工夫して10秒で計算してみて！「63×63」→暗算できる？

二乗とは、同じ数どうしを掛けることです。3×3のような一桁の二乗はすぐに計算できますが、二桁の二乗は筆算を使わないと難しそうですよね。

しかし、ある方法を使えば暗算でも計算が可能です。今回の問題では、二桁の二乗の暗算方法をご紹介します。

問題

次の計算をしなさい。
63×63

※制限時間は10秒です。

解答

正解は、「3969」です。

答えは大きな数になりましたが、どうすれば暗算できるのでしょうか。

次の「ポイント」で確認してみましょう。

ポイント

この問題のポイントは、「二乗する数の一の位を0の形に変形すること」です。

まず、具体的な暗算方法を確認してみましょう。

63×63を暗算で簡単に計算するには、次の三つを計算して足し合わせましょう。

<暗算方法>
1.63の一の位を0にして掛けた結果 60×60=3600 
2.60×3（63を60と3に分解して掛けたもの）を二倍した結果 60×3×2=360
3.一の位の3同士を掛けた結果 3×3=9

1～3の合計は「3600+360+9=3969」となり、正解と一致するのが分かります。

では、どうしてこのような方法で二乗の結果が算出できるのでしょうか。

問題の式は「63×63」ですが、これが「60×60」という形をしていたら、計算はずっと楽になりますよね。そこで、次のように変形を行い60×60の部分を作り出します。

  63×63
=(60+3)×(60+3)

ここで以下の「分配法則」を使います。

<分配法則>
a×(b+c)=a×b+a×c
(c+d)×e=c×e+d×e

a=(60+3)と考えて、()の中を展開しましょう。

  (60+3)×(60+3) →最初の(60+3)をaと考えて次の(60+3)の中とバラバラに掛けていく
=(60+3)×60+(60+3)×3
=60×60+3×60+60×3+3×3
=60×60+2×(3×60)+3×3

式の中に暗算方法で紹介した1～3の計算部分が登場しているのが分かります。

このように二桁の数の一の位が0になる掛け算で式が構成されるように工夫をすると、二桁×二桁の計算がとても楽になります。

まとめ

今回の問題で紹介した暗算方法は、どのような二桁の数の二乗にも使えます。

ab（十の位がa、一の位がb）の二乗を暗算する方法

1. abの一の位の数を取り除いて掛け合わせた結果 a0×a0 
2. a0×b（abをa0とbに分解して掛けたもの）を二倍した結果 a0×b×2
3. 一の位のb同士を掛けた結果 b×b

色々な数の二乗を計算して、この方法が使えることを試してみましょう。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。 あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください

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文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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