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Practica 1 - Numeros reales y recta numerica
Calculo Diferencial (CDI23)
Instituto Tecnológico de Celaya
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####### DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
PRÁCTICA No. 1
“LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA NUMÉRICA”
COMPETENCIA
Clasifica y analiza propiedades de los números reales realizando construcciones geométricas con el programa GeoGebra y empleando análisis matemático.
MARCO TEÓRICO
####### CONJUNTOS
Un conjunto es un grupo de elementos u objetos, especificados de tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos se usan letras mayúsculas ( A B C, , ...) y los elementos de un conjunto pueden ser denotados con letras minúsculas ( , , ,a b c x y z , , ). Los conjuntos se pueden enunciar de cuatro formas: i. Por extensión o enumeración, los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Ejemplo: A ={1, 2,3,...,10}, los puntos suspensivos indican que el conjunto continúa y que los elementos siguientes conservan la misma característica. ii. Por comprensión, los elementos se determinan a través de una condición que se escribe entre llaves y se emplea el símbolo que significa “tal que”. Retomando el ejemplo anterior tenemos: A = { x x es un número natural menor o igual a10}y se lee “El conjunto A está formado por los elementos de x que son un número natural y el elemento xes un número menor o igual a 10”. iii. El Diagrama de Venn es un esquema que sirve para visualizar el contenido (los elementos) de un conjunto o relaciones entre conjuntos (ver figura 1) comúnmente se emplean círculos para representar los conjuntos y rectángulos para representar el conjunto universo.
Figura 1. Diagrama de Venn.
iv. La descripción verbal, es el enunciado que describe las características que son comunes para los elementos. Ejemplo: “el conjunto de números naturales del 1 al 10”
Dados dos conjuntos A y B , si los elementos del conjunto Ason también elementos del conjunto B , se dice que Aes subconjunto de B y se denota como A B. En esta práctica nos interesan tres operaciones con conjuntos que son la unión, la intersección y la diferencia. 1. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de ambos conjuntos, y se denota como A B = { x x A o x B}.
####### DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
Ejemplo: Sea A ={0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9}y B ={2,3,5,7,11,13,17,19}. Por lo tanto A B={0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,11,13,17,19}, en la figura 2 se representa el Diagrama de Venn del conjunto A B.
Figura 2. Diagrama de Venn del conjunto A B.
- La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de Aque también pertenecen a B y se denota como A B = { x x A y x B}. Tomando el ejemplo anterior la intersección de los conjuntos Ay B estará dada por : A B={2,3,5,7}. En la figura 3 se representa el Diagrama de Venn para la intersección del conjunto A con el conjunto B.
Figura 3. Diagrama de Venn del conjunto A B.
- Diferencia de conjuntos, sean A y B dos conjuntos no vacíos, la diferencia se define como el conjunto que contienen a los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B y se representa como A −B;retomando los conjuntos A y B del ejemplo anterior, la diferencia A −B está dada por: A − B={0,1, 4,6,8,9}. En la figura 4 se representa el Diagrama de Venn para la diferencia del conjunto Amenos el conjunto B.
Figura 4. Diagrama de Venn del conjunto A −B.
####### NÚMEROS REALES.
Un número real ( ) es cualquier número racional o irracional, positivo o negativo; en otras palabras,
es cualquier número desde menos infinito a más infinito. Los números reales se dividen en
####### DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
####### RECTA NUMÉRICA.
Es posible establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta numérica (recta real). Dada una recta, si se selecciona un punto arbitrario de ésta para representar al cero (0) y otro punto a la derecha del cero para representar el uno (1); y luego si dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el segmento de cero a uno, para así representar los números enteros, 1, 2, 3,... (en este orden) a la derecha del cero y los números - 1, - 2, - 3,... (en este orden) a la izquierda del cero. En una recta numérica el punto que representa el cero recibe el nombre de origen (ver figura 6).
i. Los números reales que se representan a la derecha del origen se llaman números reales positivos. ii. Los números reales que se representan a la izquierda del origen se llaman números reales negativos.
Figura 6. Representación de una recta real.
ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES.
Axioma de tricotomía.
Si se tienen dos números reales a y b, entonces una y sólo una de las siguientes proposiciones es
verdadera.
a = b, a b, a b
La relación “menor que” en el conjunto de los números reales.
Sean a b, , se dice que aes menor que b, y se escribe a b, si a −bes un número negativo.
Por ejemplo: 2 3 pues 2 − 3 = − 1 y − 1 es negativo − 5 − 2 pues− 5 − −( 2) = − 3 y − 3 es negativo
La relación “mayor que” en el conjunto de los números reales. Sean a b, , se dice que aes mayor que b, y se escribe a b, si a −bes un número positivo. Por ejemplo: 5 2 pues 5 − 2 = 3 y 3 es positivo − 2 − 4 pues− 2 − −( 4) = 2 y 2 es positivo
La ordenación existente en el conjunto de los números reales permite definir un tipo de conjunto: los intervalos o segmentos:
####### DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
Si a b entonces el conjunto de números reales { x a x b}es un segmento de la recta numérica
llamado intervalo cerrado y se denota por [ ,a b ], en la figura 7 se observa la representación gráfica de un intervalo cerrado.
Figura 7. Representación gráfica de un intervalo cerrado en la recta real.
Si a b entonces el conjunto de números reales { x a x b}es un segmento de la recta numérica
llamada intervalo abierto y se denota por ( a b , ), en la figura 8 se observa la representación gráfica del
intervalo abierto.
Figura 8. Representación gráfica de un intervalo abierto en la recta real.
Los conjuntos de la forma ( a b , = x a x b y a b , ) = x a x b se llaman intervalos
semiabiertos o semicerrados.
En el caso del conjunto (a b , es abierto por la izquierda y cerrado por la derecha y su representación
gráfica en la recta real se observa en la figura 9.
Figura 9. Representación en la recta real del intervalo (a b , .
En el conjunto a b , ) es un intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha y su
representación gráfica en la recta real se observa en la figura 10.
Figura 10. Representación en la recta real del intervalo a b , ).
Otros tipos de intervalos son: ( − , b) = x x b, ( −, ] b = x x b, ( a , =) x a x y
[ ,a =) x a x denominados intervalos infinitos.
Los números a y b que determinan cada uno de los conjuntos anteriores se denominan extremos (izquierdo y derecho) del correspondiente intervalo.
Otra forma de representar el conjunto de los números reales en forma de intervalo es ( − , ).
####### COTA SUPERIOR E INFERIOR.
Un conjunto A es acotado superiormente si existe un número real M que es mayor que todos los elementos del conjunto A, es decir x A, M tal que x M, (para toda x que pertenece al conjunto A, existe M que pertenece a los reales, tal que x es menor igual a M), a este número M, se le llamará cota superior de A. Cualquier otro real mayor que M, también será una cota superior de A.
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( a b, b a b
(− ,b b b
( − ,b) b
( a , ) a
a , ) a a
Densidad de los números reales. Propiedad (Densidad de en ). Esta propiedad es conocida como propiedad arquimediana y establece que “para cualquiera pareja x y y de números racionales, existe otro número racional situado entre ellos”
Así pues, entre los números x y y puede localizarse el número
( )
####### 2
x +y , lo cual induce la idea de
densidad y de una cantidad grande de números racionales.
Propiedad (Densidad de en ). “Entre cada dos números irracionales existe otro número irracional”
Tanto los números racionales como los irracionales pueden asociarse a un punto de la recta numérica, proposición que puede corroborarse con las cortaduras de Dedekind. Es también para destacarse que el conjunto de los números reales es la unión disjunta de los números racionales y de los irracionales; = .
Figura 11. Representación en la recta real de algunos números irracionales
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REPORTE
NOMBRE DE LA PRÁCTICA:
PRÁCTICA No. 1
Los números reales y la recta numérica
####### DATOS GENERALES:
####### NOMBRE:
####### GRUPO/ESPECIALIDAD: FECHA DE ENTREGA:
####### PERIODO: CALIFICACIÓN:
####### LISTA DE VALORES PARA EL REPORTE DE LA PRÁCTICA
####### NOTA:
Para que el reporte sea revisado y se otorgue la puntuación convenida, es necesario que cumpla con las siguientes características: Demuestra compromiso ético en la realización del reporte (en caso de que los ejercicios resulten copiados o con los mismos errores cometidos por otros compañeros serán anulados).
Cumple No Cumple
####### ASPECTOS POR EVALUAR PUNTUACIÓN
####### MÁXIMA
####### PUNTUACIÓN
####### OBTENIDA
####### OBSERVACIONES
Entrega el reporte en tiempo y forma. 10
Cumple con las indicaciones respecto al orden, limpieza (sin manchas o tachaduras) y letra legible para el reporte.
10
Hace uso correcto del software de forma que la presentación y visualización de las construcciones realizadas son correctas. 20
Emplea la notación matemática correcta y muestra los pasos de solución donde se requiera
10
Responde correctamente los ejercicios siguiendo las instrucciones especificadas. 30
Identifica los conceptos propuestos en la práctica, contestando correctamente la guía de preguntas. 20
TOTAL 100
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EJERCICIO No. 2
####### CALCULO DEL NÚMERO IRRACIONAL 9
Instrucciones:
- Crear un deslizador llamado r dando clic en el ícono ubicado en la barra de herramientas, con los valores Mín: 0, Máx: 5, Incremento: 1 como se muestran en la figura 11.
Figura 11. Creación del deslizador r.
- Crear otro deslizador llamado de ángulo con los valores Mín: 0, Máx: 360°, Incremento: 5° como se muestran en la figura 12.
Figura 12. Creación del deslizador .
- Crear los puntos A y B ingresando en la barra de entrada: presiona enter y
presiona enter. Recuerda dar un espacio entre r y para que GeoGebra interprete correctamente la multiplicación.
- Emplea la herramienta circunferencia (centro, radio) para crear un círculo con centro en el punto B y radio r, como se muestra en la figura 13.
####### DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
Figura 13. Creación de un circulo con centro en B y radio r.
Encontrar la intersección de la circunferencia con el eje x emplea la herramienta , automáticamente el programa le asigna a este punto el nombre C.
Unir el punto C con el punto A, con un segmento de recta , colorear este segmento de rojo, has la línea más gruesa, renombrar el segmento de recta como “perímetro”, seleccionando el objeto segmento etiquetado como “a” da clic botón derecho/renombra.
Emplear la herramienta rotación para generar el punto C ́, el cual rotara alrededor del círculo como una rueda girando. Para generar C’ da clic sobre la herramienta rotación, enseguida clic sobre el punto C, clic sobre el punto B y finalmente donde pide ángulo de rotación escribe el símbolo , deja seleccionada la opción de “sentido antihorario”. Oculta el punto C.
Une el punto B con el punto C ́ (C prima) empleando un vector que apunte hacia el punto C ́. Colorea el vector de rojo.
Oculta el eje y. Para ello coloca el puntero en la vista gráfica en un área libre de objetos da clic en botón derecho y elige el submenú Vista Gráfica, en el menú que aparece elije la pestaña Eje y; y quita la palomita en la casilla de control Eje-y.
Oculta la cuadricula. Para hacerlo coloca el puntero en la vista gráfica en un área libre de objetos da clic en botón derecho y elige la opción Cuadrícula.
En el menú principal elige Propiedades → Redondeo y elige 15 cifra decimales.
Una vez concluida la construcción fija un valor de radio y mueve el deslizador de ángulo desde 0° hasta 360°, observa en la vista algebraica el valor del segmento de recta que une los puntos C y A. Pegar la imagen de la construcción en la parte de abajo.
Fijando los valores del radio y moviendo el deslizador de ángulo desde 0 hasta 360°, completa la siguiente tabla.
r (cm) Perímetro (cm) Perímetro/diámetro(d) d=2r 1 10 20 50 100 Contesta lo siguiente:
¿Qué tipo de número es el valor del radio de un círculo? ____________________
¿Qué tipo de número es el perímetro calculado de un círculo? ______________________
El valor obtenido de la relación entre el perímetro/diámetro, ¿qué tipo de número es?:__________________,
¿Cuál es este número? ___________
####### DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
mín A( C)= (No presenta)
máx A( C)=
sup( A C)= ínf( A B) = − 8
####### 4. B − A=
mín B( − A) =______ máx B( − A) =______ sup ( B − A) =______ ínf ( B − A) =______
####### 5. A B=
mín A( B) =______ máx A( B) =______ sup ( A B) =______ ínf ( A B) =______
####### DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
####### 6. A − B=
mín A( − B) =______ máx A( − B) =______ sup ( A − B) =______ ínf ( A − B) =______
EJERCICIO No. 4
####### DENSIDAD DE LOS NÚMEROS REALES
INSTRUCCIONES: Utilizando GeoGebra, localiza el número racional positivo más cercano al cero en base a una secuencia de bisección consecutiva en la recta numérica, de forma que se generará una acumulación de puntos cercanos al cero. PROCEDIMIENTO 1. Abrir una nueva página en GeoGebra. 2. Ocultar el Eje Y.
Con la herramienta , sitúa lo puntos A=(0,0) y B=(10,0) sobre el eje x.
Construir un deslizador con la herramienta de nombre n, con valores mínimo igual a 1, máximo igual a 100 e incremento de 1 unidad.
En la casilla de entrada insertar el comando Secuencia(<Expresión>, <Variable>, <Valor inicial>, <Valor final> ) con la siguiente sintaxis: Expresión: ((x(B) - x(A)) / (2i), 0) Variable: i Valor inicial: 1 Valor final: n La expresión final debe ser “Secuencia[((x(B) - x(A)) / (2i), 0), i, 1, n]”
El programa generará automáticamente una lista de puntos con el nombre “lista1” que podrá ser vista en el área algebraica de GeoGebra. Si este objeto no está activado, entonces actívalo para que pueda verse en el área gráfica. Ejemplo de cuando no está activada ver figura 16.
Figura 16. Lista de puntos que se genera en la Vista Algebraica
En tal caso debe dar click en el círculo blanco a un lado de “lista1”. Cuando el valor de n es 39, la figura 17 se verá como:
####### DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
- Determine el ínfimo, supremo, máximo y mínimo del siguiente conjunto.
A A =[2,6) sup( A) = ínf ( A) = máx A( ) = mín A( ) =
Practica 1 - Numeros reales y recta numerica
Materia: Calculo Diferencial (CDI23)
Universidad: Instituto Tecnológico de Celaya
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