０で割る。 なぜ、数字を０で割ると、答えが出ないんですか？
０で割る。
なぜ、数字を０で割ると、答えが出ないんですか？
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ミストさん
2007/5/27 13:15
答えが出ないのではなく、答えが何でもありになってしまうのです。
例えば、極限を利用すると、0で割ると答えは-∞と+∞の二つになってしまいます。
つまり、きちんとした数値を得ない。
そもそも、数字を0で割る、ということが定義できないのです。
してはいけない云々の前に、0で割る、ということが定義できない。
割り算とは、逆数をかけることですよね？
そして、逆数というのは、積が1（かけたら1）になる2数のことですよね？
でも、0倍したらどんな数でも0ですから、0の逆数（0倍して1になる数）っていうのはないんです。
例えば、3を0で割る計算は、3と0の逆数の掛け算なんですけど、0の逆数は存在しないので、存在しない数とは掛け算できない。
つまり0で割る計算っていうのは"できない"んです。
ただ、"0の逆数は存在しない"のであって、"1/0 は存在しない"というわけではないのです。
aの逆数が存在するとき、「1/aと書く」というルールであって、「1/0」という記述は存在しないものに記法を与える「ルール違反」なので無意味なのです。
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nap********さん
2007/5/27 4:32
まず「０÷３」の例からいきます。
これは「０個のりんごを３人で分けるとき、一人分は何個になりますか？」という問題です。
だから、「一人分は０個です」ということで答えは「０」になります。
対する「３÷０」の例ですが、
これは「３個のりんごを０人で分けるとき、一人分は何個になりますか？」という問題になります。
もともと人が一人もいないのだから、りんごはいつまでたっても無傷です。
人が一人もいないシチュエーションで「分ける」という行為をするのがそもそもできないことなので、
この問題は成り立たないことになります。
だから、こういう計算は「してはいけない」ことになっているのです。
私は学習塾で働いています。
本当はもっと厳密な数学で説明すべきなのでしょうが、
中学生にこういう説明をすると、不思議なほど納得します。
少年は犬を愛するものださん
2007/5/27 3:49（編集あり）
算数では「０で割ることはしない」と約束したのです。
もちろん、０も数字です。（厳密にも数字です)
０を他の数字で割ることもできるし、
０の足し算、引き算、掛け算もできる。
しかし、「他の数字を０で割ることだけはしない」「定義しない」という約束なのです。
そのように約束しないと、算数・数学で意味がなくなってしまうのです。
(一方、無限大や無限小というのは数字ではありません。状態だと考えるべきです)
しかし、算数の一分野である解析学では「留数」という概念があり、実質的には「０で割ったときの答え」に近いものを計算します。
馬鹿の一つ覚えさん
2007/5/27 3:43
何も割るものがないからです。
０は厳密には数字ではなく、「何も無い」を記号にしたものなので、
結局何も割るものが無ければ答えなんて出ようにも出ない。
5÷0の答えってあるのですか？
小学生ではもちろん扱いませんが，数学の世界では答えがあるのでしょうか？
ベストアンサー
ID非表示さん
2009/5/31 12:28（編集あり）
お答えします。
0÷5 ならば、 0になります。
理由は、割り算を分数や、掛け算で考えて見ましょう。
すると、掛け算で考える方法であれば、
0÷5=0⇒0×5=0
となります。
分数にする方法であれば、証明の形式になります。
━━━━━━━
0
- = 0
5
両辺に５をかける。
よって、
５× 0 / 5 = 0 ×5
0=0
∴０÷5＝0が成り立つ
Q.E.D
━━━━━━━━━━━━
となります。
では、本題に移ります。
５÷0はいくつか？
ではもし、５÷0＝0であると仮定します。
すると、
5 / 0 = 0
両辺に0をかける
0× 5/0 ＝0×0
しかし、このままでは、
5=0
なので、矛盾してしまいます。
では、５÷0＝5としてみましょう。
5/0 = 5
0× 5/0 =5×0
しかしこれも、
5＝0となり、矛盾してしまいます。
実は、「０で割る行為」は、数学的には認められていないのです。
詳しくは、このサイトを見ることをお勧めします。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1211712767
http://naop.jp/topics/topics28.html
質問者からのお礼コメント
大変詳しく教えていただきありがとうございました。
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gui********さん
2009/5/26 19:14
｛０｝のみの自明な体なら０での割り算は可能ですが、０しか数字がないのであまり考えても面白くないと思います。
uru********さん
2009/5/26 17:53
僕が昔習ったことをそのまま言わせて貰います。
６÷３＝２ ２×３＝６
このように、当然のことながら割り算の「答え」と「割る数」をかけると
「割られる数」になります。
５÷０＝□
とします。
すると□×０＝５
こうならなくてはいけません。
０は何をかけても０なので５にはなりません。
なので答えは「ない」「あり得ない」です。
ID非表示さん
2009/5/26 17:51
5÷0=∞（無限大）・・・・
0で割れない理由を証明してください。
回答（2件）
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i_h********さん
カテゴリマスター
2021/12/12 5:47
0で割ることは、0の逆数をかけることと同じ
0の逆数は存在しないから0で割ることはできない
エヌさん
2021/12/11 22:17
たとえば1÷0=aだとすると1=0×aということになり，0と何かをかけると1になるというとんでもない結果になる。
０（ゼロ）で割ってはいけないということは分かっています。その理由についてもある程度は分かっているつもりではいます。
それでも、なお疑問が残ります。なぜ、ゼロで割っていはいけないのか。
確かに、ゼロで割ると不都合が多々出てきてしまいます。でも、ゼロで割ってはいけないとう前提があるから、ゼロで割ると不都合がでるのではないでしょうか。どなたか、このモヤモヤ感を払拭していただけないでしょうか。よろしくお願いします。
ベストアンサー
gam********さん
2012/9/13 1:55（編集あり）
0で割ってはいけない理由を簡単に言うと、数の規則が崩れてしまうからです。
例えば、
1÷0＝a
と仮定すると、両辺に0をかけて
1÷0×0＝a×0
です。かけ算・わり算の規則から、左辺は1、右辺は0ですから
1＝0
です。この「1＝0」という矛盾は、「1÷0という値が存在する」と仮定したことから生じたので、1÷0は計算できません。
ざっとこんな具合です。
ですが、複素関数論で扱う「リーマン球面」の上では、1÷0 を計算してよい(数値っぽいものとして認める)と習います。実際、そのような場面では
1÷0＝∞
と定めます。ちょっと変な感じがしますが、∞(無限大)を導入することでスムーズに議論できる事柄もあるため、複素関数論では「0で割る」ということがよく使われます。
質問者からのお礼コメント
皆さん、多くの回答をお寄せいただき、ありがとうございました。
お礼日時：2012/9/14 8:11
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mat********さん
2012/9/13 3:35
いろいろな方が書かれていますので、私は動画の紹介をば。
なぜ0で割ってはいけないのか？ リンゴの分配から体の公理まで
http://www.nicovideo.jp/watch/sm1324200
ニコニコ動画ですが、かなりわかり易かったです。
ちょっと長い動画ですが、いろいろな説明がされているので、
お時間があるようでしたら見る価値は十分にあると思います。
ID非表示さん
2012/9/13 3:34
a÷0=b(a≠0)とすれば
a=0*b=0だから矛盾。
∴0での割り算は定義不可
hyx********さん
2012/9/13 3:17
例えば
６÷３＝２という計算は移項することで
２×３＝６と表すことが出来る
０÷５＝０は
０×５＝０で表すことが出来る、
だが０（ゼロ）で割ること、
５÷０＝０で成り立つということは
０×０＝５が成り立つことになるので
０（ゼロ）で割ってはいけないということになる
mie********さん
2012/9/13 2:06
a×b＝c のとき
a＝c÷b と定義する。これが割り算の定義。
この定義に従えば
３×０＝０ のとき ３＝０÷０
５×０＝０ のとき ５＝０÷０
など、つまり ０÷０ の値は何でもよいことになる。
また逆に a＝７÷０ とすれば a×０＝７ …①
７÷０ の値は方程式①を満たすaでなければならないがそのような値は存在しない。
結局０で割る割り算は定義できないということです。
jjg********さん
2012/9/13 1:56
この回答は難しいですが
0/0=0は良いです。
これは仮に分母の0を文字として見た時
0/0=x(xは実数)とした時
両辺0をかけると
0=x*0となります。
この等式を満たす実数xは0しかありません。
だから0/0=0は成立します
今度は
a≠0として
a/0を考えます。
同じように
a/0=xとおき
両辺0をかけると
a=x*0
しかしa≠0で
0にどんな実数xをかけても0になるのでこの等式を満たす
実数xは存在しません。
だから0で割れるのは分子0の時だけで分子が0でなければ不可能ということです。
回答ミスありましたらすみません。
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sou********さん
2012/9/13 1:50
0で割ってはいけないのは、私たちが現在重宝している方程式などの概念が根本から覆るからです。
例えば、方程式の解とは、その等式を満たすすべてのxを挙げることです。
2次方程式x^2+x=x+1を考えたときに、普通に解くと、x=±1です。
しかし、
x(x+1)=x+1
両辺x+1で割って、
x=1
という解答は誤りです。ご存知のように、解であるx=-1のとき、x+1=0であり、0で割っているからです。
しかし、方程式など私たちが現在フィールドとしている数学体系以外の世界を考えることもできます。
すなわち、0で割ってもよい世界も創ることができます。
私も以前、方程式などを捨てる代わりに0で割った世界を考えました。
a/0という数をつくり、何か起きないか調べましたが、群の定義を満たすような演算子を考えることもできず、私たちの世界ではさほど（まったく？）役に立たないだろうと感じました。
結論的には、「0で割ってはいけない」のではなく、「私たちが用いる数学が0で割ることより方程式などを採用した」の方が正しいと私は考えます。
rei********さん
2012/9/13 1:50
例えば円の面積は（半径の2乗）×（円周率）ですね
では何故そうなるのか分かっていますか？
そのことでモヤモヤしますか？
数学は段階的にしか分かるようにはなりません。
今は気にしなくてよいと思います。
1＝0.9999999・・・・・・が間違っていると言う人も
いるようですけどね。
nic********さん
2012/9/13 1:43
ある数Aをxで割った時の答えがBになるのであれば、B*x = Aである。これは乗算と除算の定義そのものだ。
x=0の時、B*0=Aなので、AとBはどんな値でもいい、という事になる。つまり、割られる数が何であろうが、答えは何であってもよい、という結論が導かれる。答えとは式から定まるものであり、逆に言えば定まらない以上、この問いには「答えは存在しない」と言うほかない。数学的には「不定である」と表現する。
「人生の意味は？」という質問には無限の回答が考えられるが、こういう場合だって「答えなんてない」と表現するのだろう？答えが無限に考えられるというのは、答えというものが存在しない事を意味する。
話がポエムっぽい方向に脱線したな。以上の論証において、私は一言も「ゼロで割ってはいけない」などと言っていないし、持ち出したのは掛け算と割り算のとても原始的な定義だけだから、ここに「ゼロで割ってはいけない」などという前提が暗黙のうちに混ざり込む可能性もないだろう。
bea********さん
2012/9/13 1:24
ある程度わかってるなら、いいんじゃないの。わからなくはないんでしょう？ それでも疑問が残るって、わからないって事なの？
なんで0で割れないんですか。
そう定義されているから。とかは無しです。
補足
反論！！
X÷0=Aのとき
(X÷0)×0=A×0なんだから
X=A×0にはならないんじゃないでしょうか。
それに
X÷0×0をX×(0÷0)にしたとしても
0÷0はどんな数にでもなる可能性があるのだから
1とはかぎらないし、また0でもいいんですよね。
だったら
X÷0×0=A×0も
X×0=A×0なんじゃないでしょうか。
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ID非表示さん
2010/2/6 4:54
まずはじめに言っておくと、０で割ることを可能にする数学的理論は存在します（Wheel Theoryと言います）。
なのでここでは、「なぜ普通の数学理論では０で割れないのか」ということにお答えします（抽象代数学という理論にそって説明します）。
先入観をすべて捨てて、「aで割る」とは何かということを考えてみましょう。
まず、「aで引く」というのは、「－aを足す」と言いかえられますね。（ここで-aとは、aに足すと０になるような数のことと定義します。）
同様に、「aで割る」とは「1/aをかける」ことと同じです。ここで1/aとは、aにかけると１になるような数のことです。
よって、「０で割る」というのは、「1/０をかける」ことと同じです。
ここで1/0というのは定義から「０にかけると１になるような数」ということになります。
しかし０に何をかけても０なので、そのような数は存在しません。つまり、０で割るという操作をすることが出来ません。
つまり、「０に逆数が存在しないため」というのが抽象代数学の公理から導かれる理由です。
他の公理を採用すれば、冒頭でも述べたように、違う理由や結論が導かれる事でしょう。
＞＞「そう定義されてるから」以外に答えようがない！！以上。
答えようがないのはあなたの知識がないせいだよ。
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fra********さん
2010/1/30 17:21
数字の中で０というのは特殊な数で、数字が出来てから暫くしてから出来たものと言われています。
現代でも数に関する定義というのは２つに分かれていて、
１つは量を表すものというもので、これはある基準を設けるとそれがいくつできるかということで定義したものです。
簡単に言えば樽の水を計るのにコップ何杯分？と問いかけているようなものです。
２つ目は順番を表しているという考え方で、簡単に言えば数直線を書いてある位置のものには○という数（名前、呼び方）を与えているようなものです。
そして、前者で四則計算をするなら上記の樽とコップの水の関係を想像すればなんとなくわかると思いますが、
割り算の場合、a÷b＝cとすると
aリットル入っている樽の水はbリットル入るコップ何杯分かという意味になります。
すると１リットル入っている樽の水は０リットルはいるコップ何杯分ですか？という意味になります。
上記の問題の答えを考えると答えがないということになります。
後者の場合は割り算は表現しにくいのですがほぼ同様の考えでいくと
１時間に数直線上の０～０まで移動した人が０から１まで移動するのにかかる時間は何時間かと問いかけているようなものです。
ｑｅｄ２００３２０００さん
2010/1/30 16:31
「そう定義されてるから」以外に答えようがない！！以上。
sio********さん
2010/1/31 0:13（編集あり）
0で割れない理由／osakatokyonagoyahirosimaakitaさんの質問番号103601711への回答
まず、割り算の定義は、掛け算の逆です。つまり、
a×b = c のとき、a = c÷b 、b = c÷a と定義します。
いま、b = 0 とします。すると、
a×0 = 0
ですから、c = 0 です。まずこの段階で、0÷0はあったとしても、0でない数÷0は「そういう状況自体が元々存在しない」ことがわかります。
次に、元の定義に戻り、0÷0＝a とします。いま、aとは異なる数dをもってきて、d×0＝0 とすると、0÷0＝d となります。このように、0÷0の答としては、「すべての実数」にその可能性があります（複素数でもいい）。
たとえば、0・x = 0 という方程式があるとき、その解は「xはすべての実数」です。したがって、0÷0は「数」ではなく、「実数全体の集合」だということになります。もし「0÷0」を数として扱ってしまうと、次のような不都合が起こります。
1 = 0÷0 = 2 ∴1=2
上のように書くと、そんなバカな、とすぐ気づきますが、有名な次の「証明」のように書かれるとすぐわからないかもしれません。
４行目から５行目にかけて0÷0をしています。
a = b
a^2 = ab
a^2 - b^2 = ab - b^2
(a - b)(a + b) = a(a - b)
a + b = a
2a = a
2 = 1
（補足について）
0で割ることを許すということは、「成立している等式の両辺に同じ操作をしてできる等式もまた成立する」というありがたい計算手段を捨てることを意味しますので、今まで積み重ねている豊かな世界を失うことになります。
数学では、自由に公理を定めてそれぞれの世界を構築することが許されるので、その「反論」のような数学世界を作ってもかまいません。たとえば、0:0は認めないが 1:0 というのを比として扱うことで射影幾何学のような理論ができます。
あと、さらに議論を続けたかったら、その補足の部分をもとに新しい質問として投稿してみたらどうでしょうか。
nak********さん
2010/1/30 16:17
仮に、ある数Xを0で割ってみましょう。
X÷0＝？
まず、Xが0でないとすると、
6÷2＝3 → 3×2＝6
のように上の式をすると、
X÷0＝？ → ？×0＝X
となり、0をかけた数が0でないことになり、矛盾します。
ではXが0だとすると、
0÷0＝？ → ？×0＝0
となり、？がいくらの場合でも成り立ちます。
数学の場合、実数における加減乗除の解は1通り、という説明が成り立つので、上はこれに矛盾します。
よって、0で割るとこのような矛盾が出てくるので、0で割ることを考えないことにしたのです。
0で割れない理由は調べると色々ありましたが、大学数学的に証明するとどうなるのですか？
ベストアンサー
りらっくまいめろさん
2012/1/14 23:34
関数として考えて、連続性かどうかを調べると分かりやすいかなと思います。
f(x)=a/x (aは0で無いすべての実数）とします。
0でわるということは、xが0になるということなので、
lim[x→0]f(x)=f(0)が成立すれば、f(x)は0の点で連続であり、値が存在すると言えます。
ここで、反比例のグラフを思い出してください。
a>0のとき、
lim[x→+0]f(x)=+∞
lim[x→-0]f(x)=-∞
で、片側極限の発散先が違います。
（a<0の場合は、逆になります）
従って、x=0でf(x)は連続でない。
すなわち、0でないすべての実数において、0でわることができない。
となります。
これは、高校理系レベルです。大学数学的に証明すればこの極限をlimでなく、εδ論法を使って証明すればいいと思います。
ちなみに、aが0でないとした理由ですが、0/0は不定形と呼ばれる特殊な状態だからです。
質問者からのお礼コメント
大学数学的なやり方も書いてくれているので、ベストアンサーにします。みなさんありがとうございました。
お礼日時：2012/1/21 9:46
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ID非表示さん
2012/1/14 23:45
a(≠0)に対してa÷0=bならa=0*b=0。
∴矛盾するからa(≠0)に対してa÷0=bなるbは存在しない。
関数で考えるのではなく代数学の基礎です。famousな練習問題。
ID非表示さん
2012/1/14 23:34（編集あり）
零元に逆元が存在しないことを言えばいいのかな？
零元とは ∀a ; a・z = z・a = z となるような z の事です（つまり0）．
aの逆元とは a・b = b・a = e を満たすようなbの事です（つまり 1/a）．
ここで，eは乗法の単位元，すなわち ∀a ; a・e = e・a = a となるeのことです（つまり1）．
さて，零元 z の逆元 z' は存在するならば z・z' = z'・z = e を満たします．
一方，zは零元なので ∀a ; a・z = z・a = z が成り立ちます．
これはz'とて例外ではなく， z'・z = z・z' = z です．
よって，仮に零元 z に逆元 z' が存在したとすると
z・z' = z'・z = e
z'・z = z・z' = z
が同時に成り立ちます．ここから結論されるのは e = z です．
実数において，零元zは 0 のみであり，乗法の単位元eは 1 のみです．
よって， e = z は 0 ≠ 1 と矛盾します．
このことから，実数においては零元には逆元が存在しないことが言えます．
同時に，もし零元に逆元が存在するような数体系が作れるとしたら，e = z が成り立つことも言えます．
これは，「要素が 0 しか存在しない集合」に以下のような加法・乗法を定める場合等に実現しますが…
0+0 = 0
0・0 = 0
「数字が 0 しか存在しない数体系」 って，考えてもあまりうれしくありませんね．
red********さん
2012/1/14 23:32
連続性が保たれていない、というのもありますね。
大学レベルとは言えないので申し訳ないのですが（高校レベル？）、小学生の息子に説明した３つの理由のうちの一つです。
たとえば６÷２の場合、２を、２より大きい数から２に近づけていくと、答えは３に近づきます。
（６÷３＝２、６÷２．５＝２．４、６÷２．１＝２．８５７・・・、６÷2.01＝2.985・・・、６÷2.00001＝2.99999・・・のように）
これは、２より小さい数から２に近づけても、答えは３に近づきます。
ところが同じことを１÷０でやると、０より大きい数から０に近づけると、答えは＋∞になります。
しかし０より小さい数から０に近づけると、答えは－∞になってしまいます。
ちょうどタンジェントカーブに似てますね。
bea********さん
2012/1/14 22:59
大学数学的に と言われると 分かりませんが、私は
Ａ÷Ｂ＝Ｃ の時 Ｂ×Ｃ＝Ａ と なりますが、Ｂが０の時は Ａ÷０＝Ｃ、０×Ｃ≠Ａ だから、と 教わりました。
小学校教師「18÷0=0です！」→親激怒
https://alfalfalfa.com/articles/10659735.html
小学生の母親さん「娘の宿題見てたけどこの問題の答えが分からない...」
http://blog.livedoor.jp/kinisoku/archives/5532356.html
59：名無し募集中。。。 ：2024/06/18(火) 12:23:21.650
10÷1は10
10÷0.1は100
10÷0.01は1000
10÷0.001は10000
72：名無し募集中。。。 ：2024/06/18(火) 12:29:08.200
>>59
こういう考え方すると
「解なし」より「∞」が正しい気もする
73：名無し募集中。。。 ：2024/06/18(火) 12:30:45.860
>>72
0.0000000000000000000000000000…………1は∞だけど0は解なしなんだよね
127：名無し募集中。。。 ：2024/06/18(火) 17:44:27.660
割り算で分母が０はやってはいけないので
答え無しが正解
61：名無し募集中。。。 ：2024/06/18(火) 12:25:22.330
無限
な
１８÷０＝？ 「こたえなし」は不正解、とある小学校の宿題、みなさんならどうこたえる？
文学的解釈を持ち込んで強引に数値を入れるとしても ＝０ じゃなくて ≒ ∞ じゃないかな
それも入れるなって話ですが
math
@makaya_t_math
@charlow_illust 0 では割れませんが、0 に近づくとこうなりますね。
18÷1 = 18
18÷0.1 = 180
18÷0.01 = 1800
18÷0.001 = 18000
18÷0.0001 = 180000
18÷0.00001 = 1800000
...
2024-06-17 9:38:22
荒崎まな○◎花丸💮の世界へ
@arasakimana
@charlow_illust 0って1/lim∞なので
0で割ると∞になるという考え方も出来るかと
2024-06-17 19:14:10
🍍ビットマンTV🍍/Crypto Mafia
@bitmanTV
@charlow_illust 何度も言うが『解なし』な😂
俺の数学人生賭けてもいい
関数上でも『答えなし』な
『0』と『存在せず』は全くの別物
整数に0が入ってるだろ？つまり0も数の1つ
『存在しないから0だ』とかふざけた事言うなら、数学界と言うより
『数千年の数の歴史vs小学校の1教師』
ハイパーな構図が完成するぞ😑 pic.twitter.com/BH3FCkSn8n
🍍ビットマンTV🍍/Crypto Mafia @bitmanTV
@charlow_illust 定義なんて言っても小学生は分からんわな😑
⑤0個のケーキを8人で分けたら？
→もともと無いんやから0
⑥18個のケーキを0人で分けたら？
→分ける人いないから答えなし
割り算は分け算やからな(割合算)
https://togetter.com/li/2386643
https://togetter.com/li/2386643?page=2
18÷0=｢0｣は間違い？東大生が教える納得の解答
難しい知識がなくても理解できる｢関数の極限｣
https://toyokeizai.net/articles/-/769970?page=1
https://toyokeizai.net/articles/-/769970?page=2
https://toyokeizai.net/articles/-/769970?page=3
https://toyokeizai.net/articles/-/769970?page=4
5分でわかる！極限（limit）について(１)
https://zennoueighteen.blog.fc2.com/blog-entry-124.html?sp
なぜ、数字を０で割ると、答えが出ないんですか？
ベストアンサー
ミストさん
2007/5/27 13:15
答えが出ないのではなく、答えが何でもありになってしまうのです。
例えば、極限を利用すると、0で割ると答えは-∞と+∞の二つになってしまいます。
つまり、きちんとした数値を得ない。
そもそも、数字を0で割る、ということが定義できないのです。
してはいけない云々の前に、0で割る、ということが定義できない。
割り算とは、逆数をかけることですよね？
そして、逆数というのは、積が1（かけたら1）になる2数のことですよね？
でも、0倍したらどんな数でも0ですから、0の逆数（0倍して1になる数）っていうのはないんです。
例えば、3を0で割る計算は、3と0の逆数の掛け算なんですけど、0の逆数は存在しないので、存在しない数とは掛け算できない。
つまり0で割る計算っていうのは"できない"んです。
ただ、"0の逆数は存在しない"のであって、"1/0 は存在しない"というわけではないのです。
aの逆数が存在するとき、「1/aと書く」というルールであって、「1/0」という記述は存在しないものに記法を与える「ルール違反」なので無意味なのです。
その他の回答（3件）
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nap********さん
2007/5/27 4:32
まず「０÷３」の例からいきます。
これは「０個のりんごを３人で分けるとき、一人分は何個になりますか？」という問題です。
だから、「一人分は０個です」ということで答えは「０」になります。
対する「３÷０」の例ですが、
これは「３個のりんごを０人で分けるとき、一人分は何個になりますか？」という問題になります。
もともと人が一人もいないのだから、りんごはいつまでたっても無傷です。
人が一人もいないシチュエーションで「分ける」という行為をするのがそもそもできないことなので、
この問題は成り立たないことになります。
だから、こういう計算は「してはいけない」ことになっているのです。
私は学習塾で働いています。
本当はもっと厳密な数学で説明すべきなのでしょうが、
中学生にこういう説明をすると、不思議なほど納得します。
少年は犬を愛するものださん
2007/5/27 3:49（編集あり）
算数では「０で割ることはしない」と約束したのです。
もちろん、０も数字です。（厳密にも数字です)
０を他の数字で割ることもできるし、
０の足し算、引き算、掛け算もできる。
しかし、「他の数字を０で割ることだけはしない」「定義しない」という約束なのです。
そのように約束しないと、算数・数学で意味がなくなってしまうのです。
(一方、無限大や無限小というのは数字ではありません。状態だと考えるべきです)
しかし、算数の一分野である解析学では「留数」という概念があり、実質的には「０で割ったときの答え」に近いものを計算します。
馬鹿の一つ覚えさん
2007/5/27 3:43
何も割るものがないからです。
０は厳密には数字ではなく、「何も無い」を記号にしたものなので、
結局何も割るものが無ければ答えなんて出ようにも出ない。
5÷0の答えってあるのですか？
小学生ではもちろん扱いませんが，数学の世界では答えがあるのでしょうか？
ベストアンサー
ID非表示さん
2009/5/31 12:28（編集あり）
お答えします。
0÷5 ならば、 0になります。
理由は、割り算を分数や、掛け算で考えて見ましょう。
すると、掛け算で考える方法であれば、
0÷5=0⇒0×5=0
となります。
分数にする方法であれば、証明の形式になります。
━━━━━━━
0
- = 0
5
両辺に５をかける。
よって、
５× 0 / 5 = 0 ×5
0=0
∴０÷5＝0が成り立つ
Q.E.D
━━━━━━━━━━━━
となります。
では、本題に移ります。
５÷0はいくつか？
ではもし、５÷0＝0であると仮定します。
すると、
5 / 0 = 0
両辺に0をかける
0× 5/0 ＝0×0
しかし、このままでは、
5=0
なので、矛盾してしまいます。
では、５÷0＝5としてみましょう。
5/0 = 5
0× 5/0 =5×0
しかしこれも、
5＝0となり、矛盾してしまいます。
実は、「０で割る行為」は、数学的には認められていないのです。
詳しくは、このサイトを見ることをお勧めします。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1211712767
http://naop.jp/topics/topics28.html
質問者からのお礼コメント
大変詳しく教えていただきありがとうございました。
その他の回答（3件）
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gui********さん
2009/5/26 19:14
｛０｝のみの自明な体なら０での割り算は可能ですが、０しか数字がないのであまり考えても面白くないと思います。
uru********さん
2009/5/26 17:53
僕が昔習ったことをそのまま言わせて貰います。
６÷３＝２ ２×３＝６
このように、当然のことながら割り算の「答え」と「割る数」をかけると
「割られる数」になります。
５÷０＝□
とします。
すると□×０＝５
こうならなくてはいけません。
０は何をかけても０なので５にはなりません。
なので答えは「ない」「あり得ない」です。
ID非表示さん
2009/5/26 17:51
5÷0=∞（無限大）・・・・
0で割れない理由を証明してください。
回答（2件）
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i_h********さん
カテゴリマスター
2021/12/12 5:47
0で割ることは、0の逆数をかけることと同じ
0の逆数は存在しないから0で割ることはできない
エヌさん
2021/12/11 22:17
たとえば1÷0=aだとすると1=0×aということになり，0と何かをかけると1になるというとんでもない結果になる。
０（ゼロ）で割ってはいけないということは分かっています。その理由についてもある程度は分かっているつもりではいます。
それでも、なお疑問が残ります。なぜ、ゼロで割っていはいけないのか。
確かに、ゼロで割ると不都合が多々出てきてしまいます。でも、ゼロで割ってはいけないとう前提があるから、ゼロで割ると不都合がでるのではないでしょうか。どなたか、このモヤモヤ感を払拭していただけないでしょうか。よろしくお願いします。
ベストアンサー
gam********さん
2012/9/13 1:55（編集あり）
0で割ってはいけない理由を簡単に言うと、数の規則が崩れてしまうからです。
例えば、
1÷0＝a
と仮定すると、両辺に0をかけて
1÷0×0＝a×0
です。かけ算・わり算の規則から、左辺は1、右辺は0ですから
1＝0
です。この「1＝0」という矛盾は、「1÷0という値が存在する」と仮定したことから生じたので、1÷0は計算できません。
ざっとこんな具合です。
ですが、複素関数論で扱う「リーマン球面」の上では、1÷0 を計算してよい(数値っぽいものとして認める)と習います。実際、そのような場面では
1÷0＝∞
と定めます。ちょっと変な感じがしますが、∞(無限大)を導入することでスムーズに議論できる事柄もあるため、複素関数論では「0で割る」ということがよく使われます。
質問者からのお礼コメント
皆さん、多くの回答をお寄せいただき、ありがとうございました。
お礼日時：2012/9/14 8:11
その他の回答（9件）
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mat********さん
2012/9/13 3:35
いろいろな方が書かれていますので、私は動画の紹介をば。
なぜ0で割ってはいけないのか？ リンゴの分配から体の公理まで
http://www.nicovideo.jp/watch/sm1324200
ニコニコ動画ですが、かなりわかり易かったです。
ちょっと長い動画ですが、いろいろな説明がされているので、
お時間があるようでしたら見る価値は十分にあると思います。
ID非表示さん
2012/9/13 3:34
a÷0=b(a≠0)とすれば
a=0*b=0だから矛盾。
∴0での割り算は定義不可
hyx********さん
2012/9/13 3:17
例えば
６÷３＝２という計算は移項することで
２×３＝６と表すことが出来る
０÷５＝０は
０×５＝０で表すことが出来る、
だが０（ゼロ）で割ること、
５÷０＝０で成り立つということは
０×０＝５が成り立つことになるので
０（ゼロ）で割ってはいけないということになる
mie********さん
2012/9/13 2:06
a×b＝c のとき
a＝c÷b と定義する。これが割り算の定義。
この定義に従えば
３×０＝０ のとき ３＝０÷０
５×０＝０ のとき ５＝０÷０
など、つまり ０÷０ の値は何でもよいことになる。
また逆に a＝７÷０ とすれば a×０＝７ …①
７÷０ の値は方程式①を満たすaでなければならないがそのような値は存在しない。
結局０で割る割り算は定義できないということです。
jjg********さん
2012/9/13 1:56
この回答は難しいですが
0/0=0は良いです。
これは仮に分母の0を文字として見た時
0/0=x(xは実数)とした時
両辺0をかけると
0=x*0となります。
この等式を満たす実数xは0しかありません。
だから0/0=0は成立します
今度は
a≠0として
a/0を考えます。
同じように
a/0=xとおき
両辺0をかけると
a=x*0
しかしa≠0で
0にどんな実数xをかけても0になるのでこの等式を満たす
実数xは存在しません。
だから0で割れるのは分子0の時だけで分子が0でなければ不可能ということです。
回答ミスありましたらすみません。
その他の回答（9件）
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sou********さん
2012/9/13 1:50
0で割ってはいけないのは、私たちが現在重宝している方程式などの概念が根本から覆るからです。
例えば、方程式の解とは、その等式を満たすすべてのxを挙げることです。
2次方程式x^2+x=x+1を考えたときに、普通に解くと、x=±1です。
しかし、
x(x+1)=x+1
両辺x+1で割って、
x=1
という解答は誤りです。ご存知のように、解であるx=-1のとき、x+1=0であり、0で割っているからです。
しかし、方程式など私たちが現在フィールドとしている数学体系以外の世界を考えることもできます。
すなわち、0で割ってもよい世界も創ることができます。
私も以前、方程式などを捨てる代わりに0で割った世界を考えました。
a/0という数をつくり、何か起きないか調べましたが、群の定義を満たすような演算子を考えることもできず、私たちの世界ではさほど（まったく？）役に立たないだろうと感じました。
結論的には、「0で割ってはいけない」のではなく、「私たちが用いる数学が0で割ることより方程式などを採用した」の方が正しいと私は考えます。
rei********さん
2012/9/13 1:50
例えば円の面積は（半径の2乗）×（円周率）ですね
では何故そうなるのか分かっていますか？
そのことでモヤモヤしますか？
数学は段階的にしか分かるようにはなりません。
今は気にしなくてよいと思います。
1＝0.9999999・・・・・・が間違っていると言う人も
いるようですけどね。
nic********さん
2012/9/13 1:43
ある数Aをxで割った時の答えがBになるのであれば、B*x = Aである。これは乗算と除算の定義そのものだ。
x=0の時、B*0=Aなので、AとBはどんな値でもいい、という事になる。つまり、割られる数が何であろうが、答えは何であってもよい、という結論が導かれる。答えとは式から定まるものであり、逆に言えば定まらない以上、この問いには「答えは存在しない」と言うほかない。数学的には「不定である」と表現する。
「人生の意味は？」という質問には無限の回答が考えられるが、こういう場合だって「答えなんてない」と表現するのだろう？答えが無限に考えられるというのは、答えというものが存在しない事を意味する。
話がポエムっぽい方向に脱線したな。以上の論証において、私は一言も「ゼロで割ってはいけない」などと言っていないし、持ち出したのは掛け算と割り算のとても原始的な定義だけだから、ここに「ゼロで割ってはいけない」などという前提が暗黙のうちに混ざり込む可能性もないだろう。
bea********さん
2012/9/13 1:24
ある程度わかってるなら、いいんじゃないの。わからなくはないんでしょう？ それでも疑問が残るって、わからないって事なの？
なんで0で割れないんですか。
そう定義されているから。とかは無しです。
補足
反論！！
X÷0=Aのとき
(X÷0)×0=A×0なんだから
X=A×0にはならないんじゃないでしょうか。
それに
X÷0×0をX×(0÷0)にしたとしても
0÷0はどんな数にでもなる可能性があるのだから
1とはかぎらないし、また0でもいいんですよね。
だったら
X÷0×0=A×0も
X×0=A×0なんじゃないでしょうか。
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ID非表示さん
2010/2/6 4:54
まずはじめに言っておくと、０で割ることを可能にする数学的理論は存在します（Wheel Theoryと言います）。
なのでここでは、「なぜ普通の数学理論では０で割れないのか」ということにお答えします（抽象代数学という理論にそって説明します）。
先入観をすべて捨てて、「aで割る」とは何かということを考えてみましょう。
まず、「aで引く」というのは、「－aを足す」と言いかえられますね。（ここで-aとは、aに足すと０になるような数のことと定義します。）
同様に、「aで割る」とは「1/aをかける」ことと同じです。ここで1/aとは、aにかけると１になるような数のことです。
よって、「０で割る」というのは、「1/０をかける」ことと同じです。
ここで1/0というのは定義から「０にかけると１になるような数」ということになります。
しかし０に何をかけても０なので、そのような数は存在しません。つまり、０で割るという操作をすることが出来ません。
つまり、「０に逆数が存在しないため」というのが抽象代数学の公理から導かれる理由です。
他の公理を採用すれば、冒頭でも述べたように、違う理由や結論が導かれる事でしょう。
＞＞「そう定義されてるから」以外に答えようがない！！以上。
答えようがないのはあなたの知識がないせいだよ。
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fra********さん
2010/1/30 17:21
数字の中で０というのは特殊な数で、数字が出来てから暫くしてから出来たものと言われています。
現代でも数に関する定義というのは２つに分かれていて、
１つは量を表すものというもので、これはある基準を設けるとそれがいくつできるかということで定義したものです。
簡単に言えば樽の水を計るのにコップ何杯分？と問いかけているようなものです。
２つ目は順番を表しているという考え方で、簡単に言えば数直線を書いてある位置のものには○という数（名前、呼び方）を与えているようなものです。
そして、前者で四則計算をするなら上記の樽とコップの水の関係を想像すればなんとなくわかると思いますが、
割り算の場合、a÷b＝cとすると
aリットル入っている樽の水はbリットル入るコップ何杯分かという意味になります。
すると１リットル入っている樽の水は０リットルはいるコップ何杯分ですか？という意味になります。
上記の問題の答えを考えると答えがないということになります。
後者の場合は割り算は表現しにくいのですがほぼ同様の考えでいくと
１時間に数直線上の０～０まで移動した人が０から１まで移動するのにかかる時間は何時間かと問いかけているようなものです。
ｑｅｄ２００３２０００さん
2010/1/30 16:31
「そう定義されてるから」以外に答えようがない！！以上。
sio********さん
2010/1/31 0:13（編集あり）
0で割れない理由／osakatokyonagoyahirosimaakitaさんの質問番号103601711への回答
まず、割り算の定義は、掛け算の逆です。つまり、
a×b = c のとき、a = c÷b 、b = c÷a と定義します。
いま、b = 0 とします。すると、
a×0 = 0
ですから、c = 0 です。まずこの段階で、0÷0はあったとしても、0でない数÷0は「そういう状況自体が元々存在しない」ことがわかります。
次に、元の定義に戻り、0÷0＝a とします。いま、aとは異なる数dをもってきて、d×0＝0 とすると、0÷0＝d となります。このように、0÷0の答としては、「すべての実数」にその可能性があります（複素数でもいい）。
たとえば、0・x = 0 という方程式があるとき、その解は「xはすべての実数」です。したがって、0÷0は「数」ではなく、「実数全体の集合」だということになります。もし「0÷0」を数として扱ってしまうと、次のような不都合が起こります。
1 = 0÷0 = 2 ∴1=2
上のように書くと、そんなバカな、とすぐ気づきますが、有名な次の「証明」のように書かれるとすぐわからないかもしれません。
４行目から５行目にかけて0÷0をしています。
a = b
a^2 = ab
a^2 - b^2 = ab - b^2
(a - b)(a + b) = a(a - b)
a + b = a
2a = a
2 = 1
（補足について）
0で割ることを許すということは、「成立している等式の両辺に同じ操作をしてできる等式もまた成立する」というありがたい計算手段を捨てることを意味しますので、今まで積み重ねている豊かな世界を失うことになります。
数学では、自由に公理を定めてそれぞれの世界を構築することが許されるので、その「反論」のような数学世界を作ってもかまいません。たとえば、0:0は認めないが 1:0 というのを比として扱うことで射影幾何学のような理論ができます。
あと、さらに議論を続けたかったら、その補足の部分をもとに新しい質問として投稿してみたらどうでしょうか。
nak********さん
2010/1/30 16:17
仮に、ある数Xを0で割ってみましょう。
X÷0＝？
まず、Xが0でないとすると、
6÷2＝3 → 3×2＝6
のように上の式をすると、
X÷0＝？ → ？×0＝X
となり、0をかけた数が0でないことになり、矛盾します。
ではXが0だとすると、
0÷0＝？ → ？×0＝0
となり、？がいくらの場合でも成り立ちます。
数学の場合、実数における加減乗除の解は1通り、という説明が成り立つので、上はこれに矛盾します。
よって、0で割るとこのような矛盾が出てくるので、0で割ることを考えないことにしたのです。
0で割れない理由は調べると色々ありましたが、大学数学的に証明するとどうなるのですか？
ベストアンサー
りらっくまいめろさん
2012/1/14 23:34
関数として考えて、連続性かどうかを調べると分かりやすいかなと思います。
f(x)=a/x (aは0で無いすべての実数）とします。
0でわるということは、xが0になるということなので、
lim[x→0]f(x)=f(0)が成立すれば、f(x)は0の点で連続であり、値が存在すると言えます。
ここで、反比例のグラフを思い出してください。
a>0のとき、
lim[x→+0]f(x)=+∞
lim[x→-0]f(x)=-∞
で、片側極限の発散先が違います。
（a<0の場合は、逆になります）
従って、x=0でf(x)は連続でない。
すなわち、0でないすべての実数において、0でわることができない。
となります。
これは、高校理系レベルです。大学数学的に証明すればこの極限をlimでなく、εδ論法を使って証明すればいいと思います。
ちなみに、aが0でないとした理由ですが、0/0は不定形と呼ばれる特殊な状態だからです。
質問者からのお礼コメント
大学数学的なやり方も書いてくれているので、ベストアンサーにします。みなさんありがとうございました。
お礼日時：2012/1/21 9:46
その他の回答（4件）
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ID非表示さん
2012/1/14 23:45
a(≠0)に対してa÷0=bならa=0*b=0。
∴矛盾するからa(≠0)に対してa÷0=bなるbは存在しない。
関数で考えるのではなく代数学の基礎です。famousな練習問題。
ID非表示さん
2012/1/14 23:34（編集あり）
零元に逆元が存在しないことを言えばいいのかな？
零元とは ∀a ; a・z = z・a = z となるような z の事です（つまり0）．
aの逆元とは a・b = b・a = e を満たすようなbの事です（つまり 1/a）．
ここで，eは乗法の単位元，すなわち ∀a ; a・e = e・a = a となるeのことです（つまり1）．
さて，零元 z の逆元 z' は存在するならば z・z' = z'・z = e を満たします．
一方，zは零元なので ∀a ; a・z = z・a = z が成り立ちます．
これはz'とて例外ではなく， z'・z = z・z' = z です．
よって，仮に零元 z に逆元 z' が存在したとすると
z・z' = z'・z = e
z'・z = z・z' = z
が同時に成り立ちます．ここから結論されるのは e = z です．
実数において，零元zは 0 のみであり，乗法の単位元eは 1 のみです．
よって， e = z は 0 ≠ 1 と矛盾します．
このことから，実数においては零元には逆元が存在しないことが言えます．
同時に，もし零元に逆元が存在するような数体系が作れるとしたら，e = z が成り立つことも言えます．
これは，「要素が 0 しか存在しない集合」に以下のような加法・乗法を定める場合等に実現しますが…
0+0 = 0
0・0 = 0
「数字が 0 しか存在しない数体系」 って，考えてもあまりうれしくありませんね．
red********さん
2012/1/14 23:32
連続性が保たれていない、というのもありますね。
大学レベルとは言えないので申し訳ないのですが（高校レベル？）、小学生の息子に説明した３つの理由のうちの一つです。
たとえば６÷２の場合、２を、２より大きい数から２に近づけていくと、答えは３に近づきます。
（６÷３＝２、６÷２．５＝２．４、６÷２．１＝２．８５７・・・、６÷2.01＝2.985・・・、６÷2.00001＝2.99999・・・のように）
これは、２より小さい数から２に近づけても、答えは３に近づきます。
ところが同じことを１÷０でやると、０より大きい数から０に近づけると、答えは＋∞になります。
しかし０より小さい数から０に近づけると、答えは－∞になってしまいます。
ちょうどタンジェントカーブに似てますね。
bea********さん
2012/1/14 22:59
大学数学的に と言われると 分かりませんが、私は
Ａ÷Ｂ＝Ｃ の時 Ｂ×Ｃ＝Ａ と なりますが、Ｂが０の時は Ａ÷０＝Ｃ、０×Ｃ≠Ａ だから、と 教わりました。
小学校教師「18÷0=0です！」→親激怒
https://alfalfalfa.com/articles/10659735.html
小学生の母親さん「娘の宿題見てたけどこの問題の答えが分からない...」
http://blog.livedoor.jp/kinisoku/archives/5532356.html
59：名無し募集中。。。 ：2024/06/18(火) 12:23:21.650
10÷1は10
10÷0.1は100
10÷0.01は1000
10÷0.001は10000
72：名無し募集中。。。 ：2024/06/18(火) 12:29:08.200
>>59
こういう考え方すると
「解なし」より「∞」が正しい気もする
73：名無し募集中。。。 ：2024/06/18(火) 12:30:45.860
>>72
0.0000000000000000000000000000…………1は∞だけど0は解なしなんだよね
127：名無し募集中。。。 ：2024/06/18(火) 17:44:27.660
割り算で分母が０はやってはいけないので
答え無しが正解
61：名無し募集中。。。 ：2024/06/18(火) 12:25:22.330
無限
な
１８÷０＝？ 「こたえなし」は不正解、とある小学校の宿題、みなさんならどうこたえる？
文学的解釈を持ち込んで強引に数値を入れるとしても ＝０ じゃなくて ≒ ∞ じゃないかな
それも入れるなって話ですが
math
@makaya_t_math
@charlow_illust 0 では割れませんが、0 に近づくとこうなりますね。
18÷1 = 18
18÷0.1 = 180
18÷0.01 = 1800
18÷0.001 = 18000
18÷0.0001 = 180000
18÷0.00001 = 1800000
...
2024-06-17 9:38:22
荒崎まな○◎花丸💮の世界へ
@arasakimana
@charlow_illust 0って1/lim∞なので
0で割ると∞になるという考え方も出来るかと
2024-06-17 19:14:10
🍍ビットマンTV🍍/Crypto Mafia
@bitmanTV
@charlow_illust 何度も言うが『解なし』な😂
俺の数学人生賭けてもいい
関数上でも『答えなし』な
『0』と『存在せず』は全くの別物
整数に0が入ってるだろ？つまり0も数の1つ
『存在しないから0だ』とかふざけた事言うなら、数学界と言うより
『数千年の数の歴史vs小学校の1教師』
ハイパーな構図が完成するぞ😑 pic.twitter.com/BH3FCkSn8n
🍍ビットマンTV🍍/Crypto Mafia @bitmanTV
@charlow_illust 定義なんて言っても小学生は分からんわな😑
⑤0個のケーキを8人で分けたら？
→もともと無いんやから0
⑥18個のケーキを0人で分けたら？
→分ける人いないから答えなし
割り算は分け算やからな(割合算)
https://togetter.com/li/2386643
https://togetter.com/li/2386643?page=2
18÷0=｢0｣は間違い？東大生が教える納得の解答
難しい知識がなくても理解できる｢関数の極限｣
https://toyokeizai.net/articles/-/769970?page=1
https://toyokeizai.net/articles/-/769970?page=2
https://toyokeizai.net/articles/-/769970?page=3
https://toyokeizai.net/articles/-/769970?page=4
5分でわかる！極限（limit）について(１)
https://zennoueighteen.blog.fc2.com/blog-entry-124.html?sp