Solucion Nicholson 3,4,5, Ejercicios de Microeconomía

¡Descarga Solucion Nicholson 3,4,5 y más Ejercicios en PDF de Microeconomía solo en Docsity! “AÑO DE LA UNIVERSALIZACIÓN DE LA SALUD” UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FACULTAD DE ECONOMÍA CURSO: Microeconomía I SEMESTRE: IV “B” APELLIDOS Y NOMBRES: QUISPE DE LA CRUZ, Juan Marcos. TAREA: Ejercicios del libro Teoría microeconómica de Walter Nicholson, 9na Edición. (Caps: 4, 5 y 6) FECHA DE ENTREGA: 28/07/2020 22 ÍNDICE CAPÍTULO IV:......................................................................................................................................4 4.1..................................................................................................................................................4 4.2..................................................................................................................................................6 4.3..................................................................................................................................................8 4.4..................................................................................................................................................9 4.5................................................................................................................................................10 4.6................................................................................................................................................12 4.7................................................................................................................................................14 4.8................................................................................................................................................18 4.9................................................................................................................................................21 4.10..............................................................................................................................................23 CAPÍTULO V:.....................................................................................................................................25 5.1................................................................................................................................................25 5.2................................................................................................................................................26 5.3................................................................................................................................................30 5.4................................................................................................................................................30 5.5................................................................................................................................................31 5.6................................................................................................................................................34 5.7................................................................................................................................................36 5.8................................................................................................................................................37 5.9................................................................................................................................................38 5.10..............................................................................................................................................40 CAPÍTULO VI:....................................................................................................................................41 6.1................................................................................................................................................41 6.2................................................................................................................................................42 6.3................................................................................................................................................44 6.4................................................................................................................................................46 6.5................................................................................................................................................47 6.6................................................................................................................................................48 6.7................................................................................................................................................50 6.8................................................................................................................................................50 6.9................................................................................................................................................51 22 b. Si el colegio trata de que los niños no consuman Twinkies y aumenta su precio a $0.40, ¿cuánto dinero más tendrá la madre que darle a Pablo para que conserve el mismo nivel de utilidad que tenía en el inciso a? Sabiendo qué: s=2; t=5→u=√5×2=√10 ; m=(0.40 )t+ (0.25 ) s Se tiene la nueva relación de, cuando el precio de los Twinkies es de 0.40: 5√s 4 √t = 2√t √s → t s = 5 8 →t= 5 s 8 Reemplazamos t en: √10=√ts→10=ts 10=( 5 s8 )s s=4→t= 5 2 =2.5 Reemplazamos en: m=(0.40 )(2.5)+ (0.25 )(4 ) m=2 La mamá de pablo debe darle 2 dólares, para que este pueda mantener su misma utilidad, a pesar del incremento en el precio de los Twinkies. 22 4.2. a. Un joven, amante de los buenos vinos, tiene $300 que gastará para tener una pequeña bodega. Le gustan dos en particular: un caro Bordeaux francés de 1997 (wF) que cuesta $20 por botella y un vino californiano, más barato, de 1993 (wC) que cuesta $4. ¿Cuántas botellas de cada tipo debe comprar si su utilidad está dada por la siguiente función? U (w f ,w c)=w f 2 /3w c 1 /3 ;m=300=20 (w f )+4(wc ) Aplicamos Lagrange: L :w f 2/3wc 1/3 +λ [300−20 (w f )−4 (w c)] Aplicando derivadas parciales: ∂ L ∂w f = 2 3 w f −1 /3w c 1 /3 −λ(20)=0… (i ) ∂ L ∂wc = 1 3 w f 2 /3w c −2/3 −λ (4)=0… ( ii ) ∂L ∂λ =300−20 (w f )−4 (wc)=0… ( iii) Despejando λ , e igualando las ecuaciones (i) y (ii): 1 30 w f −1/3w c 1/3 = 1 12 w f 2/3wc −2 /3 Se obtiene la relación de: wc w f = 5k 2k Reemplazamos en la R.P.: 300=20 (2k )+4 (5k )→k=5 Entonces como k=5, se obtiene la canasta optima con:w f =10 ;wc=25 22 b. Cuando acude a la vinatería, el joven enólogo descubre que el precio del Bordeaux francés ha disminuido a $10 la botella debido a que el valor del franco francés ha disminuido también. Si el precio del vino californiano permanece estable a $4 por botella, ¿nuestro amigo cuántas botellas de cada vino debe comprar para maximizar su utilidad en estas nuevas condiciones? Sabiendo que la R.P. sería, tras el cambio: 300=10 (w f )+4(wc) Obteniendo la siguiente relación: 1 15 w f −1/3wc 1/3 = 1 12 w f 2/3wc −2 /3 Se obtiene la relación de: wc w f = 5k 4 k Reemplazamos en la R.P.: 300=10 (4k )+4 (5k )→k=5 Entonces como k=5, se obtiene la nueva canasta optima con:w f =20 ;wc=25 El consumo del vino francés incrementa en 10 unidades, comprando ahora 20 botellas de este vino. Por otro lado, el consumo del vino californiano se mantiene dado que no hubo variación. c. Explique por qué este amante de los vinos está en mejor posición en el inciso b que en el inciso a. ¿Usted cómo asignaría un valor monetario a este incremento de su utilidad? 22 b. Dibuje la curva de indiferencia del Sr. B y su punto de tangencia dada la restricción de su presupuesto. ¿Qué dice la gráfica sobre el comportamiento del Sr. B? ¿Ha encontrado usted un auténtico máximo?  No vendría a ser un máximo dado que la curva o la función de utilidad pertenece a una circunferencia, lo cual implica qué no es un comportamiento normal de una curva de indiferencia dado que la TMS al ver la gráfica es decreciente.  Bueno, podemos decir que encontramos un mínimo, vendría a ser máxima si el sujeto, consumiría todo de un solo bien. 4.5 El Sr. A obtiene utilidad de los martinis (m) en función de la cantidad que bebe: U (m )=m Sin embargo, el Sr. A es muy quisquilloso con sus martinis: sólo le gustan los preparados con una proporción exacta de dos partes de ginebra (g) y una de vermouth (v). Por tanto, podemos volver a escribir la función de utilidad del Sr. A como U (m )=U (g , v )=mín( g 2 , v ) a. Dibuje la curva de indiferencia del Sr. A en términos de g y v para diversos niveles de utilidad. Muestre que, independientemente de los precios de los dos ingredientes, el Sr. A nunca alterará la forma en que mezcla los martinis. g=2v g v 22 b. Calcule las funciones de demanda de g y v. Ya que: g=2v, asumiendo la RP: 2 pg v+ pvv=m v= m 2 pg+ pv Reemplazamos en g: g=2( m 2 pg+ pv ) c. Partiendo de los resultados del inciso b, ¿cuál es la función de utilidad indirecta del Sr. A? Como la utilidad es: U= g 2 ≡U=v Entonces la utilidad indirecta es: V= m 2 pg+ pv d. Calcule la función gasto del Sr. A y, para cada nivel de utilidad, muestre el gasto como una función de pg y pv. Pista: Dado que este problema implica una función de utilidad de proporciones fijas, usted no podrá utilizar el cálculo para resolver las decisiones que maximizan la utilidad Entonces: Como la función de ingresos es igual a la ecuación de gastos: 2 pg v+ pvv=m=c 22 ∴v (2 pg+ pv )=c4.6. Suponga que un adicto a la comida rápida obtiene utilidad de tres bienes: bebidas (x), hamburguesas (y), y helados (z) de acuerdo con la función de utilidad Cobb-Douglas U ( x , y , x )=x0.5 y0.5 (1+ z)0.5 Suponga también que los precios de estos bienes están dados por px=0.25 ; p y=1 ; pz=2 y que los ingresos de este consumidor están dados por I = 2. a. Demuestre que para z=0, la maximización de la utilidad da por resultado las mismas elecciones óptimas que el ejemplo 4.1. Demuestre también que una elección que dé por resultado z>0 (incluso una fracción de z) reduce la utilidad respecto a este óptimo.  Si: z=0 Usamos Lagrange: L : x0.5 y0.5+ λ [2−0.25 x− y ] Aplicando derivadas parciales: ∂L ∂ x =0.5x−0.5 y0.5−λ0.25=0… (i ) ∂ L ∂ y =0.5x0.5 y−0.5−λ=0… (ii ) ∂L ∂λ =2−0.25 x− y=0… ( iii ) Despejando λ , e igualando las ecuaciones (i) y (ii): 2√ y √ x = √ x 2√ y → x y = 4 k 1k Reemplazamos en la RP: [2=0.25(4 k )+(k )] →k=1 Entonces: x=4 ; y=1 (z=0) U=2×1×(0+1)0.5 U=2  Si: z=1 I=2=x (0.25 )+ y+z (2) Reemplazamos z=1, en la función de ingreso: 2=x (0.25 )+ y+1(2)… Ahí Z estaría gastando todo, por lo cual X e Y son igual a cero, y la utilidad también. 22 La canasta óptima se da en: x= mα p1 y y= m(1−α) p2 Hallando la utilidad indirecta: Sabiendo qué: u ( x ; y )=xα y1−α ;m=( p1 x+p2 y ) Con los óptimos marshallianos: x= mα p1 ; y= m(1−α) p2 Reemplazamos x1 y x2 en la función de utilidad: u ( x; y )=V=( mα p1 ) α ( m(1−α) p2 ) 1−α V=m( αp1 ) α ( 1−αp2 ) 1−α b. Calcule la función gasto para este caso. Para hallar las demandas Hicksianas, necesitamos: u ( x , y )=Ú=xα y1−α ;m=gastomínimo=c=( p1 x+p2 y ) Aplicando Lagrange al gasto mínimo sujeto a la utilidad fija: L : p1 x+p2 y−λ(x α y1−α−Ú) Derivando Parcialmente: ∂L ∂x1 =p1−λα (x α−1 y1−α)=0… (i ) ∂L ∂x1 =p2− λ(1−α )(x α y−α)=0… ( ii ) ∂L ∂λ =m−p1 x− p2 y=0… (iii ) Igualando la ecuación (i) y (ii), luego de despejar λ: p1 α( xα−1 y1−α) = p2 (1−α)(xα y−α) Despejando x1: 22 x= p2 y α p1(1−α ) …(iv) Reemplazamos x1 en U: Ú=( p2 y α p1(1−α ) ) α y1−α Despejando x2, después de resolver U: y=Ú ( p1(1−α ) α p2 ) α …(v )…demanda Hicksianadel bien y Reemplazamos (v) en (iv): x= p2(Ú ( p1(1−α) α p2 ) α )α p1(1−α) x=Ú ( p2 p1 × α 1−α ) 1−α … (vi ) …demanda Hicksianadel bien x Hallando la función de coste: Sabiendo qué: m=( p1 x+ p2 y ) Y las demandas hicksianas son: y=Ú ( p1(1−α) α p2 ) α x=Ú ( p2 p1 × α (1−α) ) 1−α Reemplazamos en la función de costo: c=( p1(Ú ( p2 p1 × α (1−α )) 1−α )+ p2(Ú ( p1(1−α ) α p2 ) α )) c=Ú ( p1 α p2 1−α αα (1−α )1−α ) 22 Si: α=0.5 c=Ú ( p1 0.5 p2 0.5 0.50.5 (0.5 )0.5 )=Ú ( p1 0.5 p2 0.5 0.5 ) c. Demuestre, explícitamente, la forma en que la compensación requerida para equilibrar el efecto de un aumento del precio de x está relacionada con el tamaño del exponenteα . 22 Función de utilidad (4.4): U ( x , y )=√x2+ y2 (b) Función de gasto: c=Ú px α py 1−α α α (1−α ) 1−α Cuando α=0.3 c=Ú px α py 1−α α α (1−α ) 1−α c=Ú .0 .5428 . px 0.3 p y 0.7 px=1 py=4 U 0=2;U 1=3 Reemplazando: c=Ú .0 .5428 .P x 0.3P y 0.7 c ( p ,U )=2.0 .5428. (4)0.3 (1)0.7 c ( p ,U )=1.6454 c ( p ,U )=3.0 .5428. (4)0.3(1)0.7 c ( p ,U )=2.0589 (c) La demanda ordinaria: X= αm px = 3 10 m px ;Y= (1−α)m p y = 7 10 m px Inicia con U=2: x px+ y p y=m x= 3×8 10(1) =2.4 ; y= 7×8 10(4) =1.4 2.4 (1 )+1.4 (4 )=8 Finaliza con U=3: 22 x= 3 x8 10(P x) ; y= 7 x8 10(4) =1.4 U ( x , y )=x0.3 y0.7 3=x0.3(1.4)0.7 x=17.75 p=0.225 17.75 (0.225 )+1(4)=8 (1−0.225 )2.4=subsidio 1.86=subsidio e. ¿Cómo habrían cambiado sus cálculos para este problema si, hubiéramos utilizado la función gasto, en cambio, para un caso de proporciones fijas (ecuación 4.54)? Función gasto (4.54): c ( p ,U )=( px+0.25 py )U Dado los precios: px=1; p y=4 ;U=4 c ( p ,U )=(1+(0.25×4 ) )4 c ( p ,U )=8 4.9. La función de utilidad con ESC general está dada por U ( x , y )= xδ δ + yδ δ a. Demuestre que la condición de primer orden para una utilidad máxima con restricción con esta función exige que los individuos elijan los bienes en la proporción x y =( px py ) 1 δ−1 Solución: 22 TMS= ∂U ∂x ∂U ∂ y = xδ−1 yδ−1 =( xy ) δ−1 Igualamos con la relación de precios: ( xy ) δ−1 = px py Obteniendo: x y =( px py ) 1 δ−1 b. Demuestre que el resultado del inciso a implica que los individuos asignarán sus fondos a partes iguales entre X e Y, y en el caso Cobb-Douglas (δ=0), tal como hemos demostrado antes en varios problemas. Si: δ=0 Entonces reemplazamos en el TMS del inciso a: x y =( px py ) 1 0−1 x y = py px → px x=py y Por lo tanto, el gasto en X es igual al gasto en Y. c. ¿La proporción px x / p y y cómo depende del valor de δ? Explique sus resultados basándose en la intuición. (Para más detalles sobre esta función, véase la ampliación A4.3.) Sabiendo qué: px x p y y = px px ( px p y ) 1 δ−1 =( px p y ) 1 δ−1 Para: 0<δ<1 ; px px >1→( px p y ) 1 δ−1 = px x p y y >1 Para: 0<δ ; px px >1→( px p y ) 1 δ−1 = px x py y >1 Concluyendo que cuanto δ tenga un valor mucho más menor, existirá menos elasticidad de sustitución. 22 CAPÍTULO V: 5.1. Ed “el sediento” sólo bebe agua mineral, pero la puede comprar en botellas de dos tamaños: una de 0.75 litros u otra de 2 litros. Dado que el agua es inherentemente idéntica, considera que estos dos “bienes” son sustitutos perfectos. a. Suponiendo que la utilidad de Ed sólo depende de la cantidad de agua que consume y que las botellas no producen utilidad alguna, exprese esta función de utilidad en términos de cantidades de botellas de 0.75 litros (x) y de 2 litros (y). U ( x , y )=0.75 x+2 y b. Exprese la función de demanda de x que tiene Ed en términos de px, py e I. TMS= 0.75 2 = 3 8 Si: 3 8 > px py → py 3 8 > pxentonces : x= m px ; y=0 Si: 3 8 < px py → py 3 8 > pxentonces : x=0 ; y= m p y Si: 3 8 = px p y →entonces: 0<x< m px c. Trace la curva de demanda de x, manteniendo constantes I y py. 22 d. ¿Los cambios de I y de py cómo desplazan la curva de la demanda de x? Si: x= I 3/8 py Si ocurren cambios en I o en Py, la curva estaría siendo afectada y tendría que moverse: Si I cambia, presenta movimientos de derecha o izquierda, pero si Py presenta cambios, la curva hiperbólica se moverá hacia arriba o abajo. e. ¿Qué forma tendría la curva de demanda compensada de x en esta situación? Se sabe que: m= px x+ py y s . aU ( x , y )=0.75 x+2 y Obteniendo: y= U−0.75 x 2 Reemplazando: m= px x+ py (U−0.75x2 ) x= 2m−py U 2 px−0.75 py 5.2. Cada semana, David N., recibe $3 para gastarlos como quiera. Dado que sólo le gustan los sandwiches de mantequilla de cacahuete y mermelada, se gasta toda esta cantidad en mantequilla de cacahuate (a $0.05 la onza) y mermelada (a $0.10 la onza). Un vecino amable le regala el pan sin cargo alguno. David es muy especial para comer y hace sus sandwiches exactamente con una onza de mermelada y dos onzas de mantequilla de cacahuate. Es de ideas fijas y nunca cambia estas proporciones. a. ¿Cuánta mantequilla y mermelada comprará David por semana con sus $3? RP : 0.05 c+0.1e=3 c=2e Multiplicando x100 a la RP: 5c+10e=300 c+2e=60 Reemplazamos la relación: 2e+2e=60 e=15→c=30 22 b. Suponga que el precio de la mermelada aumenta a $0.15 la onza. ¿Cuánto comprará de cada bien? pe=0.15 ;c=2e 0.05c+0.15 e=3 Multiplicando x100 a la RP: 5c+15e=300 5(2e)+15e=300 25e=300 e=12→c=24 c. ¿Cuánto tendría que aumentar la paga de David para compensar el incremento del precio de la mermelada que establece el inciso anterior? Para continuar consumiendo e=15 y c=20 David necesitaría comprar onza de mermelada más y 6 onzas más de mantequilla de cacahuate Por lo tanto: 3 (0.15 )+6 (0.05 )=0.75 El nuevo ingreso sería de 3.75 d. Elabore una gráfica de los resultados que haya obtenido en los incisos anteriores. e. Este problema, ¿en qué sentido implica un solo bien: o sea sandwiches de mantequilla de cacahuate y mermelada? Trace la curva de la demanda de este único bien. psandwiches=2 pc+ pe (a) psandwiches=2 (0.05 )+(0.10 )=0.20 (b) e c3024 12 15 22 5.3. Como definimos en el capítulo 3, una función de utilidad es homotética si una línea recta que parta del punto de origen corta todas las curvas de indiferencia en puntos que tienen la misma pendiente; es decir, la TMS depende de la proporción de y/x. a. Demuestre que, en este caso, ∂x ∂ I es constante. b. Demuestre que, si un mapa de curvas homotéticas de indiferencia representa los gustos de un individuo, entonces el precio y la cantidad se deben mover en direcciones opuestas; es decir, demuestre que la paradoja de Giffen no puede ocurrir. 5.4. Como en el ejemplo 5.1, suponga que la utilidad está determinada por utilidad=U ( x , y )=x0.3 y0.7 a. Utilice las funciones de demanda sin compensar del ejemplo 5.1 para calcular la función de utilidad indirecta y la función de gasto para este caso. TMS= 3 y 7 x = px py x= 3 y p y 7 px Reemplazamos en la RP: m= px ( 3 y py 7 px )+ py y y= 7m 10 py → x= 3m 10 px Reemplazamos en la utilidad: U=V=( 3m10 px ) 0.3 ( 7m10 p y ) 0.7 …Obteniendola funciondeutildiad indirecta . Para obtener la ecuación de costos necesitamos las demandas compensadas: La cual se obtiene cuando: m= px x+ py y s . aU ( x , y )=x 0.3 y0.7 Con esta condición, se opera con Lagrange, para obtener una relación para luego reemplazar en la utilidad, obteniendo las demandas compensadas: 22 x=U ( 3 py 7 px ) 0.7 ; y=U ( 7 px 3 p y ) 0.3 Reemplazamos: m=c=px x+ p y y c=px (U ( 3 py 7 px ) 0.7 )+ py(U ( 7 px 3 py ) 0.3 ) c=(1.84)(U ) px 0.3 p y 0.7 b. Utilice la función de gasto calculada en el inciso anterior y el lema de Shephard (nota 5 a pie de página) para calcular la función de demanda compensada para el bien x. x1 h = ∂c ∂ p1 ∂c ∂ px =U (0.39)(1.84) p y 0.7 px 0.7 x1 h =U ( 3 py 7 px ) 0.7 5.5. Suponga que la función de utilidad de los bienes x y y está determinada por utilidad=U ( x , y )=xy+ y a. Calcule las funciones de demanda sin compensar (marshallianas) de x y de y también describa cómo las desplazan los cambios de I o del precio del otro bien. u ( x ; y )=x( y+1) ;m=( px x+p y y ) Para hallar las canastas Marshallianas, aplicamos Lagrange: L : x( y+1)+λ (m−( px x+p y y )) Aplicando derivadas parciales: ∂L ∂ x =( y+1)−λ px=0… ( i ) ∂ L ∂ y =x−λ py=0… (ii ) 22 ∂L ∂λ =m−px x−p y y=0… ( iii ) Despejando λ , e igualando las ecuaciones (i) y (ii): ( y+1) px = x p y Despejamos x, y reemplazamos en la RP: m=px ( p y ( y+1) px )+ p y y y= m−p y 2 p y →x= m+p y 2 px b. Calcule la función de gasto de x y y. u ( x; y )=x( y+1) ;m=( px x+p y y ) Sabiendo que la relación es: ( y+1) px = x p y x= p y ( y+1) px Reemplazamos en la utilidad: u= p y( y+1) px ( y+1) y=√u× px py −1 Reemplazamos en x: x=√u× p y px Reemplazamos en la RP: m=c=( px (√u× p y px )+ p y (√u× px p y −1)) c=2√u p y−py 22 b. Demuestre que la elasticidad de la fracción del presupuesto para un bien, con relación a su precio propio (es x, px= ∂ sx ∂ px × px sx ) es igual a esx , I+1. De nueva cuenta, interprete este resultado con algunos ejemplos numéricos. Si: sx= px x I Entonces: esx , px= ∂ sx ∂ px × px sx = px ∂x ∂ px +x I × I x =esx , I+1 . c. Utilice los resultados del inciso anterior para demostrar que la “elasticidad gasto” del bien x con relación a su precio propio (ex . p x , px= ∂ (x . px ) ∂ (px ) × 1 x ) también es igual a ex , px+1. x= 1 1+p y α px −α ex . p x , px= ∂ (x . px ) ∂ (px ) × 1 x = α p y α px −α−1 (1+ p y α px −α ) 2 × px (1+ py α px −α )= α p y α px −α 1+ p y α px −α =ex , px+1 d. Demuestre que la elasticidad de la fracción del presupuesto para un bien, con relación a un cambio de precio de otro bien (esx , py= ∂ sx ∂ py × p y sx ) es igual a esx , py. esx , py= ∂( px x I ) ∂ py × py px x I = px ∂ x ∂ py I × py I px x = ∂ sx ∂ py × p y x =es x , p y 22 5.7. Suponga que una persona considera que el queso y el jamón son complementos puros; es decir que siempre utilizará una rebanada de jamón con una de queso para hacer un sandwich de jamón y queso. Suponga también que el jamón y el queso son los únicos bienes que adquiere la persona y que el pan es gratis. Demuestre: a. Que, si el precio del jamón es igual al precio del queso, entonces la elasticidad precio pro- pio de la demanda de jamón es –0.5 y la elasticidad precios cruzados de la demanda de jamón con relación al precio del queso también es –0.5. EpdJ= ∂ J ∂ pJ pJ J Si son complementarios: U=mín(J ,Q) Con la RP: M= pJ J+ pQQ Pero como son complementarias: J=Q M=pJ J+ pQ J=J ( pJ+ pQ) Siendo la demanda de J: J= M pJ+ pQ La elasticidad precio de la demanda sería: EpdJ= ∂ J ∂ pJ pJ J = −M ( pJ+pQ ) 2× pJ J Reemplazamos J: EpdJ= −M ( pJ+ pQ ) 2× pJ ( M pJ+ pQ ) EpdJ= −pJ pJ+ pQ Como pJ=pQ, reemplazamos: EpdJ= − pJ pJ+ pJ = −1 2 22 b. Explique por qué los resultados del inciso anterior tan sólo reflejan los efectos ingreso, pero no los efectos sustitución. ¿Cuáles son las elasticidades precio compensado en este problema? El inciso anterior indica que solo hay los efectos de ingresos y no los efectos sustitución porque cuando los bienes son complementarios perfectos se consumen en proporciones fijas. Esto quiere decir, un cambio en el precio relativo de los bienes no produce un corrimiento al largo de la curva de indiferencia sino un corrimiento hacia “arriba” o hacia “abajo” en la recta que marca las proporciones demandadas por el consumidor. Si los precios relativos cambiaran, pero el individuo fuera compensado monetariamente para mantenerse en la misma curva de indiferencia demandaría la misma cantidad relativa de ambos bienes. c. Utilice los resultados del inciso anterior para demostrar los cambios que registrarían sus respuestas al inciso a si el precio de una rebanada de jamón es el doble que él de una rebanada de queso. Sabiendo qué: EpdJ= − pJ pJ+ pQ Reemplazando por pJ=2 pQ EpdJ= −pJ pJ+ 1 2 p J = −2 3 EpdJ= ∂ J ∂ pJ pJ J = −M ( pJ+pQ ) 2× pJ J = −M ( pJ+pQ ) 2× pQ m pJ+ pQ = −pQ pJ+ pQ EpdJ= −pQ 3 pQ = −1 3 d. Explique cómo podría resolver este problema, por intuición, suponiendo que esta persona sólo consume un bien, o sea un sandwich de jamón y queso. Si esta persona consume solo sándwiches de jamón y queso, la elasticidad precio de la demanda de esos debe ser -1. La elasticidad del precio de los componentes refleja el efecto proporcional de un cambio en el precio del componente en el precio del conjunto sandwich. En la parte a, por ejemplo, un aumento del 20% en el precio del jamón aumentar el precio de un sándwich en un 10% y eso causará la cantidad demandada caer en un 5 por ciento. 5.8. El inciso e del problema 5.6 tiene varias aplicaciones muy útiles porque demuestra cómo las respuestas del precio dependen, al final de cuentas, de los parámetros fundamentales de la función de utilidad. En concreto, utilice ese resultado y la ecuación de Slutsky en términos de elasticidad para demostrar: 22 c. Agregación de Cournot: ∑ i=1 n s ie i , I=−si . ∂ I ∂ p j =0=p j ∙ ∂ x i ∂ p j +x i Multiplicamos por p j /I : 0=p j ∙ ∂ x i ∂ p j ( p j I ) xi xi +xi× p j I 0=s i ei , I+si 5.10. En un periodo de tres años, un individuo observa el siguiente comportamiento de consumo: px py x y Año 1 3 3 7 4 Año 2 4 2 6 6 Año 3 5 1 7 3 ¿Este comportamiento es congruente con el gran axioma de la preferencia revelada? E2≻E1 ; E1≻E3→E2≻E3 E1 E2 E3 22 CAPÍTULO VI: 6.1. Heidi obtiene utilidad de dos bienes, la leche de cabra (m) y el pastel de manzana (s), de acuerdo con la función de utilidad U (m ,s)=m∙s a. Demuestre que los incrementos en el precio de la leche de cabra no afectarán la cantidad de pastel de manzana que compra Heidi; es decir, demuestre que ∂ s ∂ pm =0. Sabiendo qué: ∂U ∂m pm = ∂U ∂ s ps s Pm = m P s s= m ps . pm Restricción presupuestaria: s ps+m pm=I Canasta optima: m= I 2 pm ;s= I 2 ps Derivando: ∂s ∂ pm ∂ I 2 ps ∂ pm ∂ s ∂ pm =0 b. Demuestre que ∂m ∂ ps =0. 22 m= I 2 pm Derivación cruzada: ∂m ∂ ps = ∂ I 2.Pm ∂ Ps ∂m ∂P s =0 c. Utilice la ecuación de Slutsky y la simetría de los efectos de sustitución netos para demostrar que los efectos ingreso de los incisos anteriores son idénticos. ∂ x i ∂ p j = ∂ x i ∂ p j −x j ∂ x i ∂ I ∂ x i ∂ p j =0−xs0 ∂ x i ∂ p j =0 d. Demuestre el inciso c utilizando explícitamente las funciones de demanda marshallianas para m y s. m= I 2.Pm ; s= I 2.P s Entonces: ∂m ∂P s =0 ∂ S ∂Pm =0 6.2. Blas “El Duro” sólo compra whisky barato y rosquillas con jalea para alimentarse. Blas piensa que el whisky barato es un bien inferior que exhibe la paradoja de Giffen, a pesar de que el whisky y las rosquillas son sustitutos hicksianos en el sentido habitual. Desarrolle una explicación intuitiva que sugiera por qué un incremento en el precio del whisky provoca que compre menos rosquillas. Es decir, que los bienes también deben ser complementos brutos. 22 ∂c ∂P t = ∂ m 2 pc ∂ pb =0 22 6.4. La Sra. Sarah Traveler no tiene automóvil y sólo se traslada en autobús, tren o avión. Su función de utilidad está determinada por utilidad=b ∙ t ∙ p y cada variable representa los kilómetros que recorre en cada uno de los medios de transporte. Suponga que la proporción del precio de los viajes en tren al de los del autobús (pt /pb) nunca cambia. a. ¿Cómo podríamos definir un bien agregado para el caso del transporte por tierra? ∂U ∂b pb = ∂U ∂ t pt = ∂U ∂ p pp P= I 3 pp ;b= I 3 pb ; t= I 3 pt Si: pg= b t Por lo tanto: P p p+b pb+t pt=I PP p+g pg=I g pg= 2 I 3 g= 2 I 3 pg b. Defina el problema de optimización de Sarah como uno que consiste en escoger entre transporte por tierra (g) o por aire (p). g= 2 I 3 pk ; P= I 3 pp 22 c. ¿Cuáles son las funciones de demanda de Sarah para g y p? Tierra: g= 2 I 3 Pk Aire: P= I 3 pp d. Una vez que Sarah ha decidido cuánto gastará en g, ¿cómo asignará ese gasto entre b y t? g= 2 I 3 Pg ;P= I 3 pp Obteniendo la relación de: g P = 2 pp Pg 6.5. Suponga que un individuo consume tres bienes, x1, x2 y x3, y que x2 y x3 son bienes parecidos (por ejemplo, comidas en restaurantes baratos y caros), siendo p2=k p3 donde k<1; es decir, los precios de los bienes tienen una relación constante entre sí. a. Demuestre que podemos considerar que x2 y x3 son un bien agregado. x1 p1+x2 p2+x3 p3=m x3 p3+x2 p2=xi pi Sabiendo: p2=k p3 Reemplazamos: x2 (k p3 )+ x3 p3=x i pi p3 (k x2+x3 )=xi pi 22 d. Es más probable que la gente intente encontrar gangas para comprar artículos caros que artículos baratos. (Nota: Las observaciones b y d establecen las bases para los misterios de asesinatos que podrían ser los únicos dos casos en los que los economistas llegan a resolver el crimen. Véase Marshall Jevons, Murder at the Margin y The Fatal Equilibrium.) El aumento de los costos de búsqueda reduce el precio relativo de los artículos caros. 6.7. Por lo general, los efectos cruzados de precios no compensados no son iguales. Es decir, ∂ x i ∂ p j ≠ ∂x j ∂ pi Utilice la ecuación de Slutsky para demostrar que estos efectos son iguales si el individuo gasta una fracción constante de sus ingresos en cada bien, independientemente de los precios relativos. (Se trata de una generalización del problema 6.1.) ∂x i ( p1 ,…, pn , I ) ∂ p j = ∂hi ∂ p j −x j ∂x i ∂ I x i ∂ x j ∂ I =x j ∂ x i ∂ I Existe simetría. 6.8. En el capítulo 5 se demostró que podemos medir los costos que los cambios de un solo precio tienen para el bienestar utilizando las funciones del gasto y las curvas de demanda compensada. Este problema le pide que generalice lo anterior a los cambios de precios de dos (o muchos) bienes. a. Suponga que un individuo consume n bienes y que los precios de estos dos bienes (por decir, p1 y p2) aumentan. ¿Usted cómo utilizaría la función del gasto para medir la variación compensatoria (VC) para esta persona debido a este aumento del precio? CV=E ( p1 , , p2 , , ṕ3 ,…, ṕn, Ú )−E( p1 , p2, ṕ3 ,…, ṕn , Ú ) b. Una forma de demostrar gráficamente estos costos para el bienestar es utilizar las curvas de demanda compensada para los bienes x1 y x2 suponiendo que un precio aumentó antes que el otro. Ilustre su planteamiento. P2P1 X2X1 22 c. En su respuesta al inciso anterior, ¿importaría el orden en el cual usted considera las variaciones de precios? Explique. La simetría de los efectos compensados de los precios cruzados implica que el orden de caculo es irrelevante. d. En general, ¿pensaría usted que la VC para el aumento de precio de estos dos bienes sería más alta si los bienes fueran sustitutos netos o complementos netos? O ¿la relación entre los bienes no tendría repercusiones para los costos del bienestar? La figura en parte a sugiere que la compensación debería ser menor para los complementos netos que para los sustitutos netos. 6.9. Se dice que una función de utilidad es separable si se puede expresar como U ( x , y )=U 1 ( x )+U2( y ) donde U 2 ' >0,U i ' ' <0 y U 1 ,U 2 no necesariamente son la misma función. a. ¿La separación qué presupone sobre la derivada parcial cruzada Uxy? Ofrezca un análisis intuitivo de lo que significa este concepto y en qué situaciones se puede producir. Esta forma funcional Uxy=0. Es decir, la utilidad marginal de “x” no depende de la cantidad de “y” consumida. Aunque improbable en un sentido estricto, esta independencia podría ser válida para los agregados de gran consumo como “alimentos” y “vivienda”. b. Demuestre que, si la utilidad es separable, entonces ninguno de los bienes puede ser inferior. Porque la maximización de la utilidad requerida MU x px = MU y p y , un aumento de los ingresos son cambios en px o py debe hacer que ambos “x” e “y” aumenten para mantener esta igualdad. c. ¿El supuesto de la separación le permite concluir contundentemente si x e y son sustitutos brutos o complementos brutos? Explique su respuesta. De nuevo usando, MU x P x = MU y Py , un incremento en Px hara que “x” caiga, que aumente MU x. Asi que la dirección del cambio en MU x P x es indeterminado. Por lo tanto, el cambio en “y” es también indeterminado. 22 d. Utilice la función de utilidad Cobb-Douglas para demostrar que la separación no es in- variable con relación a las transformaciones monótonas. Nota: En las ampliaciones de este capítulo analizamos las funciones separables con más detenimiento. Teniendo: U=xα yβ MU=xα−1 y β Empero: ln (U )=α ln x+β ln y MU x= α x Por lo tanto, el primer caso no es separable; el segundo, sí. 6.10. El ejemplo 6.3 muestra las funciones de demanda implícitas en la función de utilidad con CES para tres bienes. U ( x , y , z )= −1 x − 1 y − 1 z a. Utilice la función de la demanda de X de la ecuación 6.32 para determinar si X y Y o si XYZ son sustitutos o complementos brutos. ∂U ∂x Px = ∂U ∂ y P y = ∂U ∂z P z x−2 Px = y−2 P y = z−2 Pz y2P y=x 2P x x2P x=z 2P z y=√ P x P y x ; z=√ Px P z x Restricción presupuestaria: m=x Px+ y P y+ z P z 22