相似の証明１

図の△ABCは∠BAC=90°の直角三角形である。頂点Aから辺BCに垂線を下ろしその交点をDとする。

△ABD∽△CBAを証明せよ。

AB=12㎝, BC=13㎝, AC=5㎝のとき、ADの長さを求めよ。

∠AED=∠ACBのとき△ABC∽△ADEを証明せよ。

AB=15cm, AC=25cm, AD=9cmのとき△ABD∽△ACBとなることを証明せよ。

△ABCと△ADEはともに正三角形である。このとき△ABD∽△AEFを証明せよ。

(1)
△ABDと△CBAにおいて
∠ABD=∠CBA(共通)
∠BDA=∠BAC=90°(仮定)
よって2組の角がそれぞれ等しいので△ABD∽△CBA
(2) 　 60 13 ㎝

△ABCと△ADEにおいて
∠ACB=∠AED(仮定)
∠BAC=∠DAE(共通)
よって2組の角がそれぞれ等しいので△ABC∽△ADE

△ABDと△ACBにおいて
AB:AC=15:25=3:5
AD:AB=9:15=3:5
よってAB:AC=AD:AB・・・①
∠BAD=∠CAB(共通)・・・②
①、②より2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABD∽△ACB

△ABDと△AEFにおいて
∠BAC=∠DAE＝60°(正三角形の角)より
∠BAD=60°-∠DAC
∠EAF=60°-∠DAC
よって∠BAD=∠EAF・・・①
∠ABD=∠AEF=60°(正三角形の角)・・・②
①、②より二組の角がそれぞれ等しいので△ABD∽△AEF