循環小数とは?1/7を例に考える
とりあえず、有限小数にならない分数は必ず循環小数になることを、1/7を例にして説明しよう。1÷7を次のように筆算で計算していくと、
というように、「142857」が繰り返し続く。
上の式において、第1段から第7段までのあまりに注目すると、それらは順に3、2、6、4、5、1、3となっている。
各段における7で割ったあまりは、0以上7未満の整数になるので、0、1、2、3、4、5、6のどれかである。したがって、割り切れないまま無限に小数が続くならば、各段のあまりは必ず1、2、3、4、5、6のどれかなので、それらのある数字は2回以上現れなくてはならない。