正の定数Mを2M\lt 1となるように取る. fは0\le f\le M^2を満たす定数とする. uの二次方程式
u=f-u^2
の|u|\le Mを満たす解uの存在を言いたい. \varPhi[u]=f-u^2とする. |u|\le M, |v|\le Mを満たすu, vに対して, 不等式|a+b|\le |a|+|b|より
|\varPhi[u]|\le M^2+M^2=2M^2\lt M,
|\varPhi[u]-\varPhi[v]|
\le |v+u| |v-u|
\le 2M|u-v|
であるからバナッハの不動点定理(縮小写像の原理)より上の二次方程式の解uがu=\varPhi[u], |u|\le Mを満たす不動点uとして得られた.

実際に解の公式を使って解くと, 不等式\sqrt{a+b}\le \sqrt{a}+\sqrt{b}より
(-1-\sqrt{1+4f})/2\lt 0 \le (-1+\sqrt{1+4f})/2\lt (-1+(1+2M))/2=M
であるから整合的である.

(END)