statistics final exam cheat sheet, Cheat Sheet of Statistics

Download statistics final exam cheat sheet and more Cheat Sheet Statistics in PDF only on Docsity!   Population ­  entire collection of objects or  individuals about which information is desired.   ➔ easier to take a sample  ◆ Sample ­  part of the population  that is selected for analysis   ◆ Watch out for:   ● Limited sample size that  might not be  representative of  population  ◆ Simple Random Sampling­  Every possible sample of a certain  size has the same chance of being  selected    Observational Study ­  there can always be  lurking variables affecting results   ➔ i.e, strong positive association between  shoe size and intelligence for boys   ➔ **should never show causation    Experimental Study­  lurking variables can be  controlled; can give good evidence for causation    Descriptive Statistics Part I  ➔ Summary Measures         ➔ Mean ­  arithmetic average of data  values   ◆ * *Highly susceptible to  extreme values (outliers).  Goes towards extreme values  ◆ Mean could never be larger or  smaller than max/min value but  could be the max/min value    ➔ Median  ­  in an ordered array, the  median is the middle number  ◆ **Not affected by extreme  values     ➔ Quartiles ­  split the ranked data into 4  equal groups   ◆ Box and Whisker Plot      ➔ Range  =   Xmaximum Xminimum ◆ Disadvantages:  Ignores the  way in which data are  distributed; sensitive to outliers     ➔ Interquartile Range (IQR)  =  3rd  quartile ­ 1st quartile   ◆ Not used that much  ◆ Not affected by outliers         ➔ Variance ­  the average distance  squared                        sx2 = n 1 (x x)∑ n i=1 i 2     ◆ gets rid of the negativesx2   values   ◆ units are squared     ➔ Standard Deviation ­  shows variation  about the mean                    s =√  n 1(x x)∑ n i=1 i 2   ◆ highly affected by outliers   ◆ has same units as original  data   ◆ finance = horrible measure of  risk (trampoline example)      Descriptive Statistics Part II  Linear Transformations      ➔ Linear transformations change the  center and spread of data   ➔ ar(a X) V ar(X)V + b = b2   ➔ Average(a+bX) = a+b[Average(X)]      ➔ Effects of Linear Transformations:  ◆ a + b*mean meannew =   ◆ a + b*medianmediannew  =   ◆ *stdev stdevnew = b| |   ◆ *IQR IQRnew = b| |   ➔ Z­score ­  new data set will have mean  0 and variance 1                           z = S X X     Empirical Rule   ➔ Only for mound­shaped data  Approx. 95% of data is in the interval:         x s , x s ) s  ( 2 x   + 2 x = x + / 2 x ➔ only use if you just have mean and std.  dev.     Chebyshev's Rule   ➔ Use for any set of data and for any  number k, greater than 1 (1.2, 1.3, etc.)  ➔  1 1 k2 ➔ (Ex) for k=2 (2 standard deviations),  75% of data falls within 2 standard  deviations    Detecting Outliers   ➔ Classic Outlier Detection  ◆ doesn't always work   ◆ z| | =  |  |   S X X  |   |  ≥ 2   ➔ The Boxplot Rule  ◆ Value X is an outlier if:                  X<Q1­1.5(Q3­Q1)                            or                 X>Q3+1.5(Q3­Q1)          Skewness  ➔ measures the degree of asymmetry  exhibited by data  ◆ negative values= skewed left  ◆ positive values= skewed right   ◆ if  =  don't need.8  skewness| | < 0   to transform data    Measurements of Association  ➔ Covariance  ◆ Covariance > 0 = larger x,  larger y  ◆ Covariance < 0 = larger x,  smaller y   ◆ s (x )(y ) xy = 1n 1 ∑ n i=1 x y     ◆ Units = Units of x   Units of y  ◆ Covariance is only +, ­, or 0  (can be any number)    ➔ Correlation ­  measures strength of a  linear  relationship between two  variables   ◆ rxy = covariance  xy (std.dev. )(std. dev. )x y   ◆ correlation is between  ­1 and 1  ◆ Sign: direction of relationship  ◆ Absolute value: strength of  relationship (­0.6 is stronger  relationship than +0.4)                         ◆ Correlation doesn't imply  causation  ◆ The correlation of a variable  with itself is  one     Combining Data Sets  ➔ Mean (Z) =  X Y  Z = a + b ➔ Var (Z) =  V ar(X) V ar(Y )  sz2 = a2 + b 2 +                     abCov(X , )  2 Y   Portfolios   ➔ Return on a portfolio:                         R RRp = wA A + wB B     ◆ weights add up to 1  ◆ return = mean  ◆ risk = std. deviation    ➔ Variance of return of portfolio               s ss2p = w2A 2 A + w 2 B 2 B + w w (s )2 A B A,B     ◆ Risk(variance) is  reduced when  stocks are  negatively  correlated. (when there's a  negative covariance)      Probability   ➔ measure of uncertainty   ➔ all outcomes have to be  exhaustive  (all options possible)  and  mutually  exhaustive (no 2 outcomes can  occur at the same time)         ➔ Mean for uniform distribution:                    (X)E = 2 (a+b)   ➔ Variance for unif. distribution:                   ar(X)V = 12 (b a)2     Normal Distribution   ➔ governed by 2 parameters:               (the mean) and   (the standard μ σ               deviation)  ➔ (μ, )   X ~ N σ2   Standardize Normal Distribution:                        Z = σ X μ   ➔ Z­score is the number of standard  deviations the related X is from its  mean  ➔ **Z< some value, will just be the  probability found on table  ➔ **Z> some value, will be  (1­probability) found on table    Normal Distribution Example         Sums of Normals    Sums of Normals Example:   ➔ Cov(X,Y) = 0 b/c they're independent    Central Limit Theorem   ➔ as n increases,   ➔  should get closer to  (populationx  μ   mean)  ➔ mean( )  x = μ ➔ variance x) n  ( = σ2/   ➔ (μ, )X ~ N n σ2   ◆ if population is normally distributed,  n can be any value  ◆ any population, n needs to be  0  ≥ 3   ➔ Z = X μσ/√n         Confidence Intervals  = tells us how good our  estimate is   **Want high confidence, narrow interval   **As confidence increases  , interval also    increases      A. One Sample Proportion     ➔ p︿ = xn = sample size number of  successes in sample   ➔     ➔ We are thus 95% confident that the true  population proportion is in the interval…  ➔ We are assuming that n is large, n >5 and p︿   our sample size is less than 10% of the  population size.         Standard Error and Margin of Error     Example of Sample Proportion Problem     Determining Sample Size                n = e2 (1.96) p(1 p)2︿ ︿   ➔ If given a confidence interval,  is p︿   the middle number of the interval   ➔ No confidence interval; use worst  case scenario   ◆ =0.5 p︿       B. One Sample Mean   For samples n > 30   Confidence Interval:                ➔ If n > 30, we can substitute s for               so that we get: σ                                    For samples n < 30    T Distribution used when:   ➔ is not known, n < 30, and data is σ   normally distributed            * Stata always uses the t­distribution when  computing confidence intervals      Hypothesis Testing   ➔ Null Hypothesis:   ➔ , a statement of no change and isH0   assumed true until evidence indicates  otherwise.   ➔ Alternative Hypothesis:  is aHa   statement that we are trying to find  evidence to support.  ➔ Type I error:  reject the null hypothesis  when the null hypothesis is true.  (considered the worst error)  ➔ Type II error:  do not reject the null  hypothesis when the alternative  hypothesis is true.     Example of Type I and Type II errors      Methods of Hypothesis Testing   1. Confidence Intervals **  2. Test statistic   3. P­values **  ➔ C.I and P­values always safe to do  because don’t need to worry about  size of n (can be bigger or smaller  than 30)  One Sample Hypothesis Tests  1. Confidence Interval (can be  used only for  two­sided  tests)     2. Test Statistic Approach  (Population Mean)            3. Test Statistic Approach (Population  Proportion)             4. P­Values   ➔ a number between 0 and 1   ➔ the larger the p­value, the more  consistent the data is with the null  ➔ the smaller the p­value, the more  consistent the data is with the  alternative   ➔ ** If P is low (less than 0.05),                  must go ­ reject the nullH0                   hypothesis           Assumptions of Simple Linear Regression  1. We model the AVERAGE of something  rather than something itself  2.                 ◆ As  (noise) gets bigger, it’sε   harder to find the line                           Estimating  Se   ➔ S2e = n 2 SSE   ➔ is our estimate of  σ  Se2 2 ➔ is our estimate of  σ  Se =√Se2 ➔ 95% of the Y values should lie within  the interval  X   1.96S  b0 + b1 + e             Example of Prediction Intervals:               Standard Errors for  and bb1 0   ➔ standard errors  when noise     ➔ amount of uncertainty in oursb0   estimate of   (small s good, large sβ0   bad)  ➔ amount of uncertainty in oursb1   estimate of β1                Confidence Intervals for  and bb1 0   ➔   ➔   ➔   ➔   ➔ n small → bad               big → bad se                 small→ bad (wants x’s spread out fors2x                 better guess)  Regression Hypothesis Testing   *always a two­sided test  ➔ want to test whether slope ( ) isβ1   needed in our model  ➔ :   = 0  (don’t need x)H0 β1   :  0  (need x) Ha =  β1 /   ➔ Need X in the model if:    a. 0 isn’t in the confidence  interval   b. t > 1.96  c. P­value < 0.05    Test Statistic for Slope/Y­intercept   ➔ can only be used if n>30  ➔ if n < 30, use p­values        Multiple Regression   ➔   ➔ Variable Importance:   ◆ higher t­value, lower p­value =  variable is more important  ◆ lower t­value, higher p­value =  variable is less important (or not  needed)    Adjusted R­squared  ➔ k = # of X’s            ➔ Adj. R­squared will  as you add junk x    variables  ➔ Adj. R­squared will only  if the x you    add in is very useful  ➔ **want Adj. R­squared to go up and Se  low for better model    The Overall F Test                           ➔ Always want to reject F test (reject  null hypothesis)   ➔ Look at p­value (if < 0.05, reject null)  ➔ :    (don’tH0 ...β1 = β2 = β3 = βk = 0   need any X’s)               :  (need at Ha ... =  β1 = β2 = β3 = βk / 0               least 1 X)  ➔ If no x variables needed, then SSR=0  and SST=SSE          Modeling Regression   Backward Stepwise Regression   1. Start will all variables in the model   2. at each step, delete the least important  variable based on largest p­value above  0.05  3. stop when you can’t delete anymore   ➔ Will see Adj. R­squared  and Se       Dummy Variables   ➔ An indicator variable that takes on a  value of 0 or 1, allow intercepts to  change          Interaction Terms  ➔ allow the slopes to change   ➔ interaction between 2 or more x  variables that will affect the Y variable    How to Create Dummy Variables (Nominal  Variables)   ➔ If C is the number of categories, create  (C­1) dummy variables for describing  the variable   ➔ One category is always the  “baseline”, which is included in the  intercept                 Recoding Dummy Variables   Example: How many hockey sticks sold in  the summer (original equation)        ockey 00 0Wtr 0Spr 0Fall  h = 1 + 1 2 + 3 Write equation for how many hockey sticks  sold in the winter         ockey 10 0Fall 0Spri 0Summer  h = 1 + 2 3 1   ➔ **always need to get same exact  values from the original equation