169x + 117y = 13の整数解を求める

問.169x+117y=13の整数解を求めなさい。 まず、両辺は13で割れますので、13x+9y=1を解けばよいことになります。13と9は互いに素なので解が存在します。 13を9で割りますと商が1で余りが4です。 13=9×1+4……(1式) 9を4で割ります。 9=4×2+1……(2式) この最後の式から、1=9－4×2 1. 式から4=13－9×1 この式を前の式に代入します。 1=9－4×2=9－(13－9×1)×2=9×3－13×2 =13×(－2)+9×3 したがって、x=－2, y=3が求める解の一つです。 ただし、これはたくさんある解の一つにすぎませんので、次のようにして一般解を求めます。 13x+y=1　　　13×(－2)+9×3=1 上式を引き算します。 13(x+2)+9 (y－3)=0 ⇒ 13(x+2)=9(3－y) 13と9は互いに素なので、x + 2は9で割り切れることになります。そこでx+2=9t(tは任意の整数)とおけば 3－y=13t ですので、一般解は、x=9t－2, y=－13t+3(tは任意の整数)となります。 学びなおし！ 数学 代数・解析編　なっとくする数学キーワード29