0で割るとはどういうこと？

０という数の発見は数学史に大きな影響を与えた出来事であると同時に，様々な厄介ごとが生まれる結果ともなりました。

０の性質はいろいろありますが，その中の１つに，

「なにと掛け算をしても答えは０」

というものがあります。

０は何倍したって０だし，どんな数を０倍しても０である，という，小学生でも知っている性質です。

しかし，この分かりやすくて簡単な性質のお陰で，私たちは大いに苦しむことになってしまうのです。

問題です。

「０÷３」

の答えはいくらでしょう？

もちろん，０に決まっています。お菓子が全く何もないのだから，それを３人で分けても，何もない状態のまま，なんていう説明が出来ますね。

では，「３÷０」はいくらでしょうか？

「そんなもの，０に決まってるじゃないか！」

と，簡単に片付けようとしたそこのあなた！

事はそう簡単な話ではないのです。

実はこの答え，０ではないのです。

考えてみてください。３つのお菓子があって，それを「０人で分ける」というのはいったいどういうことなのか。

あるいは，３つのお菓子を，「０個ずつに分ける」というのはどういうことなのか。

０を含んだ割り算の中には，０が持つ底知れぬ恐ろしさが隠れ潜んでいるのです。

「３÷０」の答え，０でなければいったいいくらなんだ？　と気になられるでしょうが，このような説明をしてみましょう。

例えば６÷３の答えは，次の式の（　）の中の数と同じです。

　３×（　）＝６

（　）の中に入る数は２ですから，６÷３の答えは２です。

２７÷３の答えは，

　３×（　）＝２７

の（　）の中に入る数と同じです。つまり，答えは９です。

Ａ÷Ｂという割り算の答えが知りたければ，Ｂ×（　）＝Ａという式を作り，（　）の中に何が入るか考えればよいことになりますね。

０÷３の答えは，３×（　）＝０という式を考えれば，０だとすぐ分かります。

では，問題の「３÷０」の場合はどうなるでしょうか。

この答えは，「０×（　）＝３」という式を考えれば分かるはずなのですが・・・

・・・そうです。気付いていただけたでしょうか？

そんな数などない！ということに。

０に何をかけたって，答えは０になるはずです。３になることは絶対にありません。

つまり，「０×（　）＝３」に当てはまる数など，この世にはありません。

ということで，３÷０の答えは，「ない」_*1 というのが正解になります。

０の入った割り算では，

　① 割られる数が０なら，答えは０
② 割る数が０なら，答えはない_*1

という，奇妙な現象が起こることになるわけですが，では，この場合はどうなるのでしょう？

「０÷０」

「もう付き合ってられるか！」

なんて読者の方が離れていく姿が目に浮かびますが，もう少しお付き合いください。(笑)　今度はちゃんと答えがありますから。

さて，これも先ほどのように，式を使って考えてみることにしましょう。

０÷０の答えは，次の式の（　）に入る数と同じになります。

　０×（　）＝０

さあ，答えは何でしょうか？

「・・・何でもいいのでは？？？」

と思ったあなた。大正解。答えは「どんな数でもよい」となります。_*2

つまり，

　０÷０＝６
０÷０＝１００
０÷０＝－７

などなど，全て正解ということになる_*2わけです。

以上，

　　Ａ÷０（ただし，Ａは０以外）・・・答えなし
０÷０・・・何でも良い

ということを説明してきました_*1*2が，どうもすっきりしないなァ，と思ってらっしゃる方も多いのではないでしょうか？

理屈の上では分かるんだけれども，感覚的にピンとこないというか。

そこで，小学生でも分かるような(多分・・・)説明をご用意しました。

【３÷０に答えがない理由】_*1

３個のケーキを０個ずつに分けるということは，３個のケーキを目にも見えないくらい小さなサイズにみじん切りにするということだ。だから，いくつに分割できたかなんて，多すぎて数えられない_*1。

【０÷０の答えが何でもよい理由】_*2

目に見えないくらい小さな，ホコリのようなケーキのかけらがある。０を０で割るということは，このかけらを更に目に見えないくらいのサイズに分けるということだ。どうせ既に目に見えない位小さいのだから，この後これを２つに分けようが，３つに分けようが，１００個に分けようが，見えないことに変わりはない。

どうでしょうか？　ちょっとこじつけに近い説明ですかね？

高校で理系分野に進む人は，「数学３」という教科を学習するはずです。その中で，「極限」という分野を学べば，今回の話は納得がいくと思います。実は上に挙げた２つの(こじつけのような)説明も，極限という分野で高校生が大真面目に学習する内容を，噛み砕いて表現したものです。

高校生とか，理系とか，極限とか，何だか話のレベルが飛躍して驚いた方もいるかも知れませんが，０で何かを割る，ということは，それくらい深くて厄介な話なのです。

もう満腹，という方もいらっしゃるでしょうが，０は厄介だよ，という話をもう一つ。

「２」を２回掛け算すると，２×２で「４」になりますね。

「２」を３回掛け算すると，２×２×２で「８」。

「２」を６回掛け算すると，ちょっと計算が大変ですが，答えは「６４」

「２」を１回掛け算すると，式がただの　２　となって，答えは「２」

では，「２」を０回掛け算するといくらになるでしょう？

お怒りの声が聞こえる前に，退散することに致します。

注釈
*1　代数的には「a÷０」の解は存在しない，でよいのですが，０を「限りなく絶対値が0に近い数」と考えると，疑似的に解を想定することができます。すなわち，「ｘ→０のとき，a÷ｘ→？」という，極限の考え方です。限りなく0に近い数を「疑似的に」０と書かせてもらうならば，「a÷０＝∞」と考えることができ，解析的には解と見做せないこともありません。本文中に「多すぎて数えられない」と記載したのは，これを意識したものです。

*2　上記と同じく，代数的には「０÷０」の解は存在しませんが，この０を「限りなく0に近い数」と考えるとどうなるか，という発想で本文では話をしています。つまり，「ｘ→０かつｙ→０のとき，ｘ÷ｙ→？」という考え方です。
この極限は，いわゆる「不定形」と呼ばれる形式になり，解が確定しません。例えば
ｘ÷ｘ²→∞　　　４ｘ³÷２ｘ＝０　　　６ｘ÷ｘ→６

　　１００ｘ²÷ｘ²＝１００　　　－７ｘ⁵÷ｘ⁵＝－７
のような具合です。割る数と割られる数が，どのような振る舞いで0に近づくかによって，極限は変わってきます。表現を変えれば，「0に近づくもの÷0に近づくもの」の極限は，一般にどんな値になるか分かりません。このことをもって，本文では「０÷０の答えは何でもよい」と書かせていただきました。

文末の「例え話」をもって，極限の考え方で解釈しているという意図が伝わるかと思っておりましたが，*1　と*2で代数・解析的な解釈を混在して記載してしまったため，数学的に飛躍のある，整合性のない表現となってしまいました。申し訳ありません。