区間塊の長さ

区間塊の長さ

私たちの目標は数直線$\mathbb{R}$の部分集合、すなわち点集合の外延量を測定することですが、まずは$\mathbb{R}$上の有界な右半開区間だけを外延量の測定対象とし、そのような区間をすべて集めてできる$\mathbb{R}$の部分集合族を${\mathfrak{S}}_m$で表しました。さらに、区間の外延量を表す概念として区間の長さ$m:{\mathfrak{S}}_m\to {\mathbb{R}}_{+}$を導入した上で、これが$\sigma$-加法測度としての性質を満たすことを示しました。つまり、${\mathfrak{S}}_m$は集合半環であるとともに、$m$は非負性と$\sigma$-加法性を満たします。ただ、数直線$\mathbb{R}$上には有界な区間というクラスには属さない点集合が存在します。そこで、区間の集合族${\mathfrak{S}}_m$に属する互いに素な有限個の区間の和集合を区間塊と呼び、区間塊をすべて集めてできる$\mathbb{R}$の部分集合族を$\mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)$で表しました。${\mathfrak{S}}_m$は集合半環ですが、そこから生成された$\mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)$は集合環であり、両者の間には、$${\mathfrak{S}}_m\subset \mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)$$が成り立つことを確認しました。しかも、$\mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)$は${\mathfrak{S}}_m$を部分集合として持つ最小環です。区間の長さ$m$はそれぞれの区間$I\in {\mathfrak{S}}_m$に対してその測度$m\left(I\right)$を定めますが、上の包含関係より、区間塊の中には区間でないものが存在し得るため、区間の長さ$m$では区間塊$A\in \mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)$の測度を測定できるとは限りません。そこで、$m$を拡張する形で、任意の区間塊の測度を測定できるような測度概念を構成したいところです。そこで、以下の手続きを考えます。

区間の長さ$m:{\mathfrak{S}}_m\to {\mathbb{R}}_{+}$が与えられているものとします。区間塊$A\in \mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)$を任意に選ぶと、区間塊の定義より、有限個の互いに素な区間$I_1,\cdots ,I_n\in {\mathfrak{S}}_m$が存在して、$$A=\bigcup _{k=1}^n{I}_k$$という形で表すことができます。区間の集合族${\mathfrak{S}}_m$上には区間の長さ$m$が定義されているため、上のそれぞれの区間$I_1,\cdots ,I_n$に対してその長さ$m\left(I_1\right),\cdots ,m\left(I_n\right)$が定まります。そこで、これらの長さの総和を区間塊$A$の長さ（length）と定め、それを、$$\hat{m}\left(A\right)=\sum _{k=1}^{n}m\left(I_k\right)$$で表記します。以上を踏まえた上で、それぞれの区間塊$A\in \mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)$に対して、その長さ$\hat{m}\left(A\right)$を定める関数$\hat{m}$を定義し、これを長さ関数（length function）と呼びます。

区間$I\in {\mathfrak{S}}_m$を任意に選びます。区間$I$は$I$自身によって有限展開可能な区間塊であることを踏まえると、区間塊の長さの定義より、$$\hat{m}\left(I\right)=m\left(I\right)$$という関係が成り立ちます。同様の関係が任意の区間について成立することから、区間塊の長さ$\hat{m}$は区間の長さ$m$の拡張（extension of a measure$m$）になっています。

区間塊の長さの有限性

区間塊の長さの性質を確認します。区間塊$A\in \mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)$を任意に選んだとき、その長さは、$$0\le \hat{m}\left(A\right)<+\mathrm{\infty }$$を満たします。つまり、区間塊の長さは有限な非負の実数であるということです。言い換えると、区間塊の長さ関数$\hat{m}$は区間塊の集合族$\mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)$を定義域とし、非負の実数からなる集合${\mathbb{R}}_{+}$を終集合とする関数$$\hat{m}:\mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)\to {\mathbb{R}}_{+}$$であるということです。このような性質を指して、$\hat{m}$は有限（finite）であるとか完全有限（totally finite）であるなどと言います。

区間塊の長さの$\sigma$-加法性

区間塊の集合族$\mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)$の中から可算個の互いに素な区間塊を任意に選び、それらを要素とする集合列${\left\{A_k\right\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$をとります。つまり、${\left\{A_k\right\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$は互いに素な区間塊からなる可算集合列です。その上で、この集合列の和集合$$\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k$$をとります。以前に確認したように、$\mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)$は集合環であるため有限合併ついて閉じている一方で可算合併については閉じていないため、この和集合は$\mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)$の要素であるとは限りません。互いに素な可算個の区間塊の和集合は区間塊になるとは限らないということです。その一方で、$$\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k\in \mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)$$を満たす集合列${\left\{A_k\right\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$に対しては、つまり、互いに素な可算個の区間塊の和集合として表される区間塊に対しては、長さ関数$\hat{m}:\mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)\to {\mathbb{R}}_{+}$はその長さ$$\hat{m}\left(\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k\right)\in {\mathbb{R}}_{+}$$を定めます。しかもこの場合、${\left\{A_k\right\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$の和集合に相当する区間塊の長さと、${\left\{A_k\right\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$の要素である個々の区間塊の長さの間には、$$\hat{m}\left(\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k\right)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\hat{m}\left(A_k\right)$$という関係が成り立つことが保証されます。ただし、右辺は可算個の区間塊の長さから構成される無限級数の和であり、具体的には、部分和$$S_n=\sum _{k=1}^n\hat{m}\left(A_k\right)$$を項とする数列$\left\{S_n\right\}$の極限$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n$として定義されます。つまり、先の関係を正確に表現すると、$$\hat{m}\left(\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left[\sum _{k=1}^n\hat{m}\left(A_k\right)\right]$$となります。このような性質を指して、$\hat{m}$は$\sigma$-加法性（$\sigma$-additivity）を満たすと言います。

繰り返しになりますが、先の命題は、$$\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k\in \mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)$$を満たすような可算集合列${\left\{A_k\right\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$のみを対象とした主張です。つまり、上の命題は、「ある区間塊が可算個の互いに素な区間塊に分割可能であるとき、その区間塊の長さは、それを構成するそれぞれの区間塊の長さの合計になる」という主張です。一方、$$\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k\notin \mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)$$を満たすような可算集合列${\left\{A_k\right\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$に対して、上の命題は何も言っていません。つまり、「可算個の互いに素な区間塊の和集合が区間塊でない場合においても、全体の長さは、それを構成するそれぞれの区間塊の長さの合計である」とまでは先の命題は主張していません。

区間塊の長さは$\sigma$-加法測度

一般に、集合$X$の部分集合族$\mathfrak{A}$上に定義された関数$\hat{m}:\mathfrak{A}\to \mathbb{R}$がそれぞれの集合$A\in \mathfrak{A}$に対して定める値が非負の実数もしくは正の無限大である場合には、すなわち、$$\mathrm{\forall }A\in \mathfrak{A}:0\le \hat{m}\left(A\right)\le +\mathrm{\infty }$$が成り立つ場合には、この関数$\hat{m}$は非負性（non-negativity）を満たすと言います。また、集合$X$の部分集合族$\mathfrak{A}$が集合環であるとともに、関数$\hat{m}:\mathfrak{A}\to \mathbb{R}$が非負性と$\sigma$-加法性をともに満たす場合、$\hat{m}$を$\sigma$-加法測度（$\sigma$-additive measure）や可算測度（countable measure）などと呼び、$\hat{m}$がそれぞれの集合$A\in \mathfrak{A}$に対して定める値$\hat{m}\left(A\right)$を$A$の測度（measure）と呼びます。

これまでの議論から明らかになったように、区間塊の集合族$\mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)$は集合環であり、区間塊の長さ$\hat{m}:\mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)\to {\mathbb{R}}_{+}$は有限性と$\sigma$-加法性を満たします。有限性は明らかに非負性を含意するため、結局、区間塊の長さ$\hat{m}$は$\sigma$-加法測度であるということになります。

以上の命題を踏まえた上で、以降では、区間塊の長さを区間塊の測度と呼びます。

区間塊の長さの有限加法性

区間塊の長さ$\hat{m}:\mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)\to {\mathbb{R}}_{+}$が$\sigma$-加法測度であることを示す際には区間塊や区間の定義、また区間の長さ$m$の性質などを用いましたが、$\hat{m}$が$\sigma$-加法測度であることが明らかになれば、$\hat{m}$が満たすその他の性質はいずれも$\hat{m}$が$\sigma$-加法測度であるという事実から導出可能です。以下ではそのような性質をいくつか提示します。

区間塊の集合族$\mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)$の中から有限個の互いに素な区間塊を任意に選んだ上で、それらを要素とする集合列${\left\{A_k\right\}}_{k=1}^n$をとります。つまり、${\left\{A_k\right\}}_{k=1}^n$は互いに素な区間塊からなる有限集合列です。$\mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)$は集合環であり、集合環は有限交叉について閉じているため、このとき、$$\bigcup _{k=1}^n{A}_k\in \mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)$$が必ず成り立ちます。しかもこの場合、${\left\{A_k\right\}}_{k=1}^n$の和集合に相当する区間塊の長さと、${\left\{A_k\right\}}_{k=1}^n$の要素である個々の区間塊の長さの間には、$$\hat{m}\left(\bigcup _{k=1}^n{A}_k\right)=\sum _{k=1}^n\hat{m}\left(A_k\right)$$という関係が成り立つことが保証されます。つまり、互いに素な有限個の区間塊の和集合が区間塊であるとき、その和集合に相当する区間塊の長さは、個々の区間塊の長さの総和と一致するということです。このような性質を指して、$\hat{m}$は有限加法性（finite additivity）を満たすと言います。

区間塊の長さの一意性

区間塊$A\in \mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)$を任意に選んだとき、区間塊の定義より、互いに素な有限個の区間$I_1,\cdots ,I_n\in {\mathfrak{S}}_m$が存在して、$$A=\bigcup _{k=1}^n{I}_k$$と表すことができます。区間が区間塊であることと区間塊の長さ$\hat{m}:\mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)\to {\mathbb{R}}_{+}$の有限加法性より、この区間塊$A$の長さは、$$\hat{m}\left(A\right)=\sum _{k=1}^n\hat{m}\left(I_k\right)\cdots (1)$$を満たします。ただ、区間塊を有限展開する方法は一意的であるとは限りません。つまり、先の区間塊$A$に対して、先ほどとは異なる互いに素な有限個の区間$J_1,\cdots ,J_m\in {\mathfrak{S}}_m$が存在し、これらの間にも、$$A=\bigcup _{l=1}^m{J}_l$$という関係が成立し得るということです。このとき、やはり$\hat{m}$の有限加法性より、$$\hat{m}\left(A\right)=\sum _{l=1}^m\hat{m}\left(J_l\right)\cdots (2)$$が成り立ちます。つまり、区間塊を異なる方法で有限展開したとき、その区間塊の長さは$\left(1\right)$と$\left(2\right)$のように異なる形で表されますが、実は、両者の値は常に一致することが保証されます。つまり、それぞれの区間塊の長さは有限展開の仕方によらず一定であるということです。言い換えると、区間塊の長さ$\hat{m}:\mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)\to {\mathbb{R}}_{+}$は写像であるということです。

区間塊の長さは区間の長さの一意的な拡張

先に確認したように、区間塊の長さ$\hat{m}:\mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)\to {\mathbb{R}}_{+}$は区間の長さ$m:{\mathfrak{S}}_m\to {\mathbb{R}}_{+}$の拡張であり、両者の間には、$$\mathrm{\forall }I\in {\mathfrak{S}}_m:\hat{m}\left(I\right)=m\left(I\right)$$という関係が成り立ちます。つまり、区間は区間塊でもありますが、任意の区間$I$に対して、区間塊の長さ$\hat{m}$が与える測度$\hat{m}\left(I\right)$は区間の長さ$m$が与える測度$m\left(I\right)$と一致します。しかも、$\hat{m}$は$m$の一意的な拡張です。

区間塊の長さの単調性

ある区間塊$A$が別の区間塊$B$の部分集合であるならば，$A$の長さは$B$の長さ以下になるというのは直感的に正しそうですが、これもまた区間塊の長さ$\hat{m}$が$\sigma$-加法測度であることから導かれます。区間塊の長さが満たすこのような性質を単調性（monotonicity）と呼びます。

区間塊の長さの減法性

ある区間塊$A$が別の区間塊$B$の部分集合であるものとします。区間塊の集合族$\mathfrak{R}\left({\mathfrak{S}}_m\right)$は差集合について閉じているため$B\mathrm{\setminus }A$もまた区間塊ですが、その長さは$B$の長さと$A$の長さの差になります。つまり、$$m\left(B\mathrm{\setminus }A\right)=m\left(B\right)-m\left(A\right)$$が成り立つということです。区間塊の長さが満たすこのような性質を減法性（subtractivity）と呼びます。