10秒で計算してみて！「3003÷9」→暗算できる？

桁数の大きな割り算は、なかなか暗算できないものです。

しかし、「9で割る割り算」に関しては便利な暗算方法があることが分かっています。この暗算方法を使えば、今回の問題も10秒で答えられますよ。

暗算方法の詳細を知りたい人は、ぜひ記事を読んでみてください。

問題

次の計算を暗算でしなさい。答えは整数で求め、余りが出る場合は余りも答えましょう。
3003÷9

※制限時間は10秒です。

解答

正解は、「333余り6」です。

この答えを10秒以内に出す暗算方法は、次の「ポイント」で詳しく解説します。

9で割る割り算には広く使える暗算方法なので、ぜひご覧ください。

ポイント

この問題では、「割られる数の各桁を順番に足していく」という暗算方法がポイントになります（なお、この暗算方法はインド式計算法の一種として知られています）。

具体的には、次のように計算していきます。

<四桁の数1000a+100b+10c+d÷9の暗算方法>
※aは千の位、bは百の位、cは十の位、dは一の位の数を表す（aは1以上9以下の整数、b,c,dは0以上9以下の整数）

以下の手順で、答えの各桁と余りの数を計算します。

手順1：答えの一番大きい位（ここでは百の位）=a
手順2：答えの二番目に大きい位（ここでは十の位）=a+b
手順3：答えの三番目に大きい位（ここでは一の位）=a+b+c
手順4：余り=a+b+c+d

※手順1〜3の計算の途中で答えが10以上になった場合は、繰り上げる。
※手順4で余りが9以上になった場合は、一の位に9の個数分の数を繰り上げる。

では、さっそくこの手順に従って今回の問題を計算してみましょう。

<3003÷9の暗算方法>
1.答えの一番大きい位（ここでは百の位）=3
2.答えの二番目に大きい位（ここでは十の位）=3+0=3
3.答えの三番目に大きい位（ここでは一の位）=3+0+0=3
4.余り=3+0+0+3=6

答え：333余り6

とても簡単に答えが出ましたね。

この暗算方法が成り立つ理由

最後に、この暗算方法が成り立つ理由を数学的に考えてみましょう。

まず四桁の数を「1000a+100b+10c+d」という式で表してから、この式の中に含まれている9の倍数をあぶりだすように変形していきます。

変形する部分を強調した太字部分に注目してください。

1000a+100b+10c+d
=900a+100a+100b+10c+d←1000aを900aと100aに分解
=900a+100(a+b)+10c+d
=900a+90(a+b)+10(a+b)+10c+d←100(a+b)を90(a+b)と10(a+b)に分解
=900a+90(a+b)+10(a+b+c)+d
=900a+90(a+b)+9(a+b+c)+(a+b+c)+d←10(a+b+c)を9(a+b+c)と(a+b+c)に分解
=900a+90(a+b)+9(a+b+c)+(a+b+c+d)
=9{100a+10(a+b)+(a+b+c)}+(a+b+c+d)

「9{100a+10(a+b)+(a+b+c)}+(a+b+c+d)」を9で割ると、答えは「100a+10(a+b)+(a+b+c)」になり、余りが(a+b+c+d)になります。

これは、先に紹介した暗算手順と一致しますね。

繰り上げについて

余力がある人は、繰り上げがある場合についても考えてみましょう。

割り算の答えとなる「100a+10(a+b)+(a+b+c)」の「a」や「a+b」、「a+b+c」は答えの各位の数を表しているので、10以上になったら繰り上げが起こるのは当然です。

また、余りとなるパートの「a+b+c+d」が9以上だった場合、「a+b+c+d=9×e+f（e≧1、0≦f<9）」とすると次のように変形ができます（e,fは整数、fはa+b+c+dを9で割った余りを表しています）。

9{100a+10(a+b)+(a+b+c)}+(a+b+c+d)
=9{100a+10(a+b)+(a+b+c)}+9×e+f（e≧1、0≦f<9）
=9{100a+10(a+b)+(a+b+c+e)}+f

暗算の手順4で余りが9以上になったときの繰り上がりも、これで説明ができますね。

問題によっては答えや余りを求める中で繰り上げを行う必要があります。繰り上げが起こるときの暗算方法や繰り上げが起こる理由についても確認しておくと、対応できる問題の幅が広がりますよ。

まとめ

今回は、9で割る割り算の暗算方法を紹介しました。

この暗算方法は割られる数の各桁を足していくだけなので、とても簡単に答えを求めることができたはずです。特に今回のように割られる数に0が多く含まれている場合は、計算がスムーズに終わります。

÷9の割り算に挑戦するときは、ぜひこの暗算方法を使ってみてください。

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

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文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。