イプシロン論法の形の命題は数学のあらゆる場面で現れる.

Aを数直線\mathbb{R}の区間, a\in AをAの内点とする. 内点という言葉がわからなければaを含む適当な開区間がAに含まれると解釈してもよい.

関数f:A\to\mathbb{R}がaで連続であるとは, 任意の正の実数\varepsilonに対して或る正の実数\deltaが存在して
|x-a|\lt\delta
を満たす任意のx\in Aに対して
|f(x)-f(a)|\lt\varepsilon
となることである.

つまり, xとaの距離が基準\deltaより小さければf(x)とf(a)の距離が基準\varepsilonより小さい, ということだが, 先に\deltaを決めると\varepsilonを小さくできる保証がなくなるので, 先に任意に小さく\varepsilonを決めてそれに応じて\deltaを定めるのである.

例えばA=(-1, 1), a=0, f(x)=x^2としてみよう. |x^2-0|=|x|^2\lt 0.01となるためには|x|\lt 0.1であればよい. |x^2-0|=|x|^2\lt \varepsilonであるためには|x|\lt\delta =\sqrt{\varepsilon}であればよい. 

命題「任意のxに対して或るyが存在してP(x, y)ならばQ(x, y)」の否定は「或るxが存在してyをどのように取ってもP(x, y)でありながらQ(x, y)ではない」であるので,

関数f:A\to\mathbb{R}がaで不連続であるとは, 或る正の実数\varepsilonが存在して任意の正の実数\deltaに対して或るx\in Aが存在して
|x-a|\lt\delta
かつ
|f(x)-f(a)|\ge\varepsilon
となることである.

つまり, 或る基準\varepsilonがあって, 基準\deltaをどんなに小さく取っても|x-a|\lt\deltaを満たすxでf(x)とf(a)の距離が\varepsilon以上離れているようなxが存在することである.

例えばA=(-1, 1), a=0, f(x)=x^2\,(x\neq 0), f(0)=1としてみよう. \delta\lt1となる任意の\deltaに対してx=\delta/2とすれば|x|\lt \deltaかつ三角不等式|p-q|\ge|p|-|q|より|x^2-1|\ge 1-|x|^2\gt3/4である. 3/4は\deltaに依存しない. ゆえにこのfは0で連続ではない.

数列の場合も考えてみよう. 実数列(a_n)が実数aに収束するとは, 任意の正の実数\varepsilonに対して或る自然数Nが存在して
n\gt N
を満たす任意の自然数nに対して
|a_n-a|\lt\varepsilon
となることである.

つまりaの近くを任意に決めると十分大きな番号nに対するa_nは全てその近くにあるということである.

例えば, 数列(1/n)は0に収束する. |1/n-0|=1/n\lt\varepsilonとなるためにはn\gt 1/\varepsilonであればよいからNを1/\varepsilon+1の整数部分とすればよい.

実数列(a_n)が実数aに収束しないとは, 或る正の実数\varepsilonが存在して任意の自然数Nに対して
n\gt N
を満たす自然数nで
|a_n-a|\ge\varepsilon
となるnが存在することである.

つまりNをどれだけ大きく取ってもその先の或るnに対してa_nとaの距離が離れている状況である.

例えば, 数列(1/n)は1には収束しない. 任意のNに対してn=N+1\gt Nとすれば|1/n-1|\ge 0.5となるからである.