大人が意外と解けない数学「√35280」→根号内の数をできるだけ小さな整数にすると？

「2乗するとXになる正の数」を√Xと表します。

この「根号」（ルート）を用いて表した数は、根号の中の数を小さくすることが可能な場合があります。

「√4=2」「√9=3」などは、暗算ですぐに求めることが可能ですが、大きな数の場合は、どのように計算をすれば良いのでしょうか。

問題

根号内の数をできるだけ小さな整数にして表しなさい。
√35280

根号の中の数が大きな数なので、数が分かりにくくなっています。

どのように式変形をすれば良いでしょうか。

解説

今回の問題の答えは「84√5」です。

この答えを導くには、次のように計算をします。

35280を素因数分解すると
35280=2×2×2×2×3×3×5×7×7なので、

√35280
= √(2^2)×(2^2)×√(3^2)×√5×√(7^2)
=2×2×3×7×√5
=84√5

ポイントを順に解説します。

素因数分解

まずは、35280を素因数分解します。

小さな素数で順に割り算を繰り返しましょう。

通常、以下のように割り算をします。

これにより、
35280を素因数分解すると
35280=2×2×2×2×3×3×3×5×7×7
ということが分かりました。

根号を外す

根号を用いて表された数は「2乗すると◯（根号内の数）になる数」ということになります。

例えば、
√4=2（「二乗すると4になる数」は2）
√9=3（「二乗すると9になる数」は3）
√25=5（「二乗すると25になる数」は5）

√(a^2)=a（ただしaは正の数）

素因数分解をしたことによって、「根号を外すことができる部分」が分かります。

35280
=(2×2)×(2×2)×(3×3)×5×(7×7)

上記のように、二乗（同じものを二回掛け算）を作ると、この部分は根号を外すことが可能です。

√35280
= √(2×2)×√(2×2)×√(3×3)×√5×√(7×7)
=2×3×11×√5
=84√5

したがって、今回の問題の答えは「84√5」です。

まとめ

ルートの中を小さな数にするためには、素因数分解を考えます。

これは、ルートの計算をする際に欠かせないものとなるので、忘れていた方はぜひ復習をしてみてください！

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法をもつものもございます。
あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

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文（編集）：SAJIMA
日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」

監修：株式会社かえでプロダクション（公式HP）

「編集技術で過去と未来をつなぐ」小学生・中学生・高校生の学習用教材を執筆・編集・校正する編集専門のプロダクション。英語・算数/数学・国語・理科・社会の主要５科目のテキストやドリル、テストや模試、デジタル系の教材など幅広く制作。教材からできる教育を目指し、教育業界を支える会社。会社独自の福利厚生が充実しており、社員が働きやすい環境を整え、新しい働き方で第三者機関から認定を受けている。

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