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| ０２４ | 平成２１年度後期 | 横浜国立大学 | 工学部 | ・・・ | ２次関数（数学Ⅰ） | やや難 |
塾生よりホットな入試問題が入手できたので、どこの予備校よりも先に解答を公開したい
と思う。イメージ的に求める領域を類推することは可能だろうが、そのような解答では合格
点を得ることは難しいだろう。きっちりと論理的に求められる問題なので、計算で正確に求
めたい。
このようなタイプの入試問題は頻出問題で、いささか陳腐の感があるが、授業等では教え
きれない部分でもあるので、各個人の経験の有無が大きく影響を与える問題とも言えよう。
なお、この問題は包絡線の問題とも関連し、数学的には非常に面白い問題でもある。
当HPの次のページを参考にされると理解が進むことだろう。
曲線群の通過範囲 包絡線
横浜国立大学 工学部（２００９）
放物線 ｙ＝ｘ2 上に２点Ｐ（ ｔ ， ｔ2 ）、Ｑ（ ｔ＋１ ， （ｔ＋１）2 ）をとる。次の問いに答えよ。
（１） ｔ がすべての実数を動くとき、直線ＰＱが通過する領域を求めよ。
（２） ｔ が －１≦ｔ≦０ の範囲を動くとき、線分ＰＱが通過する領域を求め、図示せよ。
（解）（１） 直線ＰＱの傾きは、 ｛（ｔ＋１）2－ｔ2｝/｛（ｔ＋１）－ｔ｝＝２ｔ＋１ なので、
直線ＰＱの方程式は、 ｙ＝（２ｔ＋１）（ｘ－ｔ）＋ｔ2＝（２ｔ＋１）ｘ－ｔ2－ｔ
いま、点（ ｘ ， ｙ ）が直線ＰＱの通過する領域内の点とすると、
ｙ＝（２ｔ＋１）ｘ－ｔ2－ｔ となる実数 ｔ が存在する。
すなわち、ｔ の２次方程式 ｔ2＋（１－２ｘ）ｔ＋ｙ－ｘ＝０ が実数解を持つ。
判別式をＤとすると、
Ｄ＝（１－２ｘ）2－４（ｙ－ｘ）＝１＋４ｘ2－４ｙ≧０
よって、 ｙ≦ｘ2＋１/４ が求める領域を表す。
（２） 線分ＰＱが通過する領域内の点を（ ｘ ， ｙ ）とすると、 －１≦ｘ≦１ が成り立つ。
ｙ＝Ｆ（ｔ）＝（２ｔ＋１）ｘ－ｔ2－ｔ＝－ｔ2＋（２ｘ－１）ｔ＋ｘ＝－｛ｔ－（ｘ－１/２）｝2＋ｘ2＋１/４
より、軸の方程式は、 ｔ＝ｘ－１/２ である。また、上式が線分ＰＱを表すためには、
ｔ≦ｘ≦ｔ＋１ すなわち、 ｘ－１≦ｔ≦ｘ
でなければならない。これらのことに注意して、場合に分けて考える。
（イ） ｘ－１/２≦－１ すなわち －１≦ｘ≦－１/２ のとき、
ｘ－１≦ｔ≦ｘ と －１≦ｔ≦０ の交わりは、 －１≦ｔ≦ｘ
この範囲で、関数 ｙ＝Ｆ（ｔ） の値域を求めれば、 Ｆ（ｘ）≦ｙ≦Ｆ（－１）
すなわち、 Ｆ（ｘ）＝（２ｘ＋１）ｘ－ｘ2－ｘ＝ｘ2 、Ｆ（－１）＝－ｘ－１＋１＝－ｘ より、
ｘ2 ≦ ｙ ≦ －ｘ となる。
（ロ） －１≦ｘ－１/２≦－１/２ すなわち －１/２≦ｘ≦０ のとき、
ｘ－１≦ｔ≦ｘ と －１≦ｔ≦０ の交わりは、 －１≦ｔ≦ｘ
この範囲で、関数 ｙ＝Ｆ（ｔ） の値域を求めれば、 Ｆ（ｘ）≦ｙ≦ｘ2＋１/４
すなわち、 ｘ2 ≦ ｙ ≦ ｘ2＋１/４ となる。
（ハ） －１/２≦ｘ－１/２≦０ すなわち ０≦ｘ≦１/２ のとき、
ｘ－１≦ｔ≦ｘ と －１≦ｔ≦０ の交わりは、 ｘ－１≦ｔ≦０
この範囲で、関数 ｙ＝Ｆ（ｔ） の値域を求めれば、 Ｆ（ｘ－１）≦ｙ≦ｘ2＋１/４
すなわち、 Ｆ（ｘ－１）＝（２ｘ－１）ｘ－（ｘ－１）2－（ｘ－１）＝ｘ2 より、
ｘ2 ≦ ｙ ≦ ｘ2＋１/４ となる。
（ニ） ｘ－１/２≧０ すなわち １/２≦ｘ≦１ のとき、
ｘ－１≦ｔ≦ｘ と －１≦ｔ≦０ の交わりは、 ｘ－１≦ｔ≦０
この範囲で、関数 ｙ＝Ｆ（ｔ） の値域を求めれば、 Ｆ（ｘ－１）≦ｙ≦Ｆ（ｘ）
すなわち、 ｘ2 ≦ ｙ ≦ ｘ となる。
これらを図示して、下図を得る。
