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M
A
TE
M
Á
Ti
C
A
61Editora Bernoulli
Posições relativas e distância de ponto a reta
ExERCíCioS DE FixAção
01. (UFMG) A relação entre m e n, para que as retas das 
equações 2x – my + 1 = 0 e nx + 3y + 5 = 0 sejam 
paralelas, é
A) 
m
n
= 2
3
 C) 
m
n
= 3
2
 E) mn = 6
b) 
m
n
= − 3
2
 D) mn = –6
02. (UFMG) seja a reta r de equação 2x – 3y – 5 = 0. 
A equação da reta s, paralela a r, que contém P(1, –2), é
A) 2x – 3y – 1 = 0 D) 3x + 2y + 1 = 0
b) 2x – 3y – 8 = 0 E) 2x + 3y + 4 = 0
C) 3x – 2y – 7 = 0 
03. (UFMG) A reta determinada pelos pontos P(a, 0) e Q(0, 2) 
é perpendicular à reta 3x – 2y – 4 = 0. A abscissa do 
ponto P é
A) 3 b) 
3
2
 C) 
4
3
 D) –
4
3
 E) –3
04. (UFMG) As retas perpendiculares à reta de equação 
3x + 4y – 9 = 0 que distam 4 unidades da origem são
A) 4x – 3y = 5 e 4x – 3y = –5
b) 4x – 3y = 20 e 4x – 3y = –20 
C) 4x – 3y = 4 e 4x – 3y = –4 
D) 3x – 4y = 10 e 3x + 4y = –10
E) 4x – 3y = 10 e 4x – 3y = –10 
05. (PUC-sP) sejam a, B, C e D vértices consecutivos de um 
quadrado, tais que A = (1, 3) e B e D pertencem à reta 
de equação x – y – 4 = 0. A área desse quadrado, em 
unidades de superfície, é igual a
A) 36¹2 C) 32¹2 E) 24¹2
b) 36 D) 32 
ExERCíCioS PRoPoSToS 
01. (vUNEsP) sabendo que o DAbC é um triângulo retângulo 
(b = 90°), as coordenadas do vértice C são
–2
2 7
C
B
A
x
y
5
3
A) 5, –2 D) 4
1
2
, –2
b) 3
1
2
, –2 E) N.d.a
C) 4, –2
02. (FUvEsT-sP) As retas r e s são perpendiculares e 
interceptam-se no ponto (2, 4). A reta s passa pelo ponto 
(0, 5). Uma equação da reta r é
A) 2y + x = 10 
b) y = x + 2 
C) 2y – x = 6 
D) 2x + y = 8
E) y = 2x 
03. (UFPE) Considere o triângulo de vértices A(1, 1), b(3, 2) 
e C(2, 3). A equação da reta que contém a altura desse 
triângulo relativa ao lado AC é dada por
A) x – 2y = 7 
b) 2x + 2y = –7 
C) 2y – x = 7
D) x + 2y = 7
E) x + 2y = –7
04. (UFMG) A reta r passa pelo ponto (16, 11) e não 
intercepta a reta de equação y = 
x
2
 – 5. Considerando-se 
os seguintes pontos, o úNiCo que pertence à reta r é
A) (7, 6) 
b) 7
13
2
,





 
C) (7, 7)
D) 7
15
2
,






05. (UFTM-MG–2010) A figura apresenta uma circunferência 
de centro o e um diâmetro AB no plano de coordenadas 
cartesianas. As coordenadas de a e B são dadas na figura. 
sendo AOC um ângulo reto, a reta que contém o diâmetro 
que passa pelo ponto C pode ser expressa pela equação
y
x
O
C
B(2, 6)
A(10, 0)
O
A) x – 
1
2
y = 10 
b) 2x – 
1
3
y = 12 
C) 4x – 3y = 15
D) 5x – 4y = 18
E) 6x – 8y = 21
62 Coleção Estudo
Frente E Módulo 09
06. (Mackenzie-sP–2009) No sistema cartesiano ortogonal, 
a reta 3x + 2y – 6 = 0 intercepta a curva y = cos x, 
conforme figura. A distância do ponto P à reta dada é
y
xO
–1
1
P
A) 
3
2 13
π
 C) 
3 2
13
π +
 E) 
3
13
π
b) 
3 2
13
π −
 D) 
3 4
2 13
π −
 
07. (UCsal-bA) Considere o triângulo de vértices A(0, 0), 
b(1, 4) e C(4, 1). sua altura em relação à base BC mede
A) 2¹2 b) 
5 2
2
 C) 4 D) 4¹2 E) 5¹2
08. (UFMG) A distância entre as retas de equações 
y = ¹3x e y = ¹3x + 2 é
A) ¹3 b) 2¹3 C) 
3
2
 D) 1 E) 2
09. (FUvEsT-sP) são dados os pontos A(1, 1) e b(9, 3). 
A mediatriz do segmento AB encontra o eixo dos y no 
ponto de ordenada igual a
A) 20 b) 21 C) 22 D) 23 E) 24
10. (UFRGs) As retas paralelas y = ax + 2 e y = (5 + 2b)x – 1 
são perpendiculares à reta y = 
2
b
x + 3, com a ∈  e 
b ∈ *. O valor de a + b é
A) –2 b) –1 C) 0 D) 1 E) 2
11. (Mackenzie-sP) A distância da reta determinada pelos 
pontos A(1, 4) e b(5, 2) à origem é
A) 9 b) 5 C) 
9
5
 D) 81
5
 E) 9 5
5
12. (FUvEsT-sP) Os pontos M(2, 2), N(–4, 0) e P(–2, 4) são, 
respectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC e 
CA do triângulo AbC. A reta mediatriz do segmento AB 
tem a equação
A) x + 2y – 6 = 0 D) 2x + y – 6 = 0 
b) x – 2y + 2 = 0 E) –x + 2y + 6 = 0
C) 2x – 2y – 2 = 0 
13. (Mackenzie-sP) Conhecidas as equações das retas 
r: mx + y – 3 = 0 e s: 3x + y + k = 0, podemos afirmar 
que r e s são retas
A) paralelas, se m = 3 e k = –3.
b) coincidentes, se m = 3 e k ≠ –3.
C) concorrentes, se m ≠ 3, k ∈ .
D) concorrentes, se k = –3, m ∈ .
E) paralelas, se m = 3, k ∈ .
SEção ENEM
01. Considere uma cidade em que as ruas são representadas 
por retas e as casas, por pontos. Num mapa cartesiano 
dessa cidade, com medidas em km, a padaria Pannetutti 
se localiza no ponto P(–5, 0) e o açougue Quasar se 
localiza no ponto Q(–1, –3). Uma pessoa que estiver 
na origem desse mapa e quiser se dirigir à Rua Pedro 
Quintão, na qual se localizam a padaria e o açougue, terá 
de caminhar uma distância de, no mínimo,
A) 2 km. D) 3,5 km.
b) 2,5 km. E) 4 km.
C) 3 km.
02. Num sistema cartesiano, um trem segue uma trajetória 
retilínea dada pela reta 2x + 3y – 6 = 0. A menor distância 
entre uma cidade localizada no ponto P(3, ¹13) e o trem é
A) 1 b) 2 C) 3 D) 4 E) 5
GABARiTo
Fixação
01. D 02. b 03. A 04. b 05. b
Propostos
01. C 08. D 
02. E 09. C 
03. D 10. b
04. b 11. E
05. C 12. A
06. E 13. C
07. b
Seção Enem
01. C 02. C
FRENTE
63Editora Bernoulli
MóDuLoMateMática
Áreas e teoria angular 10 E
ÁREA DE uM TRiÂNGuLo
A área s de um triângulo de vértices A(xA, yA), b(xb, yb) e 
C(xC, yC) é dada por:
s = 
1
2
|D|, em que D = 
x y
x y
x y
A A
B B
C C
1
1
1
ObsERvAçÕEs
i) se D = 0, então os pontos a, B e C são colineares.
ii) Para se calcular a área de um polígono, podemos 
dividi-lo em triângulos e calcular a soma das áreas de 
cada um deles.
Exemplo
Calcular a área do quadrilátero de vértices M(1, 1), 
N(4, 2), P(3, 5) e Q(1, 4).
Resolução:
Observando-se o esboço a seguir, obtemos a área do 
quadrilátero somando as áreas dos triângulos MNP e PQM.
y
x1 3 4O
1
2
4
5
Q
P
N
M
sejam DMNP o determinante dos pontos M, N e P e DPQM 
o determinante dos pontos P, Q e M.
Assim, temos:
DMNP = 
1 1 1
4 2 1
3 5 1
 = 10 e DPQM = 
3 5 1
1 4 1
1 1 1
 = 6
Portanto, sMNPQ = sMNP + sPQM = 
1
2
|10| + 
1
2
|6| = 8.
ÂNGuLo AGuDo ENTRE DuAS 
RETAS CoNCoRRENTES
se duas retas r e s são concorrentes e não perpendiculares, 
elas determinam dois ângulos agudos a opostos pelo vértice 
e dois ângulos obtusos b opostos pelo vértice, tais que 
a + b = 180° e tg a = –tg b.
aa
b
b
s
r
Teorema
sejam (r) y = mrx + nr e (s) y = msx + ns duas retas 
concorrentes e não perpendiculares (mr .ms ≠ –1). 
O ângulo agudo ϕ entre elas é tal que:
tg ϕ = 
m m
m m
r s
r s
−
+1 .
Caso particular
sejam (r) y = mrx + nr, mr ≠ 0, e (s) x = k.
O ângulo agudo ϕ entre elas é tal que:
tg ϕ = 
1
m
r
Exemplo
sejam r: y = 2x + 7 e s: y = – 3x.
Então, tg ϕ = 
2 3
1 2 3
− −
+ −
( )
( )
 = 
5
5−
 = |–1| = 1 ⇒ ϕ = 45º.
PoSiçõES RELATiVAS ENTRE 
PoNTo E RETA
Consideremos, por exemplo, a reta r de equação reduzida 
y = 2x + 2, cujo gráfi co é a fi gura a seguir, e o ponto A(1, 4). 
Observe que o ponto a pertence a r, pois 4 = 2.1 + 2.
y
4 A
xO 1
r