第440回 シーズン44 エピソード10

《九点平面》の世界（後編） ただいま無料

《九点平面》における平行

僕「この四辺形 $\text{OAPB}$ は《いわゆる平行四辺形》には見えない。 $\text{OA}$ と $\text{PB}$ は平行に見えるけど、 $\text{AP}$ と $\text{OB}$ は平行に見えない。 でも《九点平面》での平行をベクトルで定義すればどうだろうか。 つまり、 $$\overrightarrow{\text{AP}}=k\overrightarrow{\text{OB}}$$ という $k$ が存在すれば《九点平面》で $\text{AP}$ と $\text{OB}$ は平行と考えるということ」

テトラ「おもしろいですっ！　見た目では $\overrightarrow{\text{AP}}$ と $\overrightarrow{\text{OB}}$ はまったく平行じゃありません。 でも、 $\overrightarrow{\text{AP}}=k\overrightarrow{\text{OB}}$ を満たす $k$ が存在すれば $\overrightarrow{\text{AP}}$ と $\overrightarrow{\text{OB}}$ が平行——」

僕「そうだね。 それは、ベクトルを使ってこの《九点平面》における《いわば平行》を定義していることになる。 見た目ではなくて、数式を頼りにする」

テトラ「この問題1は、機械的に成分を計算してみればいいはずですよね？　では、やってみます」

僕「ちょっと待って。最後のところ、どうして《$k$ が存在しない》って思ったの？」

テトラ「だってそうですよね。 $$\{\begin{array}{ll}-2& =k\\ 2& =2k\end{array}$$ の両方を満たす $k$ は存在しません」

僕「$k$ が実数だったらそうだね。 でもいま僕たちは《九点平面》の世界にいる。 つまり、ここの $k$ は、 $k=0,1,2$ のどれかになる。 成分の和もスカラー倍も、すべての計算は $3$ で割った余りで考えるんだよ！」

テトラ「あっ、そうでしたっ！　この演算表を使うんでしたね。 でも、 $k=-2$ としたら、すでに $k$ は $0,1,2$ のどれでもありませんよね？」

僕「いやいや。《九点平面》の世界では $-2=1$ だよ。 だって、 $-2$ と $1$ はどちらも $3$ で割ったときに余りが $1$ になるから。 つまり、 $$-2\equiv 1(\mathrm{mod}3)$$ ということ」

テトラ「ああ、そうでした。 $3$ 個進めばぐるっと回るんでしたね。トーラスです（第439回参照）。 ……ということは、 $k=-2$ は《九点平面》では $k=1$ と同じこと。 だとしたら $k=1$ なら、二つ目の式 $2=2k$ も満たします！」

僕「うん。 だから、 $k=1$ のとき、 $$\overrightarrow{\text{AP}}=k\overrightarrow{\text{OB}}$$ が成り立つ。つまり、 ベクトルを使って平行を定義したとき、 $\text{AP}$ と $\text{OB}$ は平行だといえる」

テトラ「ということはですよ、 四辺形 $\text{OAPB}$ は《九点平面》の世界における《平行四辺形》といえますね！」

僕「そうだね！」

ミルカ「今日は、どんな数学？」

僕「あ、ミルカさん」

テトラ「いまは、ベクトルで《九点平面》というものを考えているところです」

ミルカ「ふうん……ところで、村木先生からテトラへの伝言がある」

テトラ「伝言？　あたしに？」

ミルカ「テトラに《カード》を渡すとき、直線とは何かと言い忘れたそうだ」

テトラ「直線とは何か……哲学的ですね」

ミルカ「哲学じゃない。数学だ」

テトラ「直線というのは、こう……何と言いますか。まっすぐな線で——」

僕「なるほど！！」

テトラ「きゃあ！」

僕「《いわば直線》も作れるよ！　《いわば平行四辺形》や《いわば平行》だけじゃない！　 さっきは、 $\text{AP}$ と $\text{OB}$ が平行であることをベクトルを使って定義した。 それと同じように、この《九点平面》における直線もベクトルを使って定義できるね！！」

テトラ「直線を——定義する？」

ミルカ「ふうん……直線のパラメータ表示？」

僕「そうそう！」

直線のパラメータ表示

テトラ「はあ……」

僕「通常の平面ベクトルや空間ベクトルの場合は、パラメータ $t$ は実数全体を動くんだよ。 だから、 $\overrightarrow{\text{OA}}+t\overrightarrow{\text{AP}}$ という式は、 《点 $\text{O}$ から点 $\text{A}$ に進み、 そこからさらにベクトル $\overrightarrow{\text{AP}}$ の向きに $\overrightarrow{\text{AP}}$ の長さの $t$ 倍だけ進んでたどり着く点》 を表している」

テトラ「なるほど、確かにそれは直線です……それで？」

僕「それでね、僕たちの《九点平面》においても、 この《直線のパラメータ表示》を使って直線というものを考えられるんだ。 《九点平面》にはベクトルがある。ベクトルの和もスカラー倍もある。 だから、まったく同じ定義で《いわば直線》が定義できる！」

ミルカ「《いわば直線》というか、直線そのものだな」

テトラ「あの……でも、さきほどからすでに四点 $\text{O},\text{A},\text{P},\text{B}$ を直線で結んでいましたよね。 わざわざ定義する意味がよくわかっていないようです……すみません」

僕「うん、それはそうなんだけど、ここで使っていた直線は補助的なものに過ぎないよ。 僕たちの《九点平面》にはたった九個の点しかない（・・・・・・・・・・・）と考えるなら、 点と点を結ぶ途中には何もないんだから」

テトラ「ははあ……少しわかりました。 つまり、四辺形 $\text{OAPB}$ は、 四辺形と呼んではいるけれど、 《九点平面》では、単に四点 $\text{O},\text{A},\text{P},\text{B}$ に過ぎない、ということでしょうか」

僕「そうだね。 《九点平面》の世界では、四辺形 $\text{OAPB}$ に《辺》というものはなくて、 $$\text{O},\text{A},\text{P},\text{B}$$ という四つの点の集合でしかないといえるね。 つまり、 $$\{\text{O},\text{A},\text{P},\text{B}\}$$ という集合が四辺形 $\text{OAPB}$ なんだよ」

ミルカ「それは違うな」

僕「え、どうして？」

ミルカ「《九点平面》でも《辺》はある。 四辺形 $\text{OAPB}$ は、 $$\text{O},\text{A},\text{P},\text{B}$$ という《頂点》を持ち、 $$\{\text{O},\text{A}\},\{\text{A},\text{P}\},\{\text{P},\text{B}\},\{\text{B},\text{O}\}$$ という四つの《辺》を持つと考えるべきだろう。 《頂点》だけで四辺形が決まるなら、 四辺形 $\text{OAPB}$ と四辺形 $\text{OABP}$ を区別できなくなる」

僕「ああ、確かにそうだね」

ミルカ「もちろん、《九点平面》にどんな概念を構築するのも自由だから、 区別できないとしても構わない。だが《四辺形》と呼ぶからには《辺》という概念もほしくなる」

僕「うーん……なるほどねえ、それは《四辺形》や《辺》という名前を与える妥当性に関わる話だね。 数学というより国語かな」

《九点平面》における直線上の点

テトラ「ちょっと整理させてください」

• あたしたちは九個の点からなる《九点平面》というものを考えています。
• 計算はすべて $3$ で割った余りで行う《時計演算》を使います。
• そして《九点平面》でのベクトルを使って、いろんな数学的概念を《九点平面》に持ち込んでいます。

僕「そうだね。《平行四辺形》《平行》《直線》《四辺形》……」

テトラ「思うんですけど、 点 $\text{A}$ と点 $\text{P}$ の途中にある点 $\text{M}(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1})$ は《直線 $\text{AP}$ 上の点》といえますよね？」

ミルカ「いえる」

僕「いえるね。見た目ではもちろんいえるけど、 ベクトルで考えてもいえるかな……うん、いえるね。 《点 $\text{M}(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1})$ が直線 $\text{AP}$ 上の点にある》というのは、 $$\overrightarrow{\text{OM}}=\overrightarrow{\text{OA}}+t\overrightarrow{\text{AP}}$$ を満たす $t$ が存在することからいえる。 成分で考えると、 $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{0})+t(\genfrac{}{}{0ex}{}{-2}{2})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2-2t}{2t})$$ だから、 $$\{\begin{array}{ll}1& =2-2t\\ 1& =2t\end{array}$$ を満たす $t$ が存在すればいい。 $t=2$ にすれば満たすことがわかる」

ミルカ「点 $\text{M}$ は線分 $\text{AP}$ の《中点》ともいえるな。 なぜなら、 $$\overrightarrow{\text{OM}}=\frac{\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OP}}}{2}$$ が成り立つから」

テトラ「割り算？　《九点平面》で割り算ってどうするんですか？」

ミルカ「たとえば《$\frac{1}{2}$》ならば《$2$ に掛けると $1$ になる数》と考えればいい。それが《$2$ の逆数》だ」

テトラ「ははあ……ということは、 $2$ の逆数は $2$ で、 $1$ の逆数は $1$ になるわけですね」

$$\begin{array}{rl}2\times 2& \equiv 1(\mathrm{mod}3)\\ 1\times 1& \equiv 1(\mathrm{mod}3)\end{array}$$

僕「三点 $\text{A},\text{M},\text{P}$ は一直線上にあることがわかったね」

テトラ「はい。これは見た目と一致しますね」

ミルカ「見た目と違う場合も考えよう。点 $\text{C}$ は直線 $\text{OB}$ 上にあるか」

テトラ「ああ、なるほど。点 $\text{C}$ は直線 $\text{OB}$ 上にあるといえますね！」

僕「おお、早い！」

テトラ「だってそうですよ。点 $\text{C}$ から上にトン・トン・トンと三歩のぼるんです。 そこにある点 $\text{C'}$ は点 $\text{C}$ のいわば《影武者》です。 トーラスとして考えれば同一視できますから、直線 $\text{OB}$ 上にありますっ！」

僕「《影武者》は本人とは違うよね」

ミルカ「《影武者》を本人と同一視するのはまずいだろう」

テトラ「かっ、《影武者》はたとえ（・・・）ですようっ！」

僕「ごめんごめん。ベクトルでもちゃんと確かめられるね。 《点 $\text{C}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1})$ が直線 $\text{OB}$ 上の点にある》というのは、 $$\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{OO}}+t\overrightarrow{\text{OB}}$$ つまり $$\overrightarrow{\text{OC}}=t\overrightarrow{\text{OB}}$$ を満たす $t$ が存在するということ。だから、 $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1})=t(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2})$$ を満たす $t$ が存在すればいい。 $t=2$ でOKだね」

$$\begin{array}{rl}t(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2})& =2(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2})\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{2\times 1}{2\times 2})\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1})\end{array}$$

テトラ「はい。直線 $\text{OB}$ 上の点は $$t\overrightarrow{\text{OB}}$$ で表せますから、

• $t=0$ のとき、点 $\text{O}(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0})$
• $t=1$ のとき、点 $\text{B}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1})$
• $t=2$ のとき、点 $\text{C}(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2})$

になりますねっ！」

平行と直線

テトラ「《九点平面》で、三点 $\text{O},\text{B},\text{C}$ は一直線上にありますが、 こんなふうに平行線が走っていると思うことができそうです」

僕「なるほどね。だったら、こんな平行線でもいいよね」

ミルカ「ふうむ。座標平面で考えると、テトラが描いた平行線の傾きは $2$ で、 君が描いた平行線の傾きは $\frac{1}{2}$ といえる。 そして《九点平面》では $2$ と $\frac{1}{2}$ は同一視できる。つじつまが合っていて楽しいな」

僕「おお！」

テトラ「ほんとうですね！」

《九点平面》における直線

ミルカ「さっきテトラは、三点 $\text{O},\text{B},\text{C}$ は一直線上にあると言っていた」

テトラ「はい。《九点平面》で考えると、そうですよね」

僕「ベクトルで確かめたよ」

ミルカ「もちろんまちがいではない。私は $$\{\text{O},\text{B},\text{C}\}$$ という三点からなる集合が《九点平面》の直線だと言いたいだけだ」

僕「うん。僕もそう思う」

テトラ「はい……それはあたしもわかっていると思います。 この世界には九個の点しかないわけですから」

ミルカ「《九点平面》の直線の数は有限だな」

僕「確かに……」

テトラ「直線の数が有限の世界って、楽しいですね。ミニチュアの世界みたいです。 《九点平面》の直線の数って、全部でいくつあるんでしょう……数えてみますっ！」

僕「できた。意外と簡単だったなあ」

テトラ「あたしもできましたっ！　意外と簡単ですね」

ミルカ「それで？」

僕「《九点平面》の直線は全部で $9$ 本あったよ。 $9$ 本と呼ぶべきか、 $9$ 個と呼ぶべきかわからないけど」

ミルカ「ふうん……」

テトラ「違います。先輩、三つ足りませんよ？」

僕「え？」

テトラ「先輩は、垂直線を忘れてます！」

僕「ああ……本当だ！」

僕「僕は、三点のうち、二点決めればもう一点が決まると考えたんだよ。

• 点 $(0,y)$ の $y$ は $0,1,2$ の $3$ 通りあり、
• そのそれぞれに対して、点 $(1,y)$ の $y$ は $0,1,2$ の $3$ 通りあり、
• そこまで決まれば点 $(2,y)$ の $y$ は決まる。

だから、全部で $3\times 3=9$ 通りと考えた。 でも、垂直線を忘れていた……テトラちゃんの根気勝利だね」

テトラ「いえいえ」

ミルカ「テトラのおかげで《九点平面》に存在する $12$ の直線すべてがわかった。 これを眺めるのも楽しいな」

テトラ「何か、特別な鑑賞ポイントがあるんでしょうか？」

ミルカ「たとえば、異なる二直線をピックアップすれば、 《平行ではない二直線は一点で交わる》ということが見てとれる。 もちろん証明もできるわけだが、見るのは楽しい」

僕「なるほど、確かにね！」

テトラ「《九点平面》の中に、ミニチュアの幾何学があるんですねえ……」

《十六点平面》？

テトラ「ふと思ったんですけれど、 《九点平面》は $3\times 3=9$ 個の点からできていて、 $3$ で割った余りで計算をしていますよね。 これを $4\times 4=16$ 個の点に拡張して、 $4$ で割った余りにすると《十六点平面》ができますよね」

ミルカ「《十六点平面》にすると、《九点平面》とはまったく違う世界が生まれそうだな」

僕「せっかくのミニチュア感が薄れるからだね」

ミルカ「そういう理由ではない。《$3$ は素数だが、 $4$ は素数ではない》からだ」

テトラ「素数？　ベクトルに素数が関係するんですか？」

瑞谷先生「下校時間です」