と疑ってしまうぐらい、ヴェーダ数学は奥が深いですね～。

皆さん、たしかめ算に対してどのようなイメージをお持ちですか？

おそらく大多数の方が、「必要なのはわかっているけど正直めんどくさい」という印象を持たれているかと思います。

僕も同感です。

だって、一度計算したのにもう一回同じことを繰り返すのは、苦でしかないですもんね。

しかし、今からやる検算の方法は、「同じことは繰り返さないけど、高い正確性で検算ができる」という、非常に画期的なものです。

ぜひ、マスターしてください♪

(おすすめ度☆5)(感動度☆4)(実用性☆5)

その方法とは、「ナヴァシェシュ」と呼ばれるインド数学特有の概念です。

たとえば、1984という数のナヴァシェシュを次のように求めます。

$$1984\to 1+9+8+4\to 22$$

$$22\to 2+2\to 4$$

つまり、各位の数を足していくのを、0~9になるまで繰り返すということですね。

ナヴァシェシュは「Navashesh」と書くため、$$NV\left(1984\right)=4$$と表すことにします。

ではナヴァシェシュを求める練習をしてみましょうか。

(1)　723

(2)　9928

(3)　-429

答えは以下のようになります。

↓↓↓

(1)　$723\to 7+2+3\to 12$

$12\to 1+2\to 3$

よって、$NV\left(723\right)=3$

(2)　$9928\to 9+9+2+8\to 28$

$28\to 2+8\to 10$

$10\to 1+0\to 1$

よって、$NV\left(9928\right)=1$

(3)　$-429\to -(4+2+9)\to -15$

$-15\to -(1+5)\to -6$

$-6\to -6+9\to 3$(ここは要注意！)

よって、$NV(-429)=3$

(3)のように、マイナスの数に対してもナヴァシェシュは定義できるのですが、注意点としては、「途中まではマイナスを外さない」「どうしようもなくなったら9を足す」この2つですね。

なぜ9を足すのか、これは勘のいい方であればお気づきだと思いますが、9を足すことは「十の位の数を1増やし、一の位の数を1減らす操作なので、ナヴァシェシュの値は変わらない」のですね！！

以上でナヴァシェシュの求め方については大丈夫でしょうか。

さて、ここで肝心の命題です。

この命題が成り立つのですね！

これを利用して、検算を行います。

例をあげましょう。

たとえば、$$42\times 16=672$$これを検算したいと思います。

まず、左辺のナヴァシェシュを求めて、$$NV\left(42\right)=6,NV\left(16\right)=7$$なので、

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

です。

次に、右辺のナヴァシェシュを求めて、

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

よって、両辺のナヴァシェシュが一致したため、計算結果は正しいと考えられます。

どうですか？これぐらいの計算であれば間違わないかもしれませんが、$$356\times 798=284088$$とかになってくると検算したくないですよね。

余裕がある人は、この計算が正しいかナヴァシェシュを使って検算してみて下さい♪

今は掛け算で考えましたが、足し算でも引き算でも、小数が出てこない割り算でもこの検算方法は使えます。

また、仕組み(命題がなぜ成り立つのか)については、「9の倍数の判定法」がヒントです＾＾

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（補足）
ナヴァシェシュは0~9の10通りの値しかとりません。
よって、ナヴァシェシュが一致していれば、確率 $\frac{1}{10}$ が起きているため、結果が違うことはそうそうないだろう、という判断ができますよね。

実際、計算ミスがあるときは、472を462と書いてしまったり、そういう些細な凡ミスが多いわけで、そういう時は大概ナヴァシェシュの値も異なってしまうため、確率的には90％以上の精度があると考えられます。

インド式計算に関するまとめ

いかがだったでしょうか。

ウチダ

ものすごいボリュームになってしまいました(^_^;)

ここで挙げたのは、あくまで僕個人が感動したインド式計算です。

なので、これ以外にも、紹介しようと思えばもっとあります。

しかし、これ以上のボリュームになると収拾がつかないなあ、と感じここでストップさせました(笑)！

今日の記事を書いた感想ですが、とっっっっても楽しかったです(笑)。

インド式計算は、自分で作ろうと思えば作れるものもあったり、奥が深いけど親しみのあるかつ役に立つ分野だと思いますので、ぜひ僕が紹介した11個の方法のうち、何個かでいいので試してみて、マスターしちゃってください！！♪

以上、ウチダでした。
それでは皆さん、よい数学Lifeを！！