これどうやって計算するか覚えてる？「(−10)^5+(−1)^10」→正しく計算できる？

同じ数を何回も掛けることを「累乗」といいます。

何回掛けているかは右上の数（指数）を見ればわかります。上付き文字が使えないテキストや計算ソフトでは、「^」の記号を付けて指数を表します。

さて、今回は負の数を累乗する問題に挑戦してみましょう。

問題

次の計算をしてください。
(−10)^5+(−1)^10

正解は、「−99999」です。

どうやって計算すればよいのか分からなかったという人は、負の数の計算ルールが曖昧になっているのかもしれません。

次の「ポイント」で、計算方法を確認してみましょう。

この問題のポイントは、「指数が偶数なのか、奇数なのかを見ること」です。

負の数の掛け算で、答えの符号の正負を判断するには、次のルールを使います。

＜答えの符号の決め方（掛け算編）＞
・同符号どうしの掛け算の答え→正の数（+）になる例：−2×(−1)=2
・異符号どうしの掛け算の答え→負の数（−）になる例：−2×1=−2

累乗の計算では、これを拡張した次のルールを使うとより便利です。

・掛け算の中の負の数が偶数個の場合→答えは正の数（+）
・掛け算の中の負の数が奇数個の場合→答えは負の数（−）

どうしてこうなるのでしょうか？

掛け算の中の負の数が偶数個であれば、掛け算の中で負の数のペアを作ったとき、ペアになれずに余る負の数はありません。負の数がペアになったところは、「負の数×負の数」の掛け算を作れます。この答えは正の数になるため、全体の答えも正の数になるのです。

一方で、掛け算の中の負の数が奇数個になった場合、負の数のペアを作っていくと、負の数が必ず一つ余ります。つまりどこかで「正の数×負の数」の計算が発生するため、全体の答えも負の数になるのです。

<具体例>
・−2が4回（偶数回）掛けられている場合 −2×(−2)×(−2)×(−2)=4×4=16
−2が3回（奇数回）掛けられている場合 −2×(−2)×(−2)=4×(−2)=−8

では、ここまでに紹介した計算ルールを使って、今回の問題を計算していきましょう。

(−10)^5+(−1)^10

まずは(−10)^5ですが、これは−10を5回掛けているという意味になります。掛け算の中に登場する負の数が奇数個なので、答えは負の数になります。

一方、(−1)^10は、−1を10回掛けているという意味です。負の数を偶数回（10回）掛けているので、答えは正の数になります。

(−10)^5+(−1)^10
=−100000+1
=−99999

これで答えを出せましたね。

今回の問題では、指数に注目することで答えの正負を判断しました。

負の数は偶数回掛ければ正の数に、奇数回掛ければ負の数になります。負の数を累乗する問題を計算するときは、何回掛けているかを表している指数が偶数なのか、奇数なのかを確認しましょう。

他にも負の数の計算知識が試される問題を用意していますので、ぜひ挑戦してみてくださいね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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