3つの立方数の和

3つの立方数の和（3つのりっぽうすうのわ、Sums of three cubes）は整数の立方数3つを合計したものである。

${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$

${\displaystyle n\not \equiv \pm 4{\pmod {9}}}$

任意のnに対して、条件を満たす解${\displaystyle x,y,z}$の組を求める問題は、1950年代にルイス・モーデルによって考え出された^[1]。いくつかのnに対する解の探索には長い時間がかかっていたが^[2]、MITなどの研究グループにより短期間で求める手法が見出され、あるnに対する解となる組は無限に存在するはずだと推測されている^[3]。 なお、nの値について、9を法として4, 5 に合同な値を除外する条件が付けられているのは、そのようなnが存在し得ないからである。このことは、 全ての立方数は9を法として0, 1, 8 のいずれかに合同となることより、簡単に確認できる。同様に、4つの立方数の和と問題を拡張した場合は、この除外条件は不要となる。^[要出典]

小さなn[編集]

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nが0

${\displaystyle a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0}$

nが1

${\displaystyle (9b^{4})^{3}+(3b-9b^{4})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1}$

nが2

${\displaystyle (1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}=2}$

コンピュータによる探索[編集]

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100以下の全て[編集]

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n=0～74について^[4][5][6]
n=3について^[7][3]

1000以下[編集]

${\displaystyle 906=(-74924259395610397)^{3}+72054089679353378^{3}+35961979615356503^{3}}$ ^[8]

${\displaystyle 165=(-385495523231271884)^{3}+383344975542639445^{3}+98422560467622814^{3}}$ ^[8]

${\displaystyle 579=143075750505019222645^{3}+(-143070303858622169975)^{3}+(-6941531883806363291)^{3}}$^[8]

脚注[編集]

関連項目[編集]

• 二個の平方数の和
• 三個の平方数の和
• ディオファントス方程式
• ウェアリングの問題

外部リンク[編集]

• https://www.bristol.ac.uk/news/2019/september/sum-of-three-cubes-.html

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