[ノルム空間]
線型空間Xから[0, \infty)への写像\|\cdot\|_Xが
\|u\|_X=0 \Rightarrow u=0
\|au\|_X=|a|\|u\|_X
\|u+v\|_X\le\|u\|_X+\|v\|_X
を満たすとき\|\cdot\|_Xをノルムという.
この定義と0=0uから\|0\|_X=0がわかる.

有界連続関数に, その定義域での値の絶対値の上限を対応させれば, それはノルムである. 他に, 絶対値のリーマン積分の値を対応させてもノルムである. ソボレフ空間は, 開集合で可測な関数の, 自分自身を含む弱導関数の絶対値のルベーグ積分で, 関数とその変化率の大きさ(ノルム)を測る空間で, 偏微分方程式の解の存在を示す上でかなり強力な道具である. さらに強力なべゾフ空間もソボレフ空間の実補間空間である. ソボレフ空間は完備化として定義される.

[バナッハ空間]
ノルム空間Xは
(u, v)\mapsto \|u-v\|_X
を距離として距離空間となる. 完備なノルム空間をバナッハ空間という.

[ノルム空間の完備化]
任意のノルム空間Xに対して, バナッハ空間X'と等長写像i:X\to X'が存在してi(X)はXにおいて稠密である. 他に, バナッハ空間X''と等長写像j:X\to X''が存在してj(X)がX''において稠密であればX'とX''は距離空間として同型である.

[証明と直観的意味]
適切な記号の書き換えをすれば距離空間の場合にも適用できる. CをXのコーシー列全体の成す集合とする. Cに同値関係Rを
\{u_n\}R\{v_n\}\iff \lim_n\|u_n-v_n\|_X=0
と定義する. コーシー列は収束列とは限らないが, 極限が同じと思われる点列を同一視しようという動機である. 実際,
\|u-v\|
\le \|u-u_n\|+\|u_n-v_n\|+\|v_n-v\|,
同様に
\|u_n-v_n\|
\le \|u_n-u\|+\|u-v\|+\|v-v_n\|,
ゆえに
\lim_n u_n=u, \lim_n v_n=v \Rightarrow[ \,\lim_n\|u_n-v_n\|_X=0 \iff u=v\,].
X'=C/R,
i:X\ni u\mapsto i(u)=[\{u, u, u, …\}]\in X'
とする. X'の要素はXのコーシー列たちの極限とみなせるであろう.
u=[\{u_n\}]\in X'に対して
\|u\|=\lim_n\|u_n\|_X
と定義することができる. 実際,
|\|u_m\|_X-\|u_n\|_X|_\R\le\|u_m-u_n\|_X
だから極限は存在し
\|u_n\|_X\le \|u_n'\|_X+\|u_n-u_n'\|_X,
\|u_n'\|_X\le \|u_n\|_X+\|u_n'-u_n\|_X,
ゆえに\{u_n\}R\{u_n\}'ならば\lim_n\|u_n\|_X=\lim_n\|u_n'\|_Xであり, 極限は代表元の取り方によらない.
(庄田敏宏『集合・位相に親しむ』と増田久弥『関数解析』と, とある方の意見を参考にした)

完備性の証明. \{[\{u_n^{(k)}\}]\}をX'のコーシー列とする.
\lim_{k,\ell}\lim_{m, n}\|u_m^{(k)}-u_n^{(\ell)}\|_X
\le\lim_{k,\ell}\lim_{m, n}\|u_m^{(k)}-u_m^{(\ell)}\|_X+\lim_{k,\ell}\lim_{m, n}\|u_m^{(\ell)}-u_n^{(\ell)}\|_X =0
だから任意の自然数kに対して或る自然数n_kが存在して
\lim_{k\to\infty}\lim_{n\to\infty}\|u_{n}^{(k)}-u_{n_k}^{(k)}\|_{X}=0.
ゆえに\{[\{u_n^{(k)}\}]\}は[\{u_{n_k}^{(k)}\}]に収束する.
(北田均『数理解析学概論』を参考にした)

例えば\mathbb{Q}/Rのコーシー列\{\{u_n^{(k)}\}\}をu_n^{(k)}=2^{-k}で定めると\{u_{n_k}^{(k)}\}R\{0, 0, 0, …\}だから\{\{u_n^{(k)}\}\}は[\{0, 0, 0, …\}]に収束する.
(この記事が間違っているという指摘があったが, その反例は反例ではなく具体例だと思われる)

稠密性の証明. 任意の\varepsilon\gt 0, u\in X'に対して或る\{u_n\}\in Cと自然数Nが存在してm, n\gt Nならば
\|u_m-u_n\|_X\lt \varepsilon/2.
よって
\|u-i(u_n)\|_{X'}=\lim_m\|u_m-u_n\|_X\lt \varepsilon.
(よくある証明)

一意性の証明. 写像Fを
F:i(u)\mapsto j(u)
となるように定義するとFはi(X)とj(X)の間の距離同型写像である. i(X)はX'で稠密かつj(X)はX''で稠密であるからFはX'からX''への距離同型写像に拡張される.
(自作)

(END)