解法1 x^2-2ax+a+6=0の判別式をDとすると、 与えられた不等式がすべての実数xで成り立つためには D<0であればよい。 D/4=a^2-a-6=(a-3)(a+2)であるので、 求める答えは-2<a<3である。 解法2 f(x)=x^2-2ax+a+6=(x-a)^2-a^2+a+6を考えると、 すべての実数xでf(x)>0が成り立つためには、 -a^2+a+6>0であればよい。 -a^2+a+6>0⇔(a-3)(a+2)<0であるので、 求める答えは-2<a<3である。 ...................... 「二次方程式ax^2+bx+c=0・・①の判別式をDとすると、 D<0となるとき、この二次方程式は実数解を持たない。」です。 「ax^2+bx+c=0の実数解を求めよ」という問題は、 言い換えると「y=ax^2+bx+cとx軸(y=0)との交点のx座標を求めよ」 といっているのと同じで、もし①が実数解を持たないということになったら、 それはすなわちy=ax^2+bx+cとx軸は交点を持たないということを意味します。 定義域がすべての実数で下に凸な二次関数とx軸が交点を持たないのは、 二次関数の最小値が0より大きいときだけです。 ここでx^2-2ax+a+6=0・・②、すなわちy=x^2-2ax+a+6・・③とx軸の交点について 考えてみると、②が実数解を持たないとき、③とx軸は交点を持ちません。 ③は下に凸であるので、このとき③の最小値は0より大きいことになります。 ③の最小値が0より大きいということはすなわち、すべての実数xに対して x^2-2ax+a+6>0が成り立つということになります。 ですので、すべての実数xに対してx^2-2ax+a+6>0が成り立つためには、 x^2-2ax+a+6=0の判別式が負であればよいのです。