大人が意外と解けない？！「1325÷9」→暗算できる？

2024.12.12

大きな数の割り算は、筆算を使ってもややこしく感じることがあるでしょう。

しかし、このような割り算の答えが暗算で求められるとしたら？

今回は、9の割り算に特化した暗算方法をご紹介します。

問題

次の計算をしなさい。（商は整数で求め、あまりも出すこと）
1325÷9

解答

正解は、「147あまり2」です。

暗算するための手順は、次の「ポイント」で解説しています。

ぜひご覧ください。

ポイント

この問題のポイントは、「インド式計算法を使うこと」です。

インド式計算法には複雑な計算を暗算するための様々な方法があります。今回は9の割り算に特化した計算法をご紹介します。

<9で割る場合のインド式計算法>
1.商の前から一番目の桁の数←割られる数の前から一番目の桁の数を書く
2.商の前から二番目の桁の数←割られる数の前から一番目と二番目の桁の数の合計を書く
3.商の前から三番目の桁の数←割られる数の前から一番目と二番目と三番目の桁の数の合計を書く…（割られる数の最後の桁のひとつ前まで繰り返す）
・あまり←割られる数のすべての桁の数字の合計を書く
※合計が9以上になる場合は、9で割ったときの商を一つ上の桁（余りの場合は商の最後の桁）に繰り上げする

では、この計算方法を今回の問題に用いてみましょう。

<1325÷9をインド式計算法でする場合>
1325（割られる数）÷9（割る数）
1.商の前から一番目の桁の数は1←割られる数の前から一番目の桁の数は1
2.商の前から二番目の桁の数は4←1+3=4
3.商の前から三番目の桁の数は6←1+3+2=6
割られる数の最後の桁のひとつ前まで終了したので、後はあまりを求める。
・あまり→割られる数のすべての桁の数字を足した数は、1+3+2+5=11。
11は9より大きい。11÷9=1あまり2なので、商の一の位の数6に1を繰り上げ、商は7。2をあまりとする。

答え：147あまり2

インド式計算法が成り立つ理由

さて、このような計算方法がどうして成り立つのか不思議に思う人もいるでしょう。

そこで、次の式を見てください。

1000a+100b+10c+d

これは1000の位がa、100の位がb、10の位がc、一の位がdの数を表した式です。

この式を各位における9の倍数部分が分かるように変形していきます。

1000a+100b+10c+d
=(900+100)a+(90+10)b+(9+1)c+d←9の倍数になるように10の倍数を変形していく
=900a+100a+90b+10b+9c+c+d
=900a+(90a+10a)+90b+10b+9c+c+d
=900a+90a+(9a+a)+90b+(9b+b)+9c+c+d
=900a+90a+90b+9a+9b+9c+a+b+c+d
=9×100a+9×10(a+b)+9(a+b+c)+(a+b+c+d)

この式の中で、100aが「商の前から一番目の桁の数←割られる数の前から一番目の桁の数」に対応しています。順に10(a+b)が「商の前から二番目の桁の数←割られる数の前から一番目と二番目の桁の数の合計」に、a+b+cが「商の前から三番目の桁の数←割られる数の前から一番目と二番目と三番目の桁の数の合計」になります。

最後のa+b+c+dには9を掛けている部分がないので、これがあまりになります。