【大学数学 数の構成】 任意の正の有理数a,b,c,dに対して 1+|(a+b)-(c+d)|≦1+|{(1+|a-c|)+(1+|b-d|)}-2| が成り立つと予想していますが証明が思いつきません。 ↓この予想に至った経緯です。論理的ではないかもしれませんが読んでいただけると嬉しいです。 自然数→正の有理数→非負実数→実数の順番で実数の構成ができないか気になってやってみているところです。今、正の有理数全体の集合を自然数の組全体の集合の適切な同値関係による商集合として定義し、足し算、掛け算、割り算、順序を普通に定義してwell-defined性を確認し、残るは引き算のみになりました。非負実数全体の集合を正有理コーシー列全体の集合の収束同値類による商集合として定義したいので引き算のような関数は必要です。 2数の差の絶対値を求める関数は、非負有理数全体の集合について閉じていますが、正の有理数全体の集合について閉じていません。一方で、fを2数の差の絶対値を1に足す関数とすると、fは正の有理数全体の集合について閉じています。よってこのfを正の有理数における「差の絶対値のようなもの」と思うことにしました。そのような関数を実際に定義してwellde-fined性も確認しました。 後でコーシー列の和がコーシー列になることを示すのに三角不等式が必要なので、 |(a+b)-(c+d)|≦|a-c|+|b-d| のような関係がfについて成り立って欲しいのですが、fが1に差の絶対値を足す関数であることを踏まえると f((a+b),(c+d)) ≦f(f(a,c)+f(b,d),2) と評価できるはずだと思いました。
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