平方完成って微分でも出来ると思ったんだよね。何故かというと、微分を習ったときに極値ってあるじゃん？あの値を導出する事で関数の変化が分かる奴。

二次関数だと極値が一個しかないし微分すれば平方完成と同じことが出来る気がするんだよね。

ちょっと実験してみよう。

まずは適当な関数、出来れば簡単なやつ、こんなのはどうだろう。

f(x)=x2+2x+1$f(x)=x^2+2x+1$

普通に平方完成すると、

f(x)=(x+1)2$f(x)=(x+1{)}^2$

うん、特に難しいこともないね。

じゃあ、これを微分してみよう。たしか…微分の公式にこんなのあったよね。

(x)n=n(x)n−1$(x{)}^n=n(x{)}^{n-1}$

一応証明してみるか。いや、でも他の人が証明してくれてる気もするしいっか。それは兎も角、この公式を利用すると、

f′(x)=2x+2$f^{\prime }(x)=2x+2$

これが0になる点が確か極値だから、

2x+2=0$2x+2=0$

これは明らかに-1だね。でも、平方完成って

f(x)=a(x−p)n+q$f(x)=a(x-p{)}^n+q$

という形で表される…aとqをどうしようかな…。

そうだ！aは元の関数の二乗における係数と同じだから考える必要ないんだった。で、qは実際に代入して求めればいいよね。

f(−1)=(−1)2+2(−1)+1=0$f(-1)=(-1{)}^2+2(-1)+1=0$

つまり、この関数のqは0だから、

f(x)=(x−1)2$f(x)=(x-1{)}^2$

この様に微分を用いて導出できるわけだ。でも、これだけだとテクニックとしても三流だし、一般化してやる必要があるよね。

じゃあ、まず下にあるような二次関数を考えるとするよ。

f(x)=ax2+bx+c$f(x)=a{x}^2+bx+c$

あ、もちろん条件は下にちゃんと置いておくよ。あとa,b,cは実数だからね。虚数でも多分使えると思うけど一応ね、

a≠0$a\ne 0$

じゃあ、さっそく微分しちゃおう。

f(x)=ax2+bx+c$f(x)=a{x}^2+bx+c$

f′(x)=2ax+b$f^{\prime }(x)=2ax+b$

2ax+b=0$2ax+b=0$

x=−b2a$x=-\frac{b}{2a}$

f(−b2a)=a(−b2a)2+b(−b2a)+c$f(-\frac{b}{2a})=a(-\frac{b}{2a}{)}^2+b(-\frac{b}{2a})+c$

f(−b2a)=−b24a+c$f(-\frac{b}{2a})=-\frac{b^2}{4a}+c$

じゃあ、ここまで出たらこの結果を組み立てて、

f(x)=a(x+b2a)−b24a+c$f(x)=a(x+\frac{b}{2a})-\frac{b^2}{4a}+c$

となるね。これは平方完成の公式と一致するね。じゃあ、最後に方法を記入しておくか。

①最高次(2次)の係数をメモしておく。

②微分してその結果を0として方程式を解く。出てきた値をαとする。

③αを関数に代入する。結果をβとする。

④下の式に代入する。

f(x)=a(x−α)2+β$f(x)=a(x-\alpha {)}^2+\beta$