第435回 シーズン44 エピソード5

見つかる・見つける・見つけ出す（前編） ただいま無料

図書室にて

テトラ「おもしろいですっ！　秘密の宝物を発見したみたいですね……」

僕「秘密の宝物？」

テトラ「はい、そうです。メネラウスの定理で $1$ になるところが、 ベクトルを使うと $-1$ になる。 それは《向きも考えたメネラウスの定理》や《外分点の個数も考えたメネラウスの定理》 のように解釈できる……すごく、おもしろいと思いますっ！（第434回参照）」

僕「うん、そうだよね。僕も知らなかったよ。 たまたま、メネラウスの定理をベクトルで証明して気付いたんだけどね」

テトラ「あたしも、その場でユーリちゃんといっしょに考えてみたかったです……」

僕「じゃあ、いっしょに考える？」

テトラ「え？」

僕「いま話したのはメネラウスの定理の証明だけど、 後でベクトルを使って考えてみようと思ってた図形の問題があるんだよ。 そんなに難しくないと思うな」

テトラ「はいはいはいはいっ！　ぜひぜひぜひぜひっ！」

図形の問題で最初にやることは？

僕「こういう問題だよ」

テトラ「なるほどです。 これをベクトルを使って証明すればいいんですよね。 三つのベクトル $\overrightarrow{\text{AB}}$ と $\overrightarrow{\text{BC}}$ と $\overrightarrow{\text{CA}}$ を考えて——」

僕「おっとっと！　テトラちゃん、ちょっと待って！」

テトラ「はい？」

僕「考え始めようとしているのに止めちゃってごめんね。 ベクトルを使うかどうかによらず、 図形の問題の最初は、ちゃんとセオリー通りに進もうよ」

テトラ「セオリー通りといいますと？」

僕「図形の問題が出たときに、一番最初にやることは何？」

テトラ「一番最初にやること……ああ、図を描くことですか！」

僕「そうだね。 《図をかけ》 はポリアの『いかにして問題をとくか』にもある。大事だよね」

テトラ「失礼しました。先輩の解き方を見ていて、 あたしもベクトルを使って《腕力》を振るう計算をするつもりでしたので、 つい先走りをしてしまいました。 図を描かずに図形の問題を考え始めるのは無茶ですね」

僕「図を一歩一歩描いていくのは、問題を把握するためにも有効だし」

テトラ「では、問題を読みながら、一歩一歩描いていきますっ！」

図を描こう

テトラ「確かに、一歩一歩図を描いていくと、わかってきますね。 どのようにしてその点が生まれたか、それがわかります」

僕「うん。これで図が描けた。 次にどんなふうに考える？」

見つかる

テトラ「あのですね……図を描いているうちに、 相似な三角形が見つかりました」

僕「どれのこと？」

テトラ「今回の証明に関係があるかどうかわからないんですけど、 $\text{BC}$ と $\text{DE}$ が平行ですから、 二つの三角形 $\mathrm{△}\text{ABC}$ と $\mathrm{△}\text{ADE}$ が相似になると思います。 それは三つの角がすべて等しいからです」

僕「なるほど。確かにその二つの三角形は相似になるね。 まず $\mathrm{\angle }\text{A}$ は共通。 そして $\text{BC}$ と $\text{DE}$ は平行だから、 $\mathrm{\angle }\text{B}=\mathrm{\angle }\text{D}$ と $\mathrm{\angle }\text{C}=\mathrm{\angle }\text{E}$ になる。同位角だ」

テトラ「はい。三つの角がそれぞれ等しいので、 $\mathrm{△}\text{ABC}$ と $\mathrm{△}\text{ADE}$ は相似になります」

僕「その他にも、何か見つかったものはある？」

テトラ「いえ、そのくらいですね……」

テトラ「あたしは、図形の問題をどんな風に考えているんでしょう……」

僕「うん？」

テトラ「先輩から『次は何を考える？』や『何か見つかったものはある？』のように尋ねていただくと、 あたしは、自分の考える道筋を意識します。 あたしって、普段どんな風に考えているんでしょうね。 図形の問題……特に証明の問題を考えるとき、 あたしは適当な三角形や直線を注目して、 何か成り立つことが見つからないかなあ、 と考えているみたいです。 自分が知っている公式や定理に合うものが見つかりますように、と願いつつ。 図形の問題は、嫌いではないですけれど難しいと思います」

僕「決まり切った方法はないから、 ある程度は試行錯誤しないといけないと思うよ。 補助線が必要になると、さらに難しくなる」

テトラ「そうっ！　本当にそうです！」

テトラ「あ、でも、ベクトルを使うと計算に持ち込めるので、 補助線を見つける《ひらめき》は要らなくなるんでしょうか？」

僕「ユーリと話しているときもその話題になった（第432回参照）けど、 《ひらめき》が要らなくなるというのは言い過ぎだし、 ベクトルを機械的に当てはめると、それこそ計算がものすごく大変になっちゃうから難しいよね」

テトラ「がんばって根気よく計算すれば必ず解けるとしたら、うれしいですけれど……」

僕「テトラちゃんはかなり《腕力》があるからね」

テトラ「そ……それは計算の話ですよね？　《腕力》？」

ベクトルを使って考えていこう

僕「じゃあ、今回の問題を、ベクトルで表しながら考えていく？」

テトラ「はい。点がたくさんありますから、ベクトルもたくさん出来ますね。 $\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{BC}},\overrightarrow{\text{CA}},\dots$」

僕「そうだね。でも闇雲にベクトルを考えていると、それこそ混乱してしまう」

テトラ「思ったんですけれど、図を一歩一歩描いたときと同じく、 一歩一歩考えてみるというのはどうでしょう」

僕「なるほど」

【1歩目】三角形

テトラ「まず【1歩目】の $\mathrm{△}\text{ABC}$ はいいですよね。特に条件はありませんから。

僕「ところがね、テトラちゃん。 すごく大事なことがここで出てくる」

テトラ「三角形があるだけで、ですか？」

僕「メネラウスの定理を証明しているときも思ったんだけど、 《三角形がある》ということは《一次独立な二つのベクトルがある》ということなんだ。 具体的に $\mathrm{△}\text{ABC}$ で言えば、 $\overrightarrow{\text{AB}}$ と $\overrightarrow{\text{AC}}$ の二つだね。 もちろん、どの二辺を使ってもかまわないけどね」

テトラ「あっ、そういえばユーリちゃんとのお話でも出てきました（第433回参照）」

僕「メネラウスの定理を証明したときには、 一次独立な二つのベクトルに注目するために、 $$\{\begin{array}{ll}\overrightarrow{b}& =\overrightarrow{\text{AB}}\\ \overrightarrow{c}& =\overrightarrow{\text{AC}}\end{array}$$ とわざわざ名前を付けたんだ」

テトラ「なるほどです」

一次独立な二つのベクトル

僕「ところで、 どうして一次独立な二つのベクトルに注目するか、 テトラちゃんはわかる？」

テトラ「はい。それも先輩のお話の中にありました。 $\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{c}$ が一次独立なとき、 平面上にあるどの点でも、 $$x\overrightarrow{b}+y\overrightarrow{c}$$ のように表せるからですよね。 $x$ と $y$ は実数です。 点が決まれば $(x,y)$ も決まります。 これで、点という《図形の世界》の話を、実数の組 $(x,y)$ という《数の世界》の話に移すことができます！　だから、 一次独立に注目する……んじゃありませんか？」

僕「さすがテトラちゃん！　ただし、 点が決まれば $(x,y)$ が単に決まるだけじゃなくて、 一意的に決まるというのは外せない重要なポイントだよ」

テトラ「え……何かまちがっていました？」

僕「いや、何もまちがったことは言ってない。 それにきっとテトラちゃんが理解していないわけでもないと思う。 ただ、一意的に決まることが強調されていなかったからちょっと気になっただけ」

テトラ「一意的に決まるというのは、 異なる二点をそれぞれ $x\overrightarrow{b}+y\overrightarrow{c}$ で表したときに、 同じ $(x,y)$ の組で表されることはないという意味ですよね？」

僕「そうそう、そういう意味。 どんな点に対しても $(x,y)$ は一意的に決まる。 そして、どんな $(x,y)$ に対しても点は一意的に決まる。 だから一次独立な二つのベクトル $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ に注目する」

テトラ「確かに、あたしはそのことを強調しませんでした。 でも——言い訳に聞こえるかも知れませんけれど——あたしはわかっていました」

僕「うん、そうだろうと僕も思ったよ」

テトラ「でも……でも、はい、やっぱりそれは言い訳に聞こえるだけじゃなくて、言い訳ですね。 強調できなかったということは、 それが大事だと、はっきり意識してなかったということですから」

【2歩目】平行

僕「【2歩目】もベクトルで考えてみようか」

テトラ「これはわかります。 $\text{BC}$ と $\text{DE}$ が平行であるというのは、 二つのベクトル $\overrightarrow{\text{BC}}$ と $\overrightarrow{\text{DE}}$ が同じ方向ということですから、 $$\overrightarrow{\text{DE}}=r\overrightarrow{\text{BC}}$$ ですね！　 $r$ は実数です」

僕「そうだね。 少し言葉を補足すると、 $\text{BC}$ と $\text{DE}$ が平行であるというのは、 ある実数 $r$ が存在して、 $$\overrightarrow{\text{DE}}=r\overrightarrow{\text{BC}}$$ が成り立つこと、と言い換えられる」

テトラ「あらら……いまの先輩の補足は、あたしの主張とどう違うんですか？」

僕「テトラちゃんは、 $\overrightarrow{\text{DE}}=r\overrightarrow{\text{BC}}$ という式を出してくれた。 $\overrightarrow{\text{DE}}$ と $\overrightarrow{\text{BC}}$ はいいけど《$r$ は何か》という問題がある」

テトラ「あたしは $r$ を実数だといいました……よね？」

僕「もちろん、 $r$ が実数なのはいいんだよ。 そうじゃなくて、テトラちゃんが言いたいのは

• （主張1）すべての実数 $r$ について、 $\overrightarrow{\text{DE}}=r\overrightarrow{\text{BC}}$ が成り立つ
• （主張2）ある実数 $r$ が存在して、 $\overrightarrow{\text{DE}}=r\overrightarrow{\text{BC}}$ が成り立つ

の二つのうち後者の（主張2）だよね。それをはっきりさせたかったんだ」

テトラ「ははあ……確かに。 あたし、わかっていても強く意識していないことってたくさんあるんですね。 先ほどの《一意的に決まる》もそうですが、 強く意識していないと、いざというとき言葉に出てこないものなんでしょうかね……」

相似

僕「ところで【2歩目】で僕は別のことを考えたよ。 それはさっき見つかった相似のこと」

テトラ「はい。 $\mathrm{△}\text{ABC}$ と $\mathrm{△}\text{ADE}$ は相似です」

僕「テトラちゃんは $\overrightarrow{\text{BC}}$ と $\overrightarrow{\text{DE}}$ の関係で平行を表してくれたけど、 相似を考えれば、他の辺についてもいえるよね。つまり、実数 $r$ が存在して、 $$\{\begin{array}{ll}\overrightarrow{\text{AD}}& =r\overrightarrow{\text{AB}}\\ \overrightarrow{\text{AE}}& =r\overrightarrow{\text{AC}}\end{array}$$ も成り立っていることがわかる」

テトラ「あっあっあっ。確かにそうです。ぜんぶ $r$ 倍になってます」

僕「そうすると、僕たちは一次独立な二つのベクトル $\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{c}$ を使って、 点 $\text{D}$ と $\text{E}$ を表せたことになる。つまり、 $$\{\begin{array}{ll}\overrightarrow{\text{A}\text{D}}& =r\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{\text{A}\text{E}}& =r\overrightarrow{c}\end{array}$$ を満たす実数 $r$ が存在するということ」

テトラ「なるほど、なるほど！　注目する頂点や交点をこうやって $\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{c}$ で表していくわけですね！」

【3歩目】交点 $\text{F}$

僕「今度は交点だね」

テトラ「これは複雑ですけれど、 先ほどと同じように《ベクトルの方向が同じ》だと考えればいいんじゃないでしょうか。 つまり、

• ある実数 $s$ が存在して、 $\overrightarrow{\text{BE}}=s\overrightarrow{\text{BF}}$ を満たす
• ある実数 $t$ が存在して、 $\overrightarrow{\text{CD}}=t\overrightarrow{\text{CF}}$ を満たす

ということです」

僕「うん、それで行けそうだよ。 これもまた $\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{c}$ で表せるね。 つまり、すべてのベクトルを $\text{A}$ を基準にして考えるんだ（第432回参照）。 たとえば、 $\overrightarrow{\text{BE}}=s\overrightarrow{\text{BF}}$ という式は、 $$\underset{\overrightarrow{\text{BE}}}{\underbrace{\overrightarrow{\text{A}\text{E}}-\overrightarrow{\text{A}\text{B}}}}=s(\underset{\overrightarrow{\text{BF}}}{\underbrace{\overrightarrow{\text{A}\text{F}}-\overrightarrow{\text{A}\text{B}}}})$$ と書けるから、 $$\overrightarrow{\text{A}\text{E}}-\overrightarrow{b}=s(\overrightarrow{\text{A}\text{F}}-\overrightarrow{b})$$ つまり、 $$\begin{array}{rlrl}\overrightarrow{\text{A}\text{E}}-\overrightarrow{b}& =s\overrightarrow{\text{A}\text{F}}-s\overrightarrow{b}& & \mathbf{\text{展開した}}\\ s\overrightarrow{\text{A}\text{F}}+(1-s)\overrightarrow{b}-\overrightarrow{\text{A}\text{E}}& =\overrightarrow{0}& & \overrightarrow{b}\mathbf{\text{で整理した}}\end{array}$$ となる」

テトラ「あっ、 $\overrightarrow{\text{A}\text{E}}=r\overrightarrow{c}$ ですから、 $$s\overrightarrow{\text{A}\text{F}}+(1-s)\overrightarrow{b}-r\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$$ になりますよっ！」

僕「同じことを $$\overrightarrow{\text{CD}}=t\overrightarrow{\text{CF}}$$ でもできるね」

テトラ「あたし、やってみます。ええと…… $$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\text{CD}}& =t\overrightarrow{\text{CF}}\\ \underset{\overrightarrow{\text{CD}}}{\underbrace{\overrightarrow{\text{A}\text{D}}-\overrightarrow{\text{A}\text{C}}}}& =t(\underset{\overrightarrow{\text{CF}}}{\underbrace{\overrightarrow{\text{A}\text{F}}-\overrightarrow{\text{A}\text{C}}}})& & \text{A}\mathbf{\text{を基準に}}\\ \overrightarrow{\text{A}\text{D}}-\overrightarrow{c}& =t(\overrightarrow{\text{A}\text{F}}-\overrightarrow{c})& & \overrightarrow{c}\mathbf{\text{を使う}}\\ \overrightarrow{\text{A}\text{D}}-\overrightarrow{c}& =t\overrightarrow{\text{A}\text{F}}-t\overrightarrow{c}& & \mathbf{\text{展開した}}\\ t\overrightarrow{\text{A}\text{F}}+(1-t)\overrightarrow{c}-\overrightarrow{\text{A}\text{D}}& =\overrightarrow{0}& & \overrightarrow{c}\mathbf{\text{で整理した}}\\ t\overrightarrow{\text{A}\text{F}}+(1-t)\overrightarrow{c}-\underset{\overrightarrow{\text{A}\text{D}}}{\underbrace{r\overrightarrow{b}}}& =\overrightarrow{0}& & \overrightarrow{\text{A}\text{D}}=r\overrightarrow{b}\mathbf{\text{から}}\\ t\overrightarrow{\text{A}\text{F}}-r\overrightarrow{b}+(1-t)\overrightarrow{c}& =\overrightarrow{0}& & \mathbf{\text{順番整理}}\end{array}$$ ……ですから、 $$t\overrightarrow{\text{A}\text{F}}-r\overrightarrow{b}+(1-t)\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$$ となります」

証明に向かって進む

僕「うん、これで僕たちは、この式を得た」

テトラ「先輩……これって、 $\overrightarrow{\text{A}\text{F}}$ が浮き彫りになってきたように見えます。 交点 $\text{F}$ を $\overrightarrow{b}$ や $\overrightarrow{c}$ で表せそうですね」

僕「そうそう！　そしてここから、 $s$ や $t$ で両辺を割りたいんだけど、 ゼロ割になる心配は……」

テトラ「ありません！　だって、 $s=0$ だったら、 $\overrightarrow{\text{BE}}=s\overrightarrow{\text{BF}}$ から、 $\overrightarrow{\text{BE}}=\overrightarrow{0}$ になって二点 $\text{B},\text{E}$ がくっついちゃいますから」

僕「その通り。同じように $t$ も $0$ じゃない。だから、 $\overrightarrow{\text{A}\text{F}}$ だけを左辺に残すように整理すると、 $\overrightarrow{\text{A}\text{F}}$ は、 $\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{c}$ を使って二通りに表せる」

テトラ「ああああああっ！」

僕「ど、どうしたの？」

テトラ「確かに、確かに《一意的に決まる》って大事ですね……だって、 いまの式は、

• 一つの点 $\text{F}$ を、
• 一次独立な二つのベクトル $\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{c}$ を使って、
• 二通りで表している

ことになります。 二通りで表してはいますけど、 $$\overrightarrow{\text{A}\text{F}}=x\overrightarrow{b}+y\overrightarrow{c}$$ に出てくる $\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{c}$ が一次独立なので $(x,y)$ は一意的に決まることが保証されます。 ですから、 $$(x,y)=({\displaystyle \frac{s-1}{s}},{\displaystyle \frac{r}{s}})=({\displaystyle \frac{r}{t}},{\displaystyle \frac{t-1}{t}})$$ になります！」

僕「そうそう、そうだね！　 そこで、 $$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{s-1}{s}}& ={\displaystyle \frac{r}{t}}\\ {\displaystyle \frac{r}{s}}& ={\displaystyle \frac{t-1}{t}}\end{array}$$ という二本の式ができる。 これで、ほぼ計算に持ち込めたかな」

テトラ「いまさらながら、納得です」

僕「さっきの『ああああああっ！』はその納得の叫び声だったんだね」

テトラ「し、失礼しました。エウレーカ！と言えればよかったんですが……ところで、 変数が $s,t,r$ の三つあるのに、式が二つしかありません」

僕「それはそうだね。だって、僕たちは一般的な証明をしようとしている。 具体的な三角形が与えられているわけじゃないから、 $s,t,r$ の値が具体的に求まるわけじゃない。 わかるのは相互関係だけ。一つ目の式から、 $$t=\frac{sr}{s-1}$$ が得られる。 $s\ne 1$ だから、ゼロ割にはならない」

テトラ「それは……はい。もしも $s=1$ なら $\overrightarrow{\text{BE}}=s\overrightarrow{\text{BF}}$ から、交点 $\text{F}$ が点 $\text{E}$ と一致してしまうからです」

僕「そうそう。それで、 $$t=\frac{sr}{s-1}$$ を二つ目の式に代入して計算していくと……」

$$(r-1)(r+1-s)=0$$

テトラ「きれいに因数分解できました」

僕「ええと、ここで $r-1$ は $0$ じゃないよね。もしも $r=1$ なら、 $\mathrm{△}\text{ABC}$ と $\mathrm{△}\text{ADE}$ とが重なってしまうから」

テトラ「確かに！　重なったら、交点 $\text{F}$ は作れませんね」

僕「ということは、 $$(r-1)(r+1-s)=0$$ の両辺を $r-1$ で割ると、 $r+1-s=0$ から、 $$s=r+1$$ がいえる。 これで $t$ もわかる。 $$t=\frac{sr}{s-1}=\frac{(r+1)r}{(r+1)-1}=r+1$$ うん。これで証明までできるよ！」

テトラ「ちょちょちょっとお待ちください。いまわかったのは、 $$s=t=r+1$$ ですよね？」

僕「うん。つまりこれで、 $\overrightarrow{\text{A}\text{F}}$ を $r$ だけで表せるわけだ！　しかも、 $\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{c}$ の係数は等しい！」

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\text{A}\text{F}}& =\frac{s-1}{s}\overrightarrow{b}+\frac{r}{s}\overrightarrow{c}\\ & =\frac{r}{t}\overrightarrow{b}+\frac{r}{s}\overrightarrow{c}\\ & =\frac{r}{r+1}\overrightarrow{b}+\frac{r}{r+1}\overrightarrow{c}\end{array}$$

テトラ「え、ええと……でも、直線 $\text{AF}$ と辺 $\text{BC}$ との交点 $\text{G}$ を調べる必要がありますよね？」

僕「そうなんだけど、それはすぐにわかるよ。 $$\overrightarrow{\text{A}\text{F}}=\frac{r}{r+1}\overrightarrow{b}+\frac{r}{r+1}\overrightarrow{c}$$ から、 $$\frac{r+1}{r}\overrightarrow{\text{A}\text{F}}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$$ がいえる。 $r\ne 0$ だからゼロ割にはならない。 ということは両辺を $2$ で割れば、 $$\frac{r+1}{2r}\overrightarrow{\text{A}\text{F}}=\frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}$$ になる。右辺はどこの点を指してる？」

テトラ「なるほど。 $$\frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}=\frac{\overrightarrow{\text{A}\text{B}}+\overrightarrow{\text{A}\text{C}}}{2}$$ は辺 $\text{BC}$ の中点になりますね！」

僕「辺 $\text{BC}$ の中点が、直線 $\text{AF}$ 上にあるということは、 直線 $\text{AF}$ と辺 $\text{BC}$ の交点は、辺 $\text{BC}$ の中点になる。 直線 $\text{AF}$ と辺 $\text{BC}$ の交点は、点 $\text{G}$ にほかならないから……」

テトラ「これで証明が完成ですね！」

僕「無事に証明できた」

テトラ「でも、先輩。 これで証明はできましたが、 なかなか大変ですね……」

僕「そうだねえ、 一次独立な二つのベクトル $\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{c}$ で表して、計算に持ち込むのはいいけれど、 大変なのは確かだ」

テトラ「先輩？　いまの問題でふと（・・）思ったことがあるんですけど……」