Weiter zum Dokument
Willkommen bei StudocuLogge dich ein, um Zugang zu den besten Studienressourcen zu erhalten.
Gastbenutzer(in)
0Follower
StartseiteMeine BibliothekKI fragen
  • Du hast noch keine neuen Elemente.
Meine Bibliothek
  • Du hast noch keine Kurse.
  • Du hast noch keine Bücher.
  • Du hast noch keine Studylists.
Premium
Dies ist ein Premium-Dokument.. Einige Dokumente auf Studocu sind Premium-Dokumente. Upgrade dein Konto auf Premium, um Zugriff zu erhalten.

Zusammenfassung Mathematik für Informatiker I

Wintersemester 2016/17
Kurs

Mathematik für Informatiker I (MTH-6000)

5 Dokumente
Studierenden haben 5 Dokumente in diesem Kurs geteilt
Hochgeladen von:
Anonymer Student
Dieses Dokument wurde von einer bzw. einem Studierenden hochgeladen, die/der wie du beschlossen hat, anonym zu bleiben.
Universität Augsburg

Kommentare

Bitte logge dich ein oder registriere dich, um Kommentare zu posten.

Was Studierende auch interessant finden

Ähnliche Dokumente

Ähnliche Studylists

Mathe 1

Text Vorschau

Warning: TT: undefined function: 32

Zusammenfassung Mathematik für Informatiker I

Modulo mit dem Taschenrechner

  • Division
  • ganzzahligen Rest abziehen
  • mit Nenner multiplizieren

euklidischer Algorithmus

ggT(s, t) - q = s div t - r = s mod t

solange t ungleich 0: - r und q berechnen - sneu = talt - tneu = rneu

Beispiel (nicht-tabellarisch): 798 = 294 * 2 + 210 294 = 210 * 1 + 84 210 = 84 * 2 + 42 ß 42 ist der ggT 84 = 42 * 2

Beispiel (tabellarisch): s t q r 798 294 - - 294 210 2 210 210 84 1 84 84 42 2 42 40 0 2 0

erweiterter euklidischer Algorithmus

  • q = s div t
  • r = s mod t
  • x, y, u, v vordefiniert durch 1, 0, 0, 1
  • x und y ergeben dabei die Vielfachsummendarstellung

Update -Formeln: - uneu = xalt – qneu*ualt - xneu = ualt - sneu = talt

  • vneu = yalt – qneu*valt
  • yneu = valt
  • tneu = rneu

Beispiel: s t q r x y u v 798 294 - - 1 0 0 1 294 210 2 210 0 1 1 - 210 84 1 84 1 -2 -1 3 84 42 2 42 -1 3 3 - 40 0 2 0 3 -8 -7 19

42 = ggT(798, 294) = 3798 – 8

Nachweis Restklassenring „Beschreiben Sie, wie man mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus nachweisen kann, dass a mod n eine Einheit im Restklassenring ℤ" ist und wie man ggf. das Inverse von a mod n berechnen kann.“ - a mod n ist Einheit modulo n <=> ggT(a, n) = 1 - der liefert der erw. Euklidische Algorithmus den ggT von a und n, sowie die Vielfachsummendarstellung davon, d. ggT(a, n) = aa + bn für a,b ∈ℤ

Induktion

  • Induktionsanfang (IA): o ist bei Summenzeichen der untere Wert (meist 0 oder 1) o wird in der Form n = 1 angegeben o dann berechnet man unabhängig voneinander die linke und rechte Seite mit dem n o dabei muss links und rechts das gleiche herauskommen
  • Induktionsschritt (IS): o man iteriert n zu n -> n+ o dann setzt man n+1 in die Gleichung ein o im Fall vom Summenzeichen, werden die n in der Klammer nicht durch n+1 ersetzt, sondern erst dahinter in einem weiteren Summanden
  • Induktionsvorraussetzung (IV): o wird über dem Gleichheitszeichen in der nächsten Zeile geschrieben, um die Gültigkeit zu signal isieren (nur die rechte Seite wird ausgerechnet) o nun wird solange umgeformt, bis alle n in der Form (n+1) auftauchen

IV: Gleichung aufstellen, linke Seite übernehmen, rechte Seite aus Angabe herleiten Behauptung: alle n durch (n+1) ersetzen Beweis: Ausmultiplizieren, Ausdruck aus Voraussetzung finden und ersetzen à Gültigkeit durch (n+1) zeigen

Widerspruchsbeweis zu &푝 ist irrational

Annahme, &푝 sei rational: Sei &푝= )* für 푎,푏∈ℕ und a, b teilerfremd.

Quadrieren liefert 푝= ). *. ⇔푝∗푏

1 =푎 1 , d. 푝|푎 1

Da p Primzahl, folgt 푝|푎, d. 푎=푝∗푘 für 푘∈ℕ ⇒푝∗푏 1 = 푝 1 ∗ 푘 1 ⇒ 푏 1 =푝∗ 푘 1 , d. 푝|푏 1 bzw. 푝|푏 Also ist p gemeinsamer Teiler von a und b, ein Widerspruch zu teilerfremd.

Abbildungsbegriff

  • injektiv: 푓(푎)=푓(푏)⇒푎=푏 o zu jedem y-Wert gibt es höchstens einen x- Wert (Funktion)
  • surjektiv: 푓 89 (푦) ist nicht leer für jedes 푦∈푁 o zu jedem y-Wert gibt es mindestens einen x-Wert
  • bijkeitv: 푓 ist sowohl injektiv, als auch surjektiv

Gauß-Algorithmus

Treppen-Normalform: - unten links muss sich eine „Treppe“ aus ausschließlich Nullen befinden - dies erreicht man durch Umformung Umformungen: - Zeilentausch: Man kann Zeilen beliebig tauschen. Bietet sich an, wenn es eine Zeile mit einer 1 an der ersten Stelle gibt, diese aber (noch) nicht die erste ist.

Matrizen

  • Darstellungsmatrix bestimmen: o erste Spalte x 1 , zweite Spalte x 2 , dritte Spalte x 3 o Beispiele für Modulo angeben: gilt mod 3 à 3=0, 4= o dann alle x modulo nehmen: bei modulo 3 wird 3x 1 zu 0 o die Darstellungsmatrix D ergibt sich aus den Resten aller x

  • Basis des Kerns: o Gauß -Algorithmus auf Darstellungsmatrix anwenden o „leere“ (also nur Nullen) Zeilen ergeben die Basis (z. h 2 ) o das Bild lässt sich aus der ersten Spalte der Darstellungsmatrix ablesen

  • Determinante einer Matrix bestimmen: o i 2 = - o muss eine quadratische Matrix sein o 2x2 -Matrix: ad – bc

  • kanonische Basis/Basen: jedes a zu einer 1, alles andere zu einer 0

  • Basis des Eigenraums: o ist der Eigenwert beispielsweise 3, so lautet die Formel: A – 3*E o diagonal den angegebenen Eigenwert abziehen o mit Gauß-Verfahren normieren

Horner-Schema

  • Teiler angeben: Nullstellenform aufstellen und ausmultiplizieren: z. (x-2)(x+1) = x 2 -x-

  • um die Nullstellen zu bestimmen, das Ergebnis in die Mitternachtsformel setzen und die Ergebnisse in geschweifter Klammer angeben

War dieses Dokument hilfreich?
Premium
Dies ist ein Premium-Dokument.. Einige Dokumente auf Studocu sind Premium-Dokumente. Upgrade dein Konto auf Premium, um Zugriff zu erhalten.

Zusammenfassung Mathematik für Informatiker I

Kurs: Mathematik für Informatiker I (MTH-6000)

5 Dokumente
Studierenden haben 5 Dokumente in diesem Kurs geteilt

Universität: Universität Augsburg

War dieses Dokument hilfreich?

Dies ist eine Vorschau

Möchtest du uneingeschränkten Zugang? Wähle Premium und erhalte Zugriff auf alle 4 Seiten

  • Zugriff auf alle Dokumente

  • Erhalte unbegrenzte Downloads

  • Verbessere deine Noten

Hochladen

Teile deine Dokumente und erhalte Zugriff

Bereits Premium-Mitglied?
Zusammenfassung Mathematik für Informatiker I
Modulo mit dem Taschenrechner
• Division
• ganzzahligen Rest abziehen
• mit Nenner multiplizieren
euklidischer Algorithmus
ggT(s, t)
• q = s div t
• r = s mod t
solange t ungleich 0:
• r und q berechnen
• sneu = talt
• tneu = rneu
Beispiel (nicht-tabellarisch):
798 = 294 * 2 + 210
294 = 210 * 1 + 84
210 = 84 * 2 + 42 ß 42 ist der ggT
84 = 42 * 2
Beispiel (tabellarisch):
s
t
q
r
798
294
-
-
294
210
2
210
210
84
1
84
84
42
2
42
40
0
2
0
erweiterter euklidischer Algorithmus
• q = s div t
• r = s mod t
• x, y, u, v vordefiniert durch 1, 0, 0, 1
• x und y ergeben dabei die Vielfachsummendarstellung
Update-Formeln:
• uneu = xalt – qneu*ualt
• xneu = ualt
• sneu = talt
• vneu = yalt – qneu*valt
• yneu = valt
• tneu = rneu
Beispiel:
s
t
q
r
x
y
u
v
798
294
-
-
1
0
0
1
294
210
2
210
0
1
1
-2
210
84
1
84
1
-2
-1
3
84
42
2
42
-1
3
3
-8
40
0
2
0
3
-8
-7
19
42 = ggT(798, 294) = 3*798 – 8*294

Warum ist diese Seite unscharf?

Dies ist ein Premium-Dokument. Werde ein Premium-Mitglied, um das gesamte Dokument zu lesen.

Was Studierende auch interessant finden

Ähnliche Dokumente