工夫して5秒で計算してみて！「75×75」→暗算できる？

二桁の数同士の掛け算は、暗算では難しいと思うかもしません。しかし、ある条件のときには、簡単に計算することが可能になります。

その方法さえ覚えてしまえば、暗算で計算することもできるでしょう！

問題

次の計算を暗算でしなさい。
75×75（75の2乗）

普通に計算すると、暗算では少し難しく感じるかもしれません。

まずは正しい答えを出すことができるか、自分自身で計算してみましょう。

解説

今回の問題の答えは「5625」です。

ここでは暗算で答えを求める方法を紹介します。

今回ご紹介する計算方法は、「◯5の2乗」の計算で利用可能です。
※「二桁で一の位が5の数」を2乗する計算

【手順1】
十の位の数とそれより1大きい数を掛け算する。
「75×75」の場合、十の位「7」と「7より1大きい数（8）」を掛け算。（7×8=56）

【手順2】
一の位の数（5）を2乗する。
（5×5=25）

【手順3】
【手順1】、【手順2】で求めた数を並べる。これが答えとなる。
（56と25なので、5625）

とても簡単に計算することができましたね。

「◯5の2乗」という計算であれば、すべて同じ手順となります。

気がついた方がいるかもしれませんが、「◯5」を2乗すると、その計算結果の下二桁は必ず「25」になります。

15の2乗= 225
25の2乗= 625
35の2乗=1225
45の2乗=2025
・・・

つまり、実質計算をしなければいけないのは、百の位、千の位の部分ということになります。

これも簡単な九九だけで求めることができますね！

計算法が成り立つ理由

ここでは、上記の計算方が成り立つ理由を数学的に証明をしてみましょう。

その証明のために、下記の展開公式を利用します。

＜展開公式＞
(a+b)^2 = a^2 +2ab +b^2

今回の計算では、二桁で一の位が5である数を2乗します。

つまり
(10a+5)^2
の計算をするということになります。（十の位がa）

これを展開公式に当てはめ、式変形をしてみましょう。

  (10a+5)^2
=(10a)^2 +2×10a×5 +5^2
=100a^2 +100a +25
=100a(a+1) +25

a(a+1)の部分が、【手順1】に当たる計算です。

100が掛けられているので、100a(a+1) の答えは百の位と千の位になります。

また、下二桁は必ず「25」になることも分かります。

まとめ

今回の計算では、複雑な手順がなく、とても簡単で覚えやすいはずです。

うまく利用すると、さらに計算スピードを上げられるはずなので、ぜひ利用してください！

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法を持つものもございます。
あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

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文（編集）：SAJIMA
日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」

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