第437回 シーズン44 エピソード7

どうしてベクトルを使うの？（前編） ただいま無料

図書室にて

テトラ「ところで先輩。そもそも（・・・・）の質問で申し訳ないんですが——」

僕「テトラちゃんの質問は『そもそも』が似合うよね」

テトラ「はい？」

僕「テトラちゃんの質問は、根源的なものが多いから」

テトラ「す、すみません。いつも話を振り出しに戻すみたいな質問ばかりで……」

僕「いやいや、とんでもない。 僕はテトラちゃんの質問から学んでいるような気がするんだ。 で、質問って？」

テトラ「あのですね、やっぱりあたしは『どうしてベクトルというものを考えるのか』が気になっています。 先輩のお話で、ベクトルを使うと図形の問題も計算に持ち込めるというお話はありましたけれど（第435回参照）」

僕「うん。 もちろん問題によるけど、 図形的な問題を解く手がかりを得られる点はあると思う。 補助線を発見できないときでも、とっかかりを見つけられるみたいに」

テトラ「確かにそうなんですけど、 でも計算で《腕力》が必要になったりします。 また、どのベクトルに注目するかにもよるので、 結局は何かを見つける必要はありそうに感じました」

僕「うんうん。それは僕もそう思う。だからベクトルを考えればすべてが解決するみたいな万能薬じゃないのは確か。 新しい視点で考えられるというのはあるかもしれないけど……」

テトラ「わかります。ベクトルで考えているときは、別の頭を使っているような気がします」

僕「そういえば、ベクトルを使う問題で、簡単だけどおもしろいものを思い出したよ。 ベクトルを使って考える意味が少しわかるかも」

テトラ「ベクトルを使って考える意味！　それは何ですか？」

僕「それを説明する前に、簡単な問題を解いてみない？」

テトラ「もちろんですっ！」

僕「こういう問題だよ」

問題に挑戦

テトラ「問題文が短いので、私でも解けそうです」

僕「いやいや、問題文の長さで問題の難しさを判定するのは危険だと思うよ。 あ、ごめんごめん。考えの邪魔しちゃいけないね」

テトラ「はい、大丈夫です。 まずは、図形問題のセオリー通りに進むことにします。 ポリア先生の《図をかけ》ですね。ええと——四点 $\text{A},\text{B},\text{C},\text{D}$ に対して、 この問題に出てくるベクトル、 $$\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{CD}},\overrightarrow{\text{AD}},\overrightarrow{\text{CB}}$$ をまずは描いてみます」

僕「……」

テトラ「はい、矢印で台形ができました。 あっ、じゃないじゃない。 台形とは限りません。台形は向かい合うひと組の辺が平行じゃなくちゃいけません。 これは、ただの四角形です」

僕「うん、そう。問題文には、四点に対する条件がまったくついてないから」

テトラ「それで《求めるものは何か》といえば、 $$\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CD}}=\overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{CB}}$$ という等式が成り立つということを示したい……はい、では、 すべてのベクトルを一つの点を基準にする方向で考えてみます」

僕「おお、学んだことをさっそく応用！」

一つの点を基準にする

テトラ「点 $\text{A}$ を基準にして、 四つのベクトル $\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{CD}},\overrightarrow{\text{AD}},\overrightarrow{\text{CB}}$ をすべて書き換えますと…… $$\{\begin{array}{ll}\overrightarrow{\text{AB}}& =\overrightarrow{\text{A}\text{B}}\\ \overrightarrow{\text{CD}}& =\overrightarrow{\text{A}\text{D}}-\overrightarrow{\text{A}\text{C}}\\ \overrightarrow{\text{AD}}& =\overrightarrow{\text{A}\text{D}}\\ \overrightarrow{\text{CB}}& =\overrightarrow{\text{A}\text{B}}-\overrightarrow{\text{A}\text{C}}\end{array}$$ ……となります。ということは、 $$\{\begin{array}{ll}\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CD}}& =\overrightarrow{\text{A}\text{B}}+\underset{\overrightarrow{\text{CD}}}{\underbrace{\overrightarrow{\text{A}\text{D}}-\overrightarrow{\text{A}\text{C}}}}=\overrightarrow{\text{A}\text{B}}-\overrightarrow{\text{A}\text{C}}+\overrightarrow{\text{A}\text{D}}\\ \overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{CB}}& =\overrightarrow{\text{A}\text{D}}+\underset{\overrightarrow{\text{CB}}}{\underbrace{\overrightarrow{\text{A}\text{B}}-\overrightarrow{\text{A}\text{C}}}}=\overrightarrow{\text{A}\text{B}}-\overrightarrow{\text{A}\text{C}}+\overrightarrow{\text{A}\text{D}}\end{array}$$ ということですから、確かに、 $$\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CD}}=\overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{CB}}$$ がいえました！　これでいいですよね」

僕「《一つの点を基準にする》というベクトルの考え方を試して、見事に解決。お見事！　 いまは $\text{A}$ を基準にした《位置ベクトル》を考えたことになるけど、 もちろん $\text{A},\text{B},\text{C},\text{D}$ のどれを基準にしてもいい。 それからまったく関係がない新しい点 $\text{O}$ をどこかに置いて、 それを基準にしても同じ結果になるよ」

新しい点を基準にする

テトラ「あ、そうなんですか！　 勝手な点 $\text{O}$ を使ってもうまくいくっておもしろいですね。 こういうことですか」

僕「そうそう」

テトラ「先ほどと同じように、計算してみます！　 点 $\text{O}$ を基準にして、 四つのベクトル $\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{CD}},\overrightarrow{\text{AD}},\overrightarrow{\text{CB}}$ をすべて書き換えます。 $$\{\begin{array}{ll}\overrightarrow{\text{AB}}& =\overrightarrow{\text{O}\text{B}}-\overrightarrow{\text{O}\text{A}}\\ \overrightarrow{\text{CD}}& =\overrightarrow{\text{O}\text{D}}-\overrightarrow{\text{O}\text{C}}\\ \overrightarrow{\text{AD}}& =\overrightarrow{\text{O}\text{D}}-\overrightarrow{\text{O}\text{A}}\\ \overrightarrow{\text{CB}}& =\overrightarrow{\text{O}\text{B}}-\overrightarrow{\text{O}\text{C}}\end{array}$$ ……となります。ということは、 $$\{\begin{array}{ll}\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CD}}& =\underset{\overrightarrow{\text{AB}}}{\underbrace{\overrightarrow{\text{O}\text{B}}-\overrightarrow{\text{O}\text{A}}}}+\underset{\overrightarrow{\text{CD}}}{\underbrace{\overrightarrow{\text{O}\text{D}}-\overrightarrow{\text{O}\text{C}}}}=-\overrightarrow{\text{O}\text{A}}+\overrightarrow{\text{O}\text{B}}-\overrightarrow{\text{O}\text{C}}+\overrightarrow{\text{O}\text{D}}\\ \overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{CB}}& =\underset{\overrightarrow{\text{AD}}}{\underbrace{\overrightarrow{\text{O}\text{D}}-\overrightarrow{\text{O}\text{A}}}}+\underset{\overrightarrow{\text{CB}}}{\underbrace{\overrightarrow{\text{O}\text{B}}-\overrightarrow{\text{O}\text{C}}}}=-\overrightarrow{\text{O}\text{A}}+\overrightarrow{\text{O}\text{B}}-\overrightarrow{\text{O}\text{C}}+\overrightarrow{\text{O}\text{D}}\end{array}$$ ということです。はい、確かに $$\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CD}}=\overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{CB}}$$ がいえました！　これって、先ほどとほとんど同じです！」

僕「そうだね」

テトラちゃんの気付き

テトラ「先輩……点 $\text{A}$ を基準にしたときには気付かなかったんですが、 点 $\text{O}$ を基準にして気が付いたことがあります。 $$\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{O}\text{B}}-\overrightarrow{\text{O}\text{A}}$$ ということは、ベクトルの始点と終点に注目すればいいことになります。 始点にはマイナスがついて、終点にはマイナスがつかないからです。 そこで始点と終点に注目して、証明したかった式を見ると…… $$\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CD}}=\overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{CB}}$$ ……左辺に出てくる始点は $\text{A}$ と $\text{C}$ で、右辺に出てくる始点は $\text{A}$ と $\text{C}$ なので同じです。 左辺に出てくる終点は $\text{B}$ と $\text{D}$ で、右辺に出てくる終点は $\text{D}$ と $\text{B}$ でやっぱり同じ。 なので、これは当たり前……といっていいかどうかわかりませんが、当たり前なのですね」

点の計算

僕「いまテトラちゃんが言ってくれた通りなんだけど、 勝手な点 $\text{O}$ を基準にするということは、もう《矢印ベクトルの計算》をしているというよりも 《点の計算》をしているように見える。 始点はもう $\text{O}$ に決まっているから、わざわざいわなくてもいい。つまり、 $$\{\begin{array}{ll}\overrightarrow{\text{A}}& =\overrightarrow{\text{O}\text{A}}\\ \overrightarrow{\text{B}}& =\overrightarrow{\text{O}\text{B}}\\ \overrightarrow{\text{C}}& =\overrightarrow{\text{O}\text{C}}\\ \overrightarrow{\text{D}}& =\overrightarrow{\text{O}\text{D}}\end{array}$$ のようにおく。そうすると、 $$\begin{array}{rl}-\overrightarrow{\text{A}}+\overrightarrow{\text{B}}-\overrightarrow{\text{C}}+\overrightarrow{\text{D}}& =-\overrightarrow{\text{A}}+\overrightarrow{\text{B}}-\overrightarrow{\text{C}}+\overrightarrow{\text{D}}\\ -\overrightarrow{\text{O}\text{A}}+\overrightarrow{\text{O}\text{B}}-\overrightarrow{\text{O}\text{C}}+\overrightarrow{\text{O}\text{D}}& =-\overrightarrow{\text{O}\text{A}}+\overrightarrow{\text{O}\text{B}}-\overrightarrow{\text{O}\text{C}}+\overrightarrow{\text{O}\text{D}}\\ -\overrightarrow{\text{O}\text{A}}+\overrightarrow{\text{O}\text{B}}-\overrightarrow{\text{O}\text{C}}+\overrightarrow{\text{O}\text{D}}& =-\overrightarrow{\text{O}\text{A}}+\overrightarrow{\text{O}\text{D}}-\overrightarrow{\text{O}\text{C}}+\overrightarrow{\text{O}\text{B}}\\ \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CD}}& =\overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{CB}}\end{array}$$ のようになって証明できる」

テトラ「はいはい、よくわかります」

矢印の向き

僕「いまのはテトラちゃんの証明を逆にたどっただけだけど、 こんなふうに考えることもできるよ。 テトラちゃんが最初に描いた図を見る」

テトラ「はい。問題文を見ながら描いたものです」

僕「この図で、 $\overrightarrow{\text{CB}}$ と $\overrightarrow{\text{AD}}$ の矢印を逆向きにすると、点 $\text{A}$ からぐるっと一回りできることがわかる。 矢印を逆向きにするというのは始点と終点を交換するということ。 要するに、 $$\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}+\overrightarrow{\text{CD}}+\overrightarrow{\text{DA}}=\overrightarrow{0}$$ ということ。ここから $$\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{CB}}+\overrightarrow{\text{CD}}-\overrightarrow{\text{AD}}=\overrightarrow{0}$$ となって、 $$\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CD}}=\overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{CB}}$$ がいえる。いろんな示し方があるね」

テトラ「言われてみれば、その通りです……あの、でも、先輩？　これは、はじめからベクトルの問題ですから、 ベクトルのいろんな使い方ができるというのは、 当たり前のような気がします。 《ベクトルを使う意味》の話から、ちょっとズレちゃいましたよね」

僕「いやいや、実は、ベクトルを使う意味の話はここからなんだ」

テトラ「はい？」

僕の解説

僕「この問題1では、 『四点 $\text{A},\text{B},\text{C},\text{D}$ が、一つの平面上にある』とは言ってないよね？」

テトラ「確かに平面上にあるとは言ってませんが、えっと……それは問題の不備ということでしょうか？」

僕「そういうことじゃなくて、 この問題1は《平面ベクトルの問題》じゃなくて、 《空間ベクトルの問題》だとしてもそのまま成り立つんだ」

テトラ「これはおもしろいです……あのですね、 空間ベクトルでも、 さっき平面ベクトルをイメージしながら考えたことがすべて成り立ちます。 たとえば、二つの矢印を逆にして《ぐるっと一回り》というのも、 まったく同じです。 空間ベクトルでも平面ベクトルと同じく、ぐるっと回ってゼロベクトルになりますね」

僕「そうだね」

テトラ「これだけじゃなくて、 私が先ほど試した一つの点 $\text{A}$ を基準にすることも、 先輩がおっしゃった、無関係な点 $\text{O}$ を基準にすることも……ぜんぶ、 平面ベクトル、空間ベクトルの区別なく使えます！」

僕「平面で考えても、空間で考えても同じというのはおもしろいと思う」

テトラ「確かに！　おもしろいです。 ……そうですね、考えてみますと、 たとえばベクトルで $\overrightarrow{\text{AB}}=-\overrightarrow{\text{BA}}$ が成り立つというとき、 平面なのか空間なのかは確かに関係ありません。 こう、何というか、頭の中の虚空で考えているというか……」

僕「ベクトルで足し算や引き算をして数式を変形するけど、 そこでの変形がすべて、平面ベクトルと空間ベクトルの区別なく行えるなら、 得られた結論も自動的にどちらでも成り立つことになるんだね」

テトラ「平面でも空間でも成り立つというのは、不思議なことです。 先輩……あたし、いま想像した一つの《情景》があります」

僕「情景？」

テトラちゃんが想像した《情景》

テトラ「はい。あのですね……あたしの《情景》とはこういうものです。 あたしは、平面ベクトルのつもりで、 $$\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CD}}=\overrightarrow{\text{CB}}+\overrightarrow{\text{AD}}$$ という数式を誰かに渡したとします」

僕「誰かって、たとえばユーリに渡すみたいに？」

テトラ「ですです。そういう《情景》を想像します。 あたしはユーリちゃんに数式を渡します。 でもそのとき、あたしはユーリちゃんに『平面ベクトルの話です』とは説明しなかったとします」

僕「なるほど」

テトラ「でも、数式を渡されたユーリちゃんは、 それを『空間ベクトルの話だにゃあ（・・・）』と思って聞くかもしれませんよね」

僕「……」

テトラ「そしてあたしは、 図を描かずにベクトルの式変形だけを行って証明を行いますが、 ずっと平面ベクトルのイメージを頭に描いたまま進んだとします」

僕「うん」

テトラ「ところがあたしの式変形をずっと追っていくユーリちゃんの方は、 あたしとは違って空間ベクトルのイメージをずっと抱いたまま進みます。 あたしとユーリちゃんは違うイメージを持っていますけど、 数式の変形を納得し続けるし、最後の結論も納得することになる……それが不思議です。 その《情景》の中で、あたしは数式を使ってユーリちゃんに《何か》を伝えているんですが、 それって、いったい何を伝えているんでしょうね」

僕「うん……うん。 その話は、数式のすごさというか、数学のすばらしさに通じるような気がするなあ。 僕の考えを話してもいい？」

テトラ「ええ、ぜひぜひ！」

僕「数式は数式が伝えるものだけを伝えていると、そんなふうに思うんだ。 でも、この説明じゃわからないよね。 数式は数式が伝えるものだけを伝える。たとえば、 $\overrightarrow{\text{AB}}=-\overrightarrow{\text{BA}}$ という数式は $\overrightarrow{\text{AB}}$ は $-\overrightarrow{\text{BA}}$ と等しいことを伝える。 それだけじゃなくて、 数式を使えばベクトルについてどんなことが成り立つかを伝えることができる」

テトラ「……」

僕「そして数式を書く人は、 自分が思い描いているものが『ベクトルとして表せる』とわかったら、 自分が思い描いている内容を数式に託すことができる」

テトラ「ベクトルとして表せる……？」

僕「そうそう。ベクトルと見なすとか、ベクトルとして解釈するといってもいいよ」

テトラ「ベクトルを使った数式に翻訳するとか？」

僕「うん。そう言ってもいい。 ベクトルには満たす性質がある。 自分が考えているものも、ベクトルと同じ性質を持っているならば——持っていさえするならば——ベクトルとして解釈したり、ベクトルと見なしたり、ベクトルを使った数式に翻訳したりできる。 ベクトル以外の性質を持っていてもかまわない。 でも、少なくともベクトルが持っている性質は持つ必要がある」

テトラ「……」

僕「ベクトルに限った話じゃなくて、数式を扱うときはいつもこういった解釈や、見なすことや、翻訳が入ると思うんだ。 さっきのテトラちゃんとユーリの《情景》をイメージ図として描いてみると……こんな感じ？　テトラちゃんの《情景》 というのは《数式をあいだにはさんだ対話》だね」

テトラ「そうですそうです。 あたしの《情景》はこういうことです。 同じ数式を、自分の世界に翻訳するときには別の解釈ができます。 勝手な解釈はできませんけれど、たとえばあたしは平面のことだと解釈して、 ユーリちゃんは空間のことだと解釈できる……」

僕「まさに、その通り。 数学ってすごいよね。

• 自分が考えているものをどんな数学的対象だと見なすか。
• 自分が考えていることをどんな数学的主張だと見なすか。

数式にちゃんと翻訳できるのはとても大事なことだし、 自分が議論したいことが、数式に落とせたかどうかも大事なんだと思う。 そうだよ。整合性が保たれていれば、 まったく違うように見える《二つの世界》が数式を介してつながることがある。 そうすると、片方の世界で成り立っていることが、 もう片方の世界でも成り立つことになる」

テトラ「《数式は言葉》あるいは《数式はメッセージ》ということを改めて感じます」

僕「数学のテストで、数式だけを書いて怒られたことがある。 計算ドリルなら数式だけのこともあるかもしれないけど、 証明だったら日本語で説明を書くことが大事になる。 まあ英語かもしれないけど、 何をどのように解釈してその数式が出てきたのかを言葉で書かないと、 問題の論証にならないからなんだね」

テトラ「なるほどです」

僕「それにしても、テトラちゃんと話すと言葉の話になることがよくあるね。 すごく楽しいよ」

テトラ「あっ、あたしも先輩とお話しするのはとても楽しいですっ！　 先輩、他にもベクトルの問題は何かご存知ですか？　もっと別の問題も解いてみたいです！　 あ、あまり難しくないもので……」

僕「そうだなあ……」