fが集合Aから集合Bへの関数とは, fが
f\subseteq A\times B
かつ
\forall x\in A, \exists y\in B, (x, y)\in f
かつ
(x, y_1)\in f, (x, y_2)\in f\Rightarrow y_1=y_2
を満たすことである. A, Bが区間ならA\times Bは長方形であるから, 感覚的には普通の意味での関数と同じであるが, 厳密に定義するとこうなる.

fと, x\in Aに対してf(x)は異なるが, 解析学では「変数xの関数f(x)」という言い方をする. こうしないと記述が大変めんどくさいことになる. 例えば
「関数f(x)をxで微分する」
「関数g(y)をg(y)=\int_0^1 f(x, y)dxで定める」

と言わずに
「関数f:A\to Bを微分する」
「関数g:[0, 1]\to\mathbb{R}を
g(y)=\int_0^1 ([0, 1]\ni x\mapsto f(x, y)\in\mathbb{R})
で定める」
と書いていたら冗長になるだけではなく数学を使う立場の人がわからなくなってしまうし, 変数変換もややこしくなるだろう.

関数の変数という概念が厳密に定義できるに越したことはないが, その必要はないかもしれない.