(Japanese edition, 2025年3月9日 最終改訂)
この記事は「数学的予想」として書いています. ナビエ-ストークス方程式の, 半群理論やアプリオリ評価を使わない「初等的な理論の構築への挑戦」です.

何かあれば MasatoshiOhrui1993@gmail.com まで

少し書き方や参考文献が違う英語版の記事はこちら:

最近の改訂:2月14日にXの定義を変更, 2月23日に一意性の証明を追加, 3月9日に外力に仮定を追加

研究の動機と概要

長い計算も複雑な計算も無く, 発展方程式の理論は全く用いていない, という意味で初等的な議論を考えた. 解の存在は実は既知であり, 既にある証明は, とてもすばらしい. 例えば, 藤田-加藤理論, 柴田理論: 小川卓克(Takayoshi Ogawa)『非線型発展方程式の実解析的方法』[26]278ページ-281ページ, 柴田良弘(Yoshihiro Shibata)『流体数学の基礎 下』[22]29ページ-41ページ, 柴田良弘-久保隆徹(Yoshihiro Shibata, Takayuki Kubo)『非線形偏微分方程式』[24]184ページ-204ページ, 垣田高夫-柴田良弘(Takao Kakita, Yoshihiro Shibata)[3]『ベクトル解析から流体へ』234ページ-263ページ, 岡本久(Hisashi Okamoto)『ナヴィエ-ストークス方程式の数理』[20] 220ページ-235ページ. しかし半群理論やアプリオリ評価を用いるのは初等的ではないと考えている. ルレイ-ホップの弱解では構成に半群理論もアプリオリ評価も使われないが(例えば, Wasao SIBAGAKI, Hisako RIKIMARU [28]), やはり初等的ではない. またルレイ-ホップの弱解では初期値は任意に大きくとれるが一意性と滑らかさが未解決である. 藤田-加藤理論や柴田理論では解が時間大域的であるためには初期値は小さくなければならない. 私は初期値の大きさに制限のない一意的で滑らかな新しい弱解を考えた. 一意性は境界条件なしに従う. 私は複雑な計算が苦手なので, なんとかあまり計算せずに解の存在が言えないか, 具体的には 『定数係数線型偏微分作用素の局所可解性』

命題0.「\mathbb{R}^N上の任意の定数係数線型偏微分作用素Lの基本解, すなわち LE=\deltaを満たすE \in \mathcal{D}^{\prime}を取ると, Lu=f\in L^1_{\mathrm{loc}}の\Omega上の解のひとつはu=E*\chi_\Omega fである. 実際, 任意の\varphi\in\mathcal{D}(\Omega)に対して,

\langle L(E*\chi_\Omega f), \varphi\rangle
=\pm\langle E*\chi_\Omega f, L\varphi\rangle
:=\pm\langle E(x), \langle \chi_\Omega(y)f(y), L\varphi(x+y)\rangle\rangle
= \pm\langle \chi_\Omega(x)f(x), \langle E(y), L\varphi(x+y)\rangle\rangle
= \langle \chi_\Omega(x)f(x), \langle LE(y), \varphi(x+y)\rangle\rangle
=\langle LE(x), \langle \chi_\Omega(y)f(y), \varphi(x+y)\rangle\rangle
=\langle LE*\chi_\Omega f, \varphi\rangle
=\langle \chi_\Omega(y)f(y), \varphi(y)\rangle =\langle f, \varphi\rangle.」

を用いて物理学的に適切な解の存在が言えないか, 試行錯誤していた.

方針は, ナビエ-ストークス方程式 \begin{cases}\partial_t u -\Delta u=f - \nabla \mathfrak{p}-(u \cdot \nabla)u\\\mathrm{div}\,u=0 \end{cases}

においてLを熱作用素\partial_t-\Deltaとし, 圧力\mathfrak{p}を消去し非線型項(u \cdot \nabla)uを滑らかな関数の列で近似し, 外力\,fと近似項の差に局所可解性を使い, ソボレフ空間において極限を取ったものが解となることを示すことである.

初等的弱解の存在

[記号の定義]
後の都合上, ベクトルの成分の添え字を右上に書く.「関数空間」「空間」は(関数の成す)「線型位相空間」の略, 圧力\mathfrak{p}以外の(超)関数は\mathbb{R}^3-値とする. 通常の関数空間のノルムにおける関数の絶対値を, \mathbb{R}^3-値関数の空間のノルムにおいては数ベクトルの長さ(\mathbb{R}^3の絶対値)と解釈する. 実数値関数の空間と\mathbb{R}^3-値関数の空間を, 記号を簡単にするため同じ記号で書く. |\Omega|を\Omegaのルベーグ測度とする. \chi_{\Omega}を\Omega上の特性関数とする. 任意の自然数m \gt \max\{0+4/1, 0+4/2\}=4, p=1, 2に対してV^{m, p}(\Omega)=\{ u \in C^{\infty}(\R\times\R^3) : \|u\|_{W^{m, p}(\Omega)} \lt {\infty}\}/(u\sim v:\iff u=v\,\mathrm{on}\,\Omega) , V_{\sigma}^{m, p}(\Omega)=\{ u \in C^{\infty}(\R\times\R^3) : \|u\|_{W^{m, p}(\Omega)} \lt {\infty},\mathrm{div}\,u=0\,\mathrm{on}\,\Omega \}/(u\sim v:\iff u=v\,\mathrm{on}\,\Omega) , W^{m, p}(\Omega)とW_{\sigma}^{m, p}(\Omega)はV_{\sigma}^{m, p}(\Omega)のW^{m, p}(\Omega)-ノルムによる完備化で定義されたソボレフ空間:W^{m, p}(\Omega)=\overline{V^{m, p}(\Omega)}^{\| \cdot \|_{W^{m, p}(\Omega)}}, W_{\sigma}^{m, p}(\Omega)=\overline{V_{\sigma}^{m, p}(\Omega)}^{\| \cdot \|_{W^{m, p}(\Omega)}}とする. P:L^2(\Omega)\to L^2_\sigma(\Omega)=\overline{\mathcal{D}_{\sigma}(\Omega)}^{\| \cdot \|_{L^2(\Omega)}}を射影とする. \mathcal{D}(\Omega)は試験関数の空間(集合としてはC_{0}^{\infty}(\Omega)), \mathcal{D}_\sigma(\Omega)は空間変数について発散がゼロであるような試験関数\varphiの成す空間とする([補足1]参照). C^{k, \varepsilon}(\overline{\Omega})はヘルダー空間とする.
\mathcal{X}=\bigcap_{m=5}^\infty W_{\sigma}^{m, 1}(\Omega)\cap W_{\sigma}^{m, 2}(\Omega),
\mathcal{X}'=\bigcap_{m=5}^\infty W^{m, 1}(\Omega)\cap W^{m, 2}(\Omega)
とする. u\in \mathcal{X}に対して
\|u\|_X=\sum_{m=5}^\infty \frac{1}{m!^5}\|u\|_{W^{m, 1}(\Omega)\cap W^{m, 2}(\Omega)},
u\in \mathcal{X}'に対して
\|u\|_{X'}=\sum_{m=5}^\infty \frac{1}{m!^5}\|u\|_{W^{m, 1}(\Omega)\cap W^{m, 2}(\Omega)}
とする. X=\{u\in\mathcal{X}:\|u\|_{X}\lt\infty\}, X=\{u\in\mathcal{X}':\|u\|_{X'}\lt\infty\}とする. 一般にバナッハ空間X, Yに対して位相空間としてX, Y \subset Zとなる線型ハウスドルフ空間Zが存在するときX\cap Yはバナッハ空間でノルムが\|u\|_X+\|u\|_Yまたは\max\{\|u\|_X, \|u\|_Y\}で定義されている. \max\{\|u\|_X, \|u\|_Y\}\le \|u\|_X+\|u\|_Y \le 2\max\{\|u\|_X, \|u\|_Y\}だからこれらは同値である. 定数M\gt 0に対してSはXの部分空間:
S=\{u\in X:\|u\|_{X}\le M\}
とする.
\partial_t - \Deltaの基本解をEとする. すなわち\mathbb{R}^3-値超関数の意味で
(\partial_t - \Delta)E(t, x)=\delta(t, x) = \delta(t) \otimes \delta(x)
とする.

[仮定]
領域\Omegaを\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3の滑らかな境界を持つ有界開集合で, (0, 0)\in\Omegaとする.
外力f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3\to\R^3はf\in X'かつ\|f\|_{X'}\le M^2, f\neq 0ならば\int_{\mathbb{R}\times \mathbb{R}^3} E(s, y) \, \chi_{\Omega}(\cdot-s, \cdot-y)Pf(\cdot-s, \cdot-y)dsdy\neq 0を満たすとする. 初期値の集合を
A=\{u(0, \cdot):u \in S, u(t, x)=\int_{\mathbb{R}\times \mathbb{R}^3} E(s, y) \, \chi_{\Omega}(t-s, x-y)(\,Pf(t-s, x-y) - P((u\cdot \nabla)u)(t-s, x-y))dsdy\}とする.

[命題1]
A\neq \empty. a\in Aならば関数(u, \mathfrak{p})で, 次の意味でナビエ-ストークス方程式の初期値問題の弱解となるものが存在する: u \in S, \mathfrak{p}\in L_{\mathrm{loc}}^2(\Omega)/(\mathfrak{p}'\sim\mathfrak{q}\iff\nabla\mathfrak{(p'-q)}=0),

任意の\varphi \in \mathcal{D}_\sigma(\Omega)に対して,
\langle \partial_t u + (u \cdot \nabla)u - \Delta u + \nabla \mathfrak{p} - f, \varphi \rangle =0,
任意の\varphi\in\mathcal{D}(\Omega)に対して
\langle \mathrm{div}\,u,\varphi\rangle =0,
u(0, x)=a(x).

ただし(u \cdot \nabla)u^i=\sum_{j=1}^3 u^j \partial_{x^j} u^i,

\langle w, \varphi \rangle = (w, \varphi)_{L^2(\Omega)}
=\int_{\Omega} \sum_{i=1}^{3} w^{i}(t, x)\varphi^{i}(t, x)dtdx
=\int_{\Omega} w(t, x) \cdot \varphi(t, x)dtdx
(w=(w^1, w^2, w^3), \varphi=(\varphi^1, \varphi^2, \varphi^3))である.

\, f \neq 0ならばA\notni 0, u \neq 0. f=0ならばA=\{0\}, u=0.
\lim_{t, |x|\to\infty}\partial^\alpha u(t, x)=0.
fは, どのようなc\in Xを取っても,
\limsup_{t, |x|\to\infty}f(t, x)\neq \limsup_{t, |x|\to\infty}(\partial_t c(t, x) -\Delta c(t, x)+(c \cdot \nabla)c(t, x))を満たすとする. このとき解u,\mathfrak{p}とv,\mathfrak{q}はu=v, \mathfrak{p}=\mathfrak{q}\,\mathrm{on}\, \Omegaを満たす. 写像f\mapsto u,\mathfrak{p};a\mapsto u,\mathfrak{p}は連続である.

これを後ほどバナッハの不動点定理で証明する.

[初等的弱解の滑らかさ]
解(u, \mathfrak{p})はC^{\infty}-級である.

[証明]
mは任意に大きく取れるから, ヘルダー空間への埋蔵定理([18]定理6.12)
「\mathbb{N}\ni m-4/p\gt 0
ならば任意の{\varepsilon}\in (0, 1)に対して
W^{m, p}(\Omega)\subset C^{(m-4/p)-1, \varepsilon}(\overline{\Omega})」
より適当な代表元が存在するという意味でuはC^\infty-級である.

fは滑らかであり \partial_t u + (u \cdot \nabla)u - \Delta u - f=-\nabla \mathfrak{p} であるから-\nabla \mathfrak{p}は滑らか, 従って\mathfrak{p}は滑らかである.
(END)

補題0. X, X'はノルム空間である.
(END)

補題1. [完備性]
X, X'はバナッハ空間である. \chi_{\Omega}\in X, \chi_{\Omega}\in X'だからX, X'\neq \{0\}である.

[証明]
\{u_n\}をXのコーシー列とする. このとき\{u_n\}はW_{\sigma}^{m, 1}(\Omega)\cap W_{\sigma}^{m, 2}(\Omega)のコーシー列である. W_{\sigma}^{m, 1}(\Omega)\cap W_{\sigma}^{m, 2}(\Omega)はバナッハ空間だから\{u_n\}は収束する. その極限をuとする.
u\in Xである. 任意の正数\varepsilonに対して, 或る自然数N が存在して\ell, n\ge Nならば
\|u_\ell-u_n\|_X\lt \varepsilon.
ファトゥの補題を数え上げ測度に用いて,
\|u-u_n\|_X
=\sum_{m=5}^{\infty} \frac{1}{m!^5}\|u-u_n\|_{W^{m, 1}(\Omega)\cap W^{m, 2}(\Omega)}
= \sum_{m=5}^{\infty} \frac{1}{m!^5}\liminf_{\ell\to\infty}\|u_\ell-u_n\|_{W^{m, 1}(\Omega)\cap W^{m, 2}(\Omega)}
\le\liminf_{\ell\to\infty} \sum_{m=5}^{\infty} \frac{1}{m!^5}\|u_\ell-u_n\|_{W^{m, 1}(\Omega)\cap W^{m, 2}(\Omega)}
\le \varepsilon.
(END)

補題2. [積の分離]
或る定数C_1 \gt 0が存在してu, v\in X'に対して
\left\|u^i v^i\right\|_{X'}\le C_1\|u^i\|_{X'}\|v^i\|_{X'}
が成り立つ.

[証明]
二項係数c_{\alpha, \beta}に対してc_{\alpha}=\sum_{\beta\le\alpha}c_{\alpha, \beta}とする. 任意の自然数kに対して\|u_n-u\|_X\to 0
\Rightarrow \|u_n-u\|_{W^{m, 1}(\Omega)\cap W^{m, 2}(\Omega)} \to 0
\Rightarrow \|u_n-u\|_{C^{k, \varepsilon}(\overline{\Omega})}\to 0より連続な埋め込みX'\subset C^{k, \varepsilon}(\overline{\Omega})が成り立つから或る定数c'\gt 0が存在して\|u\|_{C^{k, \varepsilon}(\overline{\Omega})}\le c'\|u\|_{X'}. |\alpha|\le kとするときライプニッツの公式より
\|\partial^\alpha (u^i v^i)\|_{L^p(\Omega)}
\le c_{\alpha} \|u^i\|_{C^{k, \varepsilon}(\overline{\Omega})}\|v^i\|_{C^{k, \varepsilon}(\overline{\Omega})}|\Omega|^{1/p}
\le c_{\alpha}c' |\Omega|^{1/p}\|u^i\|_{X'} c'\|v^i\|_{X'}
\le c_{\alpha}c'^2 |\Omega|^{1/p}\|u^i\|_{X'}\|v^i\|_{X'}.
よって
\|\partial^\alpha (u^i v^i)\|_{L^p(\Omega)}\le c_{\alpha}c'^2 |\Omega|^{1/p}\|u^i\|_{X'}\|v^i\|_{X'}
であるから或る定数C_1\gt 0が存在して
\|u^i v^i\|_{X'}\le C_1\|u^i\|_{X'}\|v^i\|_{X'}.
(END)

補題3. [微分の吸収]
或る定数C_2 \gt 0が存在して
u\in Xに対して
\left\|\partial_{x^j}u\right\|_{X}\le C_2\|u\|_X
が成り立つ.

[証明]
\{u_n\}\subset Xはu_n\to u, \partial_{x^j}u_n\to vを満たすとする. ヘルダーの不等式より
|\langle \partial_{x^j}u_n - v, \varphi\rangle|
\le \|\partial_{x^j}u_n - v\|_{L^p(\Omega)}\|\varphi\|_{L^q(\Omega)}
\to 0 \,(p=1\Rightarrow q=\infty, p=2\Rightarrow q=2)
であり弱微分は\mathcal{D}'_\sigma(\Omega)において連続であるから\partial_{x^j}u_n\to \partial_{x^j}u\, \mathrm{in}\,\mathcal{D}'_\sigma(\Omega).
よってv=\partial_{x^j}u\in X, \{u\in X:\partial_{x^j}u\in X\}=Xであるから閉グラフ定理より微分の吸収が成り立つ.

或いは
\|\partial_{x^j}u\|_{X}= \sum_{m=5}^{\infty} \frac{1}{m!^5}\|\partial_{x^j}u\|_{W^{m, 1}(\Omega)\cap W^{m, 2}(\Omega)}
\le\sum_{m=4}^{\infty} \frac{1}{m!^5}\|u\|_{W^{m+1, 1}(\Omega)\cap W^{m+1, 2}(\Omega)}
\le C_2\sum_{m=5}^{\infty} \frac{1}{m!^5}\|u\|_{W^{m, 1}(\Omega)\cap W^{m, 2}(\Omega)}.
(END)

補題4. [X\ni u\mapsto E*(\chi_\Omega u)\in X]
X\ni u\mapsto E*(\chi_\Omega u)\in Xは有界作用素であり或る定数C_3\gt 0が存在してu\in Xに対して
\|\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3}E(s, y)\chi_\Omega(t-s, x-y)u(t-s, x-y)dsdy\|_{X}
\le C_3\|u\|_X
が成り立つ.

[証明]
E^i(s, y)\chi_\Omega(t-s, x-y)u^i(t-s, x-y)を(s, y)の関数とみたとき殆んど全ての(t, x)\in\Omegaに対して
\mathrm{supp}(E^i(s, y)\chi_\Omega(t-s, x-y)u^i(t-s, x-y))
\subseteq -\overline{\Omega}+(t, x)
=\overline{\{(s, y)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}^3:(t-s, x-y)\in\Omega\}}
は\overline{\Omega}の反転の平行移動だからコンパクトであり,
|\partial_{t, x}^\alpha(E^i(s, y) \chi_\Omega(t-s, x-y)u^i(t-s, x-y))|\le E^i(s, y)\sup\{|\partial_{t, x}^\alpha u^i(t-s, x-y)|:(t, x)\in\Omega\}\le C_\alpha E^i(s, y)\in L^1_{s, y}(\Omega)
だから積分記号下の微分の定理とヘルダーの不等式と連続な埋め込みX\subset L^\infty(\Omega)を合わせて
\|\partial^\alpha(E*(\chi_{\Omega}u))\|_{L^p(\Omega)}
\le\|E*(\partial^\alpha (\chi_{\Omega} u))\|_{L^p(\Omega)}
\le\|\|E(s, y)\|_{L_{s, y}^1(-\Omega +(t, x))}\|\partial^\alpha u(t-s, x-y)\|_{L_{s, y}^\infty(-\Omega +(t, x))}\|_{L_{t, x}^p(\Omega)}
\le \sup\{\|E\|_{L^1(-\Omega+(t, x))}:(t, x)\in\Omega\}\|\partial^\alpha u\|_{L^\infty(\Omega)}|\Omega|^{1/p}
\le \sup\{\|E\|_{L^1(-\Omega+(t, x))}:(t, x)\in\Omega\}c''C_2^{|\alpha|}\|u\|_X|\Omega|^{1/p}
\lt\infty
であるから
\|E*(\chi_\Omega u)\|_X\le C_3\|u\|_X.
(END)

C=\max\{C_1, C_2, C_3\}とする. 補題2, 3, 4: 積の分離, 微分の吸収, X\ni u\mapsto E*(\chi_\Omega u)\in Xの有界性がCに対して成り立つ. C(1+3C^2)M\le 1を満たすMをとる.
(N-S)'
\partial_t u -\Delta u=f -(u \cdot \nabla)u
の弱解, すなわち任意のa\in Aに対して, u \in S,
\mathfrak{p}\in L_{\mathrm{loc}}^2(\Omega)/(\mathfrak{p}'\sim\mathfrak{q}\iff\nabla\mathfrak{(p'-q)}=0), 
任意の\varphi \in \mathcal{D}_\sigma(\Omega)に対して,
\langle \partial_t u + (u \cdot \nabla)u - \Delta u + \nabla \mathfrak{p} - f, \varphi \rangle =0,
任意の\varphi\in\mathcal{D}(\Omega)に対して\langle\mathrm{div}\,u, \varphi\rangle=-\sum_{j=1}^3\langle u^j, \partial_{x^j}\varphi\rangle=0,
u(0, x)=a(x)
の意味での解の存在を示す.

\varPhi:S\to Sが
\varPhi[u](t, x)
=\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3} E(s, y) \, \chi_{\Omega}(t-s, x-y)(Pf(t-s, x-y) -P((u\cdot\nabla)u)(t-s, x-y))dsdy
と定義できる. 関数列\{u_n\}\subset Sをu_0\in Sと取り, n\ge 0ならば
u_{n+1}(t, x)=\varPhi[u_n](t, x)
=\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3} E(s, y) \, \chi_{\Omega}(t-s, x-y)(Pf(t-s, x-y) -P((u_n\cdot\nabla)u_n)(t-s, x-y))dsdy
と置く.
補題0, 1よりXが完備な距離空間であるからSは空でない閉部分空間だから完備であり, \varPhiが縮小写像であることが言えれば, バナッハにおける不動点定理により, \varPhiの不動点の一意存在, すなわち

或るu \in Sが一意に存在して\varPhi[u]=u

が言える. すると, バナッハの不動点定理における不動点の一意性により, uが一意的な弱解であることが言える. \, f \neq 0ならばA\notni 0, u \neq 0. f=0ならばA=\{0\}, u=0. f=0とすると, Xの性質より, もしu\in X かつ u(t, x)=\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3} E(s, y)\chi_{\Omega}(t-s, x-y)(Pf(t-s, x-y) -P((u\cdot\nabla)u)(t-s, x-y))dsdyならば\|u\|_X\le 3C^3\|u\|_X^2である. ゆえに, もしu\neq 0ならば1\le 3C^3\|u\|_X. C=O(|\Omega|)\,(|\Omega|\to 0)とルベーグ積分の絶対連続性より|\Omega|\to 0\Rightarrow C\to 0, \|u\|_X\to 0, 従ってf=0\Rightarrow A=\{0\}, u=0.

補題5. [\varPhiが縮小写像として定義できる可能性]
u\in S\Rightarrow \|\chi_{\Omega}(Pf-P((u\cdot\nabla)u))\|_X\lt\inftyが成り立つ. よって\|\varPhi[u]\|_X\le M.

[証明]
Xの性質と\|P\|=1から
\|\chi_{\Omega}(Pf-P((u\cdot \nabla)u))\|_X\lt\infty は,
\|\chi_{\Omega}(Pf-P((u\cdot \nabla)u))\|_X
\le\|f\|_{X'}+\|u^1 \partial_{x^1}u+u^2 \partial_{x^2}u+u^3 \partial_{x^3}u\|_{X'}
\le M^2+3C^2M^2\lt\infty
より従う.

\|\varPhi[u]\|_X
\le CM^2+3C^3M^2
\le M
であれば
C(1+3C^2)M\le 1
でなければならない.
(END)

補題6. [\varPhi:S\to Sはリプシッツ連続]
或る定数L\gt 0が存在して, 任意のu, v \in Sに対して
\|\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3}E(s, y) \, \chi_{\Omega}(t-s, x-y)(P((v \cdot \nabla)v)(t-s, x-y)-P((u\cdot\nabla)u)(t-s, x-y))dsdy\|_X
\le L \|u- v\|_X, L \lt 1.

[証明]
(v \cdot \nabla)v(t-s, x-y)-(u \cdot \nabla)u(t-s, x-y)
=\sum_{j=1}^3 (v^j (\partial_{x^j}v(t-s, x-y) - \partial_{x^j}u(t-s, x-y)) + (v^j \partial_{x^j}u(t-s, x-y)) - (u^j \partial_{x^j}u(t-s, x-y)))

より,
\|\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3}E(s, y) \, \chi_{\Omega}(t-s, x-y)(P((v \cdot \nabla)v)(t-s, x-y)-P((u\cdot\nabla)u)(t-s, x-y))dsdy\|_X
\le C^2\|v\|_X\max_j(\|\partial_{x^j}v - \partial_{x^j}u\|_X)+C^2\|v-u\|_X\max_j(\|\partial_{x^j}u\|_X)
\le C^3M\|v-u\|_X+C^3M\|v-u\|_X
= 2C^3M\|u- v\|_X.

ゆえにL=2C^3Mとすればよい.
上の議論より \|\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3}E(s, y)\,\chi_{\Omega}(t-s, x-y)(P((v \cdot \nabla)v)(t-s, x-y)-P((u \cdot \nabla)u)(t-s, x-y))dsdy\|_X
\le 2C^3M\|u- v\|_X でありC(1+3C^2)M\le 1であるから
2C^3M\lt 1.
(END)

補題7.
任意のU\in Xに対して
" \varphi\in\mathcal{D}_\sigma(\Omega)\Rightarrow\langle U, \varphi\rangle =0 "
\iff "或る実数値超関数\mathfrak{p} が存在してU=\nabla\mathfrak{p} "
である.

[証明]
任意の\varphi\in\mathcal{D}_\sigma(\Omega)に対して,
\mathrm{div}(\varphi)=0であるから, 部分積分により
\langle \nabla\mathfrak{p}, \varphi\rangle
=\int_{\Omega} \sum_{i=1}^{3} (\nabla\mathfrak{p})^i(t, x)\varphi^i(t, x)dtdx
=-\int_{\Omega}\mathfrak{p}(t, x)\mathrm{div}(\varphi)(t, x)dtdx=0.

ゆえにヘルムホルツ分解により,
U=PU+\nabla\mathfrak{p}
ならば
\langle U,\varphi\rangle=\langle\nabla\mathfrak{p},\varphi\rangle=0.
(END)

補題8. [ナビエ-ストークス方程式の可解性]
f\in X'を\|f\|_{X'}\le M^2となるように取るとき\varPhi:S\to Sの不動点u\in Sは(N-S)'の解であろう.

[証明]
任意の\varphi\in\mathcal{D}_\sigma(\Omega)に対して\mathrm{div}(\varphi)=0だから部分積分により
\langle \nabla\mathfrak{p}, \varphi\rangle
=\int_{\Omega} \sum_{i=1}^{3} (\nabla\mathfrak{p})^i(t, x)\varphi^i(t, x)dtdx
=-\int_{\Omega}\mathfrak{p}(t, x)\mathrm{div}(\varphi)(t, x)dtdx=0.

ゆえにu, \partial_{x^j}uの有界性と|\Omega|\lt\inftyより(u\cdot\nabla)u\in L^2(\Omega)であるからヘルムホルツ分解により
f=Pf+\nabla\mathfrak{f}, (u\cdot\nabla)u=P((u\cdot\nabla)u)+\nabla\mathfrak{u}
とすると任意の\varphi\in\mathcal{D}_\sigma(\Omega)に対して
\langle f, \varphi\rangle = \langle Pf, \varphi\rangle, \langle (u\cdot\nabla)u, \varphi\rangle =\langle P((u\cdot\nabla)u), \varphi\rangle
だから
(N-S)' \partial_t u - \Delta u= f -(u \cdot \nabla)u\,\mathrm{in}\, \mathcal{D}'_\sigma(\Omega)
の解の存在を示す. \partial_t - \Deltaの基本解をEとする. すなわち\mathbb{R}^3-値超関数の意味で
(\partial_t - \Delta)E(t, x)=\delta(t, x) = \delta(t) \otimes \delta(x)
とする.
E^{i}(t, x)=\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{4 \pi t}^3} e^{-\frac{|x|^2}{4t}} & (t \gt 0) \\ 0 & (t \le 0) \end{cases}
は局所可積分であり, \langle \delta(t) \otimes \delta(x), \varphi(t, x) \rangle = \langle \delta(t), \langle \delta(x), \varphi(t, x) \rangle \rangle = \varphi(0, 0) (垣田高夫『シュワルツ超関数入門』[16]163ページ-167ページ). ところで, W_{\sigma}^{m, p}(\Omega)は完備化であったから, 任意の\{u_n\} \subset V_{\sigma}^{m, p}(\Omega)で, \lim_{n,{n'} \to \infty}\|u_n - u_{n'} \|_{W^{m, p}(\Omega)}=0, \lim_{n,{n'} \to \infty}\|E*\chi_{\Omega}P((u_n\cdot\nabla)u_n)- E*\chi_{\Omega}P((u_{n'}\cdot\nabla)u_{n'}) \|_{W^{m-1, p}(\Omega)}=0であるものに対して, 或るu \in W_{\sigma}^{m, p}(\Omega)が存在して, \lim_{n \to \infty}\|u_n - u\|_{W^{m, p}(\Omega)}=0,\lim_{n \to \infty}\|E*\chi_{\Omega}P((u_n\cdot\nabla)u_n) - E*\chi_{\Omega}P((u\cdot\nabla)u) \|_{W^{m-1, p}(\Omega)}=0である.

uは\mathcal{D}'(\Omega)に属する超関数の意味で\mathrm{div}\,u=0を満たす. すなわち任意の\varphi\in\mathcal{D}(\Omega)に対して\langle\mathrm{div}\,u, \varphi\rangle=-\sum_{j=1}^3\langle u^j, \partial_{x^j}\varphi\rangle=0.

実際, 任意のu\in W_\sigma^{m, p}(\Omega)に対して或るコーシー列\{u_n\}\subset V_\sigma^{m, p}(\Omega)が存在して部分積分とヘルダーの不等式により
0=-\sum_{j=1}^3\langle u_n^j, \partial_{x^j}\varphi\rangle
\to -\sum_{j=1}^3\langle u^j, \partial_{x^j}\varphi\rangle.

f -(u_n \cdot \nabla)u_n \in L_{\mathrm{loc}}^{1}(\Omega)である. そこで命題0, 局所可解性により近似方程式
(N-S)'' \partial_t v_{n} - \Delta v_{n} =Pf-P((u_n \cdot \nabla)u_n)
の\Omega上の解
v_n=u_{n+1}=E * \chi_{\Omega}( \, Pf -P((u_n \cdot \nabla)u_n))
の存在が言える.
 
\partial_t u_{n+1} (t, x)- \Delta u_{n+1} (t, x)
= \langle(\partial_t E(t-s, x-y) - \Delta E(t-s, x-y)),\chi_{\Omega}(s, y)(Pf(s, y)-P((u_n \cdot \nabla)u_n)(s, y))\rangle
=\langle \delta(\tau) \otimes \delta(z), \,\chi_{\Omega}(t-\tau, x-z)( Pf(t-\tau, x-z)-P((u_n \cdot \nabla)u_n)(t-\tau, x-z)) \rangle
=Pf(t, x)-P((u_n \cdot \nabla)u_n)(t, x).

ゆえに上の計算と, 熱作用素の\mathcal{D}'_\sigma(\Omega)における連続性 |\langle \partial_t u_{n+1} - \Delta u_{n+1}, \varphi \rangle - \langle \partial_t u - \Delta u, \varphi \rangle|\to 0, \|P\|=1, 関数の積 L^2(\Omega)\times L^2(\Omega) \ni (u, v) \mapsto uv \in L^1(\Omega) が連続であること([補足2]参照)により
| \int_{\Omega} (P((u_n \cdot \nabla)u_n)(t, x)
-P((u \cdot \nabla)u)(t, x))) \cdot\varphi(t, x) dtdx |
\le \|((u_n \cdot \nabla)u_n)(t, x)-((u \cdot \nabla)u)(t, x)\|_{L^1(\Omega)}\| \varphi(t, x) \|_{L^\infty(\Omega)}\to 0\,(n \to \infty) を合わせることで
\partial_t u - \Delta u =Pf-P((u \cdot \nabla)u)
が成り立つから, 補題5, 6より
u(t, x)=\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3} E(s, y) \,\chi_{\Omega}(t-s, x-y) (\,Pf(t-s, x-y)-P((u \cdot \nabla)u)(t-s, x-y))dsdy

が(N-S)'の\mathcal{D}_\sigma'(\Omega)における超関数の意味での解であることが示された.

補題7より, \partial_t u + (u \cdot \nabla)u - \Delta u - f=-\nabla \mathfrak{p}を満たす\mathfrak{p}が存在する.
(END)

解の性質

補題9. [減衰]
\lim_{t, |x|\to\infty}\partial^\alpha u(t, x)=0.

[証明]
uは\R\times\R^3上の可測関数であるから, t, |x|\to\inftyの極限を考えることができる.

\partial^\alpha u(t, x)=\int_{\Omega} E(t-s, x-y) \,\partial^\alpha(Pf(s, y) - P((u\cdot \nabla)u)(s, y))dsdy, 任意のt_0\gt 0に対してt-s\gt t_0ならば
|E^i(t-s, x-y)|\le 1/t_0^{3/2},
\partial^\alpha(Pf- P((\partial^\alpha u\cdot \nabla)\partial^\alpha u))\in X\subset C^{0, \varepsilon}(\overline{\Omega})
だから有界収束定理から\lim_{t, |x|\to\infty}\partial^\alpha u(t, x)=0が従う.
(END)

補題10. [一意性]
fは, どのようなc\in Xを取っても,
\limsup_{t, |x|\to\infty}f(t, x)\neq \limsup_{t, |x|\to\infty}(\partial_t c(t, x) -\Delta c(t, x)+(c \cdot \nabla)c(t, x))を満たすとする. 解u,\mathfrak{p}とv,\mathfrak{q}はu=v, \mathfrak{p}=\mathfrak{q}\,\mathrm{on}\, \Omegaを満たす.

[証明]
u\neq vならば, 或るc\in Xが存在してu=v+c, c\neq 0.
\partial_t (v+c) -\Delta (v+c)+((v+c) \cdot \nabla)(v+c)=f
ゆえに補題9より
\limsup_{t, |x|\to\infty}f(t, x)=\limsup_{t, |x|\to\infty}(\partial_t c(t, x) -\Delta c(t, x)+(c \cdot \nabla)c(t, x)).
これは不合理である.
(END)

補題11. [f\mapsto u, f\mapsto\mathfrak{p}の連続性]

f_n, f\in X', \|f_n\|_{X'}, \|f\|_{X'}\le M^2, \|f_n-f\|_{X'}\to 0とする. f_nとa_n\in Aに対応する解をu_n,\mathfrak{p}_n, fとa\in Aに対応する解をu,\mathfrak{p}とする. このとき
\|u_n-u\|_X\to 0,
d(\mathfrak{p}_n, \mathfrak{p}):=\|u_n-u\|_X\to 0.

[証明]
\|u_n-u\|_X=\|\int_{\mathbb{R}\times \mathbb{R}^3} E(s, y) \, \chi_{\Omega}(t-s, x-y)(\,Pf_n(t-s, x-y) - P((u_n\cdot \nabla)u_n)(t-s, x-y))dsdy-\int_{\mathbb{R}\times \mathbb{R}^3} E(s, y) \, \chi_{\Omega}(t-s, x-y)(\,Pf(t-s, x-y) - P((u\cdot \nabla)u)(t-s, x-y))dsdy\|_X
\le C\|f_n-f\|_X+2C^3M\|u_n-u\|_X.
ゆえに
\limsup_{n\to\infty}\|u_n-u\|_X
\le 2C^3M\limsup_{n\to\infty}\|u_n-u\|_X.

\limsup_{n\to\infty}\|u_n-u\|_X\le 2M,
従って
0\le (1-2C^3M)\limsup_{n\to\infty}\|u_n-u\|_X
\le 0.
だから
\limsup_{n\to\infty}\|u_n-u\|_X
=\lim_{n\to\infty}\|u_n-u\|_X=0.
写像f\mapsto u, u\mapsto\mathfrak{p}があるので
d(\mathfrak{p}_n, \mathfrak{p}):=\|u_n-u\|_X\to 0.
(END)

補題12. [a\mapsto u, a\mapsto\mathfrak{p}の連続性]
a, bに対応する解をu_a, v_b, \mathfrak{p}_a, \mathfrak{q}_bとする. a\mapsto u, a\mapsto\mathfrak{p}は, 距離d_A(a, b)=\|u_a-v_b\|_X, D(\mathfrak{p}, \mathfrak{q})=\|u_a-v_b\|_Xについて連続である.
(END)

以上により命題1の証明が終わった.

Xの性質とu=\varPhi[u]より
\|u\|_X\le C\|f\|_{X'} +3C^3\|u\|_X^2\le M.
CM\le C(1+3C^2)M\le 1だから
C\|f\|_{X'}\le CM^2\lt M.
よってC\|f\|_{X'} +3C^3\|u\|_X^2\le Mを\|u\|_Xについて解くと, u\in Sから得られる\|u\|_X\le Mより良い評価:
\|u\|_X\le \sqrt{\frac{M-C\|f\|_{X'}}{3C^3}}\lt M
が得られる.

[バナッハ空間値関数としての初等的弱解]
I=\{t\in\R:\exists{x}\in\R^3, (t, x)\in\Omega\},
\Omega'=\{x\in\R^3:\exists{t}\in\R, (t, x)\in\Omega\}
とする. 1\le p\lt\inftyに対して,
a\in C^\infty(\overline{\Omega'})\cap L^p_\sigma(\Omega'), u\in C(I;L^p_\sigma(\Omega')).

[証明]
u\in C(\Omega)であるから, 任意の\varepsilon\gt 0に対して, 或る\delta\gt 0が存在して
(t, x), (t', x)\in\Omega, |(t, x)-(t', x)|\lt\delta
\Rightarrow |u(t, x)-u(t', x)|\lt\varepsilon.
ゆえに
\|u(t, \cdot)-u(t',\cdot)\|_{L^p_\sigma(\Omega')}\le |\Omega'|^{1/p}\varepsilon.
(END)

補足

[補足1]
空間変数について発散\mathrm{div} \varphi = \nabla \cdot \varphi=0であるような試験関数\varphiとしては, 任意の\psi \in \mathcal{D}(\Omega)を取り\varphi = \mathrm{curl} \psiとすればよい. (岡本久-中村周『関数解析』[10]203ページ)

[補足2]
\|u_n-u\|_{L^2(\Omega)}\to 0, \|v_n-v\|_{L^2(\Omega)}\to 0とする. 三角不等式
| \|u_n\|_{L^2(\Omega)}-\|u\|_{L^2(\Omega)}|\le \|u_n-u\|_{L^2(\Omega)}
より十分大きな任意のnに対して
\|u_n\|_{L^2(\Omega)}\lt \|u\|_{L^2(\Omega)}+1
である. ゆえに
\|u_n v_n - uv\|_{L^1(\Omega)}\le \|u_n\|_{L^2(\Omega)}\|v_n-v\|_{L^2(\Omega)}+\|v\|_{L^2(\Omega)}\|u_n-u\|_{L^2(\Omega)}
\lt (\|u\|_{L^2(\Omega)}+1)\|v_n-v\|_{L^2(\Omega)}+\|v\|_{L^2(\Omega)}\|u_n-u\|_{L^2(\Omega)} \to 0.

圧縮性ナビエ-ストークス方程式の可解性

I\ni 0, \Omega'\notni 0となるように変更する. \rho(0, \cdot)\in X'(\Omega')とする.

\partial_t \rho +\mathrm{div}(\rho u)=0
\mathrm{Div}(D(u)+\mathrm{div}u(\delta^{ij})-\mathfrak{p}(\delta^{ij}))=f-\rho(\partial_t u+(u\cdot\nabla)u)
も同様に解くことができる. ここで
(\mathrm{Div}T)^i=\sum_{j=1}^3\partial_{x^j}T^{ij}, D^{ij}(u)=\partial_{x^j}u^i+\partial_{x^i}u^j
である.

作用素L_u:X'\ni\rho\mapsto \mathrm{div}(\rho u)\in X'は有界作用素であるから
\rho=e^{-tL_u}\rho(0,\cdot)
これを第二式に代入し, 楕円型作用素の基本解が原点の外で解析的すなわち原点の外で局所可積分であることに上の補題を合わせると, 圧縮性ナビエ-ストークス方程式の解の存在と一意性および滑らかさと, 上と同様の性質が出てくる. 初期速度は小さくなくてよい.

参考文献

[1]俣野博-神保道夫, 熱・波動と微分方程式, 岩波オンデマンドブックス, 岩波書店, 2018

[2]金子晃, 偏微分方程式入門, 基礎数学12, 東京大学出版会, 2013

[3]垣田高夫-柴田良弘, ベクトル解析から流体へ, 日本評論社, 2007

[4]谷島賢二, 数理物理入門 改訂改題, 基礎数学11, 東京大学出版会, 2018

[5]柴田良弘, ルベーグ積分論, 内田老鶴圃, 2006

[6]谷島賢二, 新版 ルベーグ積分と関数解析, 講座〈数学の考え方〉13, 朝倉書店, 2015

[7]コルモゴロフ-フォミーン, 函数解析の基礎 上, 岩波書店, 2012

[8]北田均, 新訂版 数理解析学概論, 現代数学社, 2016

[9]猪狩惺, 実解析入門, 岩波書店, 2013

[10]岡本久-中村周, 関数解析, 岩波オンデマンドブックス, 岩波書店, 2016

[11]黒田成俊, 関数解析, 共立数学講座15, 共立出版, 2011

[12]藤田宏-黒田成俊-伊藤清三, 関数解析, 岩波書店, 2009

[13]吉田耕作, Functional Analysis, Springer-Verlag, 1980

[14]増田久弥, 応用解析ハンドブック, 丸善出版, 2012

[15]溝畑茂, 偏微分方程式論, 岩波書店, 2010

[16]小薗英雄-小川卓克-三沢正史, これからの非線型偏微分方程式, 日本評論社, 2007

[17]垣田高夫, シュワルツ超関数入門, 日本評論社, 2015

[18]宮島静雄, ソボレフ空間の基礎と応用, 共立出版, 2020

[19]澤野嘉宏, べゾフ空間論, 日本評論社, 2011

[20]岡本久, ナヴィエ-ストークス方程式の数理 新装版, 東京大学出版会, 2023

[21]柴田良弘, 流体数学の基礎 上, 岩波数学叢書, 岩波書店, 2022

[22]柴田良弘, 流体数学の基礎 下, 岩波数学叢書, 岩波書店, 2022

[23]L. ヘルマンダー, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I: Distribution Theory And Fourier Analysis, Springer, 1990

[24]柴田良弘-久保隆徹, 非線形偏微分方程式, 現代基礎数学21, 朝倉書店, 2013

[25]八木厚志, 放物型発展方程式とその応用(上) 可解性の理論, 岩波数学叢書, 岩波書店, 2011

[26]小川卓克, 非線型発展方程式の実解析的方法, シュプリンガー現代数学シリーズ 第18巻, 丸善出版, 2013

[27]新井仁之, ルベーグ積分講義 ルベーグ積分と面積0の不思議な図形たち, 日本評論社, 2003

[28]Wasao SIBAGAKI, Hisako RIKIMARU『ON THE E. HOPF'S WEAK SOLUSION OF INITIAL VALUE PROBLEM FOR THE NAVIER-STOKES EQUATIONS』, 1967

[29]Adams-Fournier, Sobolev Spaces, ‎Academic Press, 2003

(END)

内容については, Mathlogに公開していた時期からコメント欄による質問や指摘を参考にしたり, 理科大の先生やXの利用者に何度か助言や指摘を受けた.

研究についての話 上で挙げていない本を含めて参考にした本や気持ちについて

もしナビエ-ストークス方程式をよく知らなければ, 垣田-柴田『ベクトル解析から流体へ』をおすすめする. ベクトル解析や研究に必要な解析学をわかりやすく説明しているし論文の解説もある. 関数解析については谷島1『ルベーグ積分と関数解析』と黒田『関数解析』がおすすめ. 谷島氏の本には本格的な測度論やルベーグ積分の話もあり, 半群は書かれていないが超関数の記述が多少ある. 黒田氏の本は測度論やルベーグ積分を付録で簡単に定義していて, 超関数について書かれてはいないがソボレフ空間や半群についてわかりやすい. 台がコンパクトな超関数と基本解の存在や局所可解性については, 谷島2『数理物理入門』または金子『偏微分方程式入門』もしくは, プリンストン解析学講義Ⅳ『関数解析』(上で挙げていない本)が参考になると思う. どれも超関数について貴重かつ詳細な記述がある. 谷島2は物理学が好きな人や偏微分方程式を研究したい人におすすめ. 金子氏の本は偏微分方程式を使う人にも数学的に研究したい人にも平易な解説が多い.  プリンストン解析学講義シリーズは理解を深める例や反例が盛りだくさんである. ルレイ-ホップの弱解については岡本『ナヴィエ-ストークス方程式の数理』に存在の証明の概要まで書いてある(藤田-加藤の強解の存在証明もある). 岡本氏の本もナビエ-ストークス方程式を使いたい人が読んでも数学的に研究したい人が読んでも楽しいだろう. もし位相空間やルベーグ積分をよく知らず関数解析が難しく感じるならば, 竹内『関数解析』(上で挙げていない本)がとにかくおすすめ. 竹内氏の本は微分積分や線型代数の復習と距離空間の図を含めた簡単な説明があるし行間もかなり少ない. 測度論とルベーグ積分を関数解析のために学んでいるとつらくなるから, 北田『数理解析学概論』の第16章で手っ取り早く済ませるといい. 位相については距離空間がわかればあまり困らないので, 図説も豊富な藤岡『手を動かしてまなぶ集合と位相』がおすすめ. 複素解析についてはあまり知らなくても問題ないが, 柴『複素関数論』と今井『複素解析と流体力学』が良いかもしれない. 説明に流体を使ってはいるが数学的な部分は厳密に書いてある. 微分方程式やベクトル解析については多少知っていれば良いので, 石原-矢野『解析学概論』がおすすめ. 内部問題や外部問題まで数学的に知りたければ柴田『非線形偏微分方程式』『流体数学の基礎』あるいは増田『応用解析ハンドブック』が良い.

私が研究していく上で多数の助言や指摘をいただいた. それらは研究を修正し進歩させるためには必要不可欠であり, とてもありがたい. しかし中には病気や障害を抱えて不自由な生活をしている私に精神的損傷を負わせる言葉も多かった. それでも数学的には正当な意見だと思ってまじめに読んだり受け応えていたら, 嘔吐, 吐血, 頻尿, うつ状態の悪化, という有様である. Mathlogでは運営の方にも, 私の, ほぼ独学ながらインターネットで意見を募りつつ記事の質を少しずつ上げたいという趣旨および精神的損傷を負わせるコメントは見たくないという健康上の問題を理解されず, 何人かの利用者からは罵言雑言が飛び, 診断されてもいない精神障害を認定されXの不具合まで私のせいにされた. 運営にはMathlog内部とGoogleにおいて記事が検索しても出ないようにさせられ, 低評価の機能が実装されてからは全ての記事に大量の低評価が来た. 嫌がらせのコメントも消されることは殆どなかった. noteにおいても記事に関係ないコメントや冷淡な言い方をしたり暴言を吐く人がいたのでコメント欄を封鎖している. どこにおいても指摘と嫌がらせを同時にしたら, その人物は嫌がらせをする人物である. そして私は生物である. 防衛本能で逃げて何が悪いのかわからないし, 自殺しないために正当かつ大変な努力をして学術的でない批判や中傷や嫌がらせをされなければいけないのなら安楽死くらい実現させて私にそれをさせてほしい. もし法律やルールに違反していれば, それに基づいて処分すればよく, 私的制裁はただの加害でしかない. いじめはいじめられる側にも原因はあるかもしれないが, それは犯罪を犯してよい理由ではないし, 犯してよい理由など存在しない. 家の玄関が空いていれば窃盗をしていい, という論理には付き合いきれない. Xには, 病気や障害により発生している事象をいくら話しても, 友達と寿司を食べても, コンビニに行っても, オロナミンCの話をしても, 漢検二級の問題集を買っても, そして研究の話をどんなふうにしても批判や嫌がらせが飛んでくる. 共同研究しようという話もあったが, いっしょにがんばろうと話したら誹謗中傷だと言われた. 私にどうしろと. 数学の研究をしているから私が数学者なのは辞書の意味では間違いないし英語で書いたものが論文であることに変わりはない. しかし言葉を使う時は辞書を引けと言った人たちがなぜ非難するのか. 研究の記事だけでは間違いだらけかもしれないから普通の勉強の記事もたくさん書いたり理科大で勉強の話もしたが, 黒田氏の本の付録によるルベーグ積分の定義や, 実解析や関数解析でよくある変数変換も私の人格の問題にされた. 私にどうしろと. かと言って著者たちには言えないのだろう. やはり弱い者いじめである.

色々なことがあるけど, 今のところ自殺しない理由が, この研究しかない. 私は私が天才であることを証明する. 他人にとって魔法か悪質か可能か不可能か虚構か暴挙か無銭飲食かクズか読む価値なしか, そんな個人的都合と, 私がやりたいかどうかは関係ない. 自分の人生が自分でill-definedなのは自分でなんとかしてくれ.