1からnまでの和を求める公式

1からnまでの和を求める公式について、具体例と２通りの証明を解説します。

具体例

・1$1$から 10$10$までの和
1+2+3+⋯+9+10=12×10×11=55$$\begin{gathered} 1+2+3+\cdots +9+10 \\ ={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 10\times 11=55 \end{gathered}$$

・1$1$から 100$100$までの和
1+2+3+⋯+99+100=12×100×101=5050$$\begin{gathered} 1+2+3+\cdots +99+100 \\ ={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 100\times 101=5050 \end{gathered}$$

・1$1$から 1000$1000$までの和
1+2+3+⋯+999+1000=12×1000×1001=500500$$\begin{gathered} 1+2+3+\cdots +999+1000 \\ ={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 1000\times 1001=500500 \end{gathered}$$

公式を使えばいちいち１つずつ足し算を計算する必要がないので楽です。

式を使った証明

なぜ 1+2+3+⋯+n=12n(n+1)$1+2+3+\cdots +n={\displaystyle \frac{1}{2}}n(n+1)$が成立するのか説明します。

まずは n=10$n=10$の場合について考えてみましょう。

(求めたいもの)=1+2+3+⋯+10$=1+2+3+\cdots +10$
(求めたいもの)=10+9+8+⋯+1$=10+9+8+\cdots +1$

この2つの式を縦に足すと、
2×$2\times$(求めたいもの)
=(1+10)+(2+9)+(3+8)+⋯+(10+1)$=(1+10)+(2+9)+(3+8)+\cdots +(10+1)$

となります。この右辺は、
11+11+11+⋯+11$11+11+11+\cdots +11$
となり、11$11$が 10$10$個です。

よって、
(求めたいもの)=11×10÷2$=11\times 10÷2$
となります。

同様の方法を使うと、n$n$が 10$10$ではない別の自然数の場合にも、
1+2+⋯+n=(n+1)×n÷2$1+2+\cdots +n=(n+1)\times n÷2$
つまり
1+2+⋯+n=12n(n+1)$1+2+\cdots +n={\displaystyle \frac{1}{2}}n(n+1)$
となります。

ちなみに、この公式を和の記号 Σ$\mathrm{\Sigma }$を使って書くと、
∑k=1nak=12n(n+1)${\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k={\displaystyle \frac{1}{2}}n(n+1)}$
となります。

図形を使った説明

今度は図形を使って、なぜ
1+2+3+⋯+n=12n(n+1)$1+2+3+\cdots +n={\displaystyle \frac{1}{2}}n(n+1)$
が成立するのか説明します。

同じく n=10$n=10$の場合について考えてみましょう。

求めたいものは 1+2+3+⋯+10$1+2+3+\cdots +10$
つまり、緑色の四角形の個数です。

そこで、緑色全体をひっくり返したもの（赤色）を上側にくっつけてみましょう。

すると、赤＋緑
は合計 10×11$10\times 11$個です。

よって、緑はその半分の 12×10×11${\displaystyle \frac{1}{2}}\times 10\times 11$個になります。

同様に、n$n$が 10$10$ではない別の自然数の場合にも、
1+2+⋯+n=(n+1)×n÷2$1+2+\cdots +n=(n+1)\times n÷2$
であることが分かります。

次回は 等差数列の和を計算する2つの公式 を解説します。