よくある初等的な証明の流れをご説明します。 ※詳細な説明は下記のブログにあります。 ご参考くださいね。 https://ameblo.jp/oka-hideo/ 【数学】 フェルマーの最終定理のよくある初等的証明 X^n + Y^n = Z^nで、 X,Y,Zは互いに素、ｎ≧３は素数の自然数として 矛盾を導きます。 流れのポイントは、次の[1][2][3]です。 [1] E=X+Y-Z と A+B=C ⇒ A|E^n, B|E^n, C|E^nのご説明 E＝X+Y－Zとして、 X=A＋E、Y＝B+E、Z=C＋Eと置くと、 A+B=Cになります。 (A＋E)^n + (B+E)^n = (C＋E)^nなので、 A^n+Σ[k=1,n-1] nCk*A^k*E^(n-k)+E^n＝ A*{C^(n-1)+C^(n-2)*B+...+C*B^(n-2)+B^(n-1)}+ A*{Σ[k=1,1] nCk*1*E^(n-k)}+ A*{Σ[k=2,n-1] nCk*{C^(k-1)+C^(k-2)*B+...+C*B^(k-2)+B^(k-1)}*E^(n-k)} 左辺のE^n以外の項と右辺の項は、Aを含むので、A|E^n なので、rad(A) | E 同じく、B|E^n、C|E^n なので、rad(B)|E, rad(C)|E A,B,Cが共通素数pを持つと、Eも共通素数pを持つので、 X=A+E, Y=B+E, Z=C+Eも、共通素数pを持つので、 X,Y,Zが互いに素であることに矛盾します。 なので、A,B,Cも互いに素です。 [2] Aの素数p∤(E^n)/A ⇒ A=a^n Bの素数p∤(E^n)/B ⇒ B=b^n Cの素数p∤(E^n)/C ⇒ C=c^nのご説明 -【n*B^(n-1)】+【(E^n)/A】= 《n*Eを含む項》 -Σ[k=1,n-1] nCk*A^(k-1)*E^(n-k)+ { 《n*Aを含む項》 n*(n-1)/2*A*B^(n-2)+ 《A^2を含む項》 Σ[k=2,n-2] (n-1)Ck*A^k*B^(n-1-k)+ Σ[k=2,n-3] (n-2)Ck*A^k*B^(n-2-k)*B+A^(n-2)*B+ ...+ A^2*B^(n-3)}+ 《n*Eを含む項》 {Σ[k=1,n-1] nCk*{C^(k-1)+C^(k-2)*B+...+C*B^(k-2)+B^(k-1)}*E^(n-k)} Aの素数p|(E^n)/Aとすると、 左辺の-【n*B^(n-1)】が、pまたはn^2で割り切れないことで、 矛盾を導きます。 そして、Aの素数p∤(E^n)/Aとなることを示します。 つまり、(E^n)はちょうどAで割切れて、 Aの素数pの冪は、ちょうどnのm倍数乗p^mnになります。 なので、p^m|Eです。 ここで、a=∏[p|A]p^mとするとA=a^nになります。 同じく、 b=∏[p|B]p^mとするとB=b^nになります。 c=∏[p|C]p^mとするとC=c^nになります。 [3] A=a^n, B=b^n, C=c^nとA+B=C ⇒ a^n + b^n = c^nのご説明 A+B=Cなので、 a^n＋b^n=c^nになります。 X,Y,Zが互いに素で最小であれば、 a=n√A <A=X-E <X, b=n√B <B=Y-E <Y, c=n√C <C=Z-E <Z, a^n＋b^n=c^nで、 a,b,cは互いに素なので、 E≠0なら、 X^n + Y^n = Z^nとなる 最小のX,Y,Zであることに矛盾します。 もし、E＝0なら、 X=A,Y=B,Z=Cなので、 A+B=Cより、 X+Y＝Zになります。 このとき、 (X+Y)^n = Z^nより X^n + Y^n +{ΣnCk*(X^k)*Y^(n-k)} = Z^n {ΣnCk*(X^k)*Y^(n-k)}=0となるので矛盾します。 なので、 X^n + Y^n = Z^nで、 X,Y,Zは互いに素、ｎ≧３は素数の自然数はありません。