整数÷整数が整数の範囲に収まる
分数は整数の商で表すことができる。たとえば，3/4は3÷4である。よって，有限小数に収まることは，割られる数に何回か10をかけて，整数÷整数が整数の範囲に収まることである。
たとえば1÷4なら，100÷4＝25 であるため， 1/4＝0.25 である。3÷8なら，3000÷8＝375であるため，3/8＝0.375である。
ここで，整数÷整数が整数の範囲で割り切れることについて，素因数分解を使って考えてみよう。
12÷4＝3は割り切れる → (2²×3)÷(2²)
14÷4＝3余り2で割り切れない → (2×7)÷(2²)
「割られる数の素因数」に「割る数の素因数」が含まれているかどうかで，整数÷整数が整数の範囲で割り切れるかどうかが決まる。
素因数としての「2と5」の意味
小数第1位で割り切れるということは，もとの割られる数に10をかけた数が整数の範囲で割り切れることである。
18÷12＝1.5 → 180÷12＝15
10 をかけるとは，素因数として2と5を増やすということである。
18÷12 → (2×3²)÷(2²×3)
(割られる数を10倍する) → (2²×3²×5)÷(2²×3)
とすると，素因数を割ってなくせる。
すなわち，答えが有限小数になるとは，割られる数に10を何回かかけた数が，割る数で割り切れるということになる。どんな割られる数に対しても，答えが有限小数になる数は，割る数が2と5のみを素因数にもつ数である。
したがって，32＝2⁵，640＝2⁷×5，1250＝2×5⁴などは，どんな数が分子でも有限小数で表される。
1/32＝0.03125，5/32＝0.15625，13/32＝0.40625
1/640＝0.0015625，7/640＝0.0109375，137/640＝0.2140625
1/1250 0.0008，13/1250＝0.0104，503/1250＝0.4024
さらに考察を続けよう。
