ja/加法

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足し算（通常はプラス記号＋で示される）は算数の4つの基本操作の1つで、他の3つは引き算、掛け算、割り算である。2つの整数の足し算は、それらの値を合わせた総量または総和になる。隣の画像の例では、3個のリンゴと2個のリンゴがそれぞれ2列に並んでおり、合計すると5個になる。この観察は、「3＋2＝5」（つまり、「3＋2は5に等しい」）という数学的表現に相当する。

アイテムを数えるだけでなく、足し算は、整数、実数、複素数など、数と呼ばれる抽象的なものを使って、具体的なオブジェクトを参照せずに定義し、実行することもできる。足し算は数学の一分野である算術に属する。数学のもう一つの分野である代数学では、加算はベクトル、行列、部分空間、部分群などの抽象的な対象に対しても行うことができる。

足し算にはいくつかの重要な性質がある。つまり、オペランドの順序は関係なく、結合的である。つまり、2つ以上の数を足す場合、足し算を行う順序は関係ない。1を繰り返し足すことは、数を数えることと同じである（後続関数を参照）。0を足しても数は変わらない。足し算はまた、引き算や掛け算のような関連演算に関する予測可能な規則に従う。

足し算は最も単純な数値計算の一つである。非常に小さな数の足し算は幼児にもできる。最も基本的な作業である1＋1は、5ヶ月の幼児にもできるし、他の動物種の一部にもできる。初等教育では、生徒は十進法の足し算を教わり、一桁の数字から始め、次第に難しい問題に取り組むようになる。機械的な補助器具は、古代のそろばんから現代のコンピューターまで多岐にわたり、足し算の最も効率的な実装に関する研究が今日まで続けられている。

表記と用語[edit | edit source]

足し算は、項と項の間にプラス記号「+」を使って表記する。結果は等号で表される。例えば

${\displaystyle 1+2=3}$（「1+2=3」）

${\displaystyle 5+4+2=11}$（下記の「結合性」を参照）

${\displaystyle 3+3+3+3=12}$（以下の「乗算」を参照）

記号は出てこないが、足し算が「理解される」状況もある：

整数の直後に分数が続く場合は、その2つの和を示し、混合数と呼ばれる。例えば

${\displaystyle 3{\frac {1}{2}}=3+{\frac {1}{2}}=3.5.}$

他のほとんどの文脈では、並置は代わりに乗算を表すので、この表記は混乱を引き起こす可能性がある。

関連する数列の和は大文字のシグマ表記で表すことができ、これは反復をコンパクトに表す。例えば

${\displaystyle \sum _{k=1}^{5}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55.}$

項[edit | edit source]

一般的な足し算で加えられる数または対象は、総称して項、加数または被加数と呼ばれる。この用語は、複数の項の和にも適用される。これは、乗算される因子とは区別される。最初の加数をオージェンドと呼ぶ著者もいる。実際、ルネサンス期には、多くの著者が最初の加数を「加数」とは考えなかった。今日では、足し算の可換性のために、「オージェンド」はほとんど使われず、両方の項を一般的に「加数」と呼ぶ。

上記の用語はすべてラテン語に由来する。「addition」と「add」は、ラテン語の動詞addereに由来する英単語である。addereは、原インド・ヨーロッパ語源の*deh₃-「与える」に由来するad「～する」とdare「与える」の合成語である。属格接尾辞-ndを用いると "addend"「加えるもの」になる。同様に、augere「増加する」から、"augend"「増加するもの」が得られる。

"sum" と "summand" は、ラテン語の名詞summa「最も高い、頂点」と関連する動詞summareに由来する。これは、2つの正の数の和がどちらか一方よりも大きいからというだけでなく、古代ギリシャ人やローマ人は、現代のように下向きに足し算をするのではなく、上向きに足し算をするのが一般的であったため、和が文字通り加算値よりも高くなることから、適切な表現である。Addereとsummareは、VitruviusやFrontinusのような以前のローマの作家まで遡らないとしても、少なくともBoethiusまで遡る。ボエティウスはこの他にも、足し算を表す用語をいくつか使っていた。後の中世英語で「adden」や「adding」と呼ばれるようになったのは、チョーサーによるものである。

プラス記号 "+"(Unicode:U+002B; ASCII: +)は、ラテン語で "and" を意味するetの省略形である。少なくとも1489年にさかのぼる数学作品に登場する。

解釈[edit | edit source]

足し算は多くの物理的過程をモデル化するのに使われる。自然数の足し算という単純な場合でさえ、多くの解釈が可能であり、さらに多くの視覚的表現がある。

集合の組み合わせ[edit | edit source]

おそらく足し算の最も基本的な解釈は、集合の組み合わせにある：

2つ以上の不連続なコレクションが1つのコレクションに結合されると、1つのコレクションに含まれるオブジェクトの数は、元のコレクションに含まれるオブジェクトの数の合計になる。

この解釈は視覚化しやすく、曖昧になる危険性はほとんどない。高等数学でも有用である（厳密な定義については、後述の§自然数を参照）。しかし、この足し算を分数や負の数に拡張する方法は明らかではない。

1つの可能な解決策は、パイや分割された棒のような、簡単に分割できる物体の集まりを考えることである。これは、足し算の別の概念を示している。つまり、棒を足すのではなく、棒の長さを足すのである。

長さの延長[edit | edit source]

足し算の第二の解釈は、最初の長さをある長さだけ延長することから生まれる：

元の長さをある長さだけ伸ばすと、最終的な長さは元の長さと伸ばした長さの和になる。

後者の解釈では、a + bの和の部分は非対称な役割を果たし、a + bの演算はaに単項演算+bを適用したものと見なされる。単項演算は減算を論じるときにも便利で、単項加算演算には逆単項減算演算があり、逆もまた同様だからである。

性質[edit | edit source]

可換性[edit | edit source]

足し算は可換である。つまり、和の項の順序を変えても同じ結果になる。記号的には、aとbを任意の2つの数とすると

a + b = b + aである。

加算が可換であることは、「加算の可換則」または「加算の可換特性」として知られている。他の2項演算には乗算のように可換なものもあるが、減算や除算のように可換でないものも多い。

結合性[edit | edit source]

つまり、3つ以上の数を足し合わせても、演算の順序によって結果が変わることはない。

例として、a + b + cという式は、(a + b) + cと定義すべきか、a + (b + c)と定義すべきか。足し算が結合的であることを考えれば、定義の選択は関係ない。任意の3つの数a、b、cについて、(a + b) + c = a + (b + c)は真である。例えば、(1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3)である。

足し算が他の演算と一緒に使われる場合、演算の順序が重要になる。標準的な演算順序では、加算は指数、n乗根、乗算、除算よりも優先順位が低いが、減算と同等の優先順位が与えられている。

恒等式要素[edit | edit source]

これはゼロが足し算の恒等式であることを意味し、加法恒等式とも呼ばれる。記号では、すべてのaについて、次のようになる。

a + 0 = 0 + a = a.

この法則は、西暦628年のブラフマグプタのBrahmasphutasiddhantaで初めて確認されたが、彼はaが負か正かゼロそのものかによって3つの別々の法則として書き、代数記号ではなく言葉を使った。830年頃、マハヴィーラは「ゼロはそれに加えられるものと同じになる」と書き、0 + a = aという単項式に対応させた。12世紀には、バスカラが「暗号の足し算でも引き算でも、量は正でも負でも変わらない」と書き、a + 0 = aという単項式に対応させた。

後続者[edit | edit source]

例えば、3は2の後続であり、7は6の後続である。この後続のため、a + bの値もaのb番目の後続と見なすことができ、加算の反復後続となる。例えば、6＋2は8であり、8は6の後続である7の後続であるため、8は6の2番目の後続となる。

単位[edit | edit source]

物理量を単位で数値加算するには、共通の単位で表さなければならない。例えば、50ミリリットルと150ミリリットルを足すと200ミリリットルになる。しかし、5フィートという尺度を2インチ伸ばすと、60インチは5フィートと同義なので、和は62インチとなる。一方、3メートルと4平方メートルを足そうとしても、これらの単位は比較できないので、通常は無意味である。このような考察は、寸法分析の基本である。

加算の実行[edit | edit source]

生まれつきの能力[edit | edit source]

1980年代から始まった数学的発達に関する研究では、慣れの現象が利用されてきた。1992年にカレン・ウィンが行ったミッキーマウスの人形をスクリーンの後ろで操作する実験では、生後5ヶ月の乳児は1＋1が2になることを予期しており、1＋1が1か3であることを暗示するような物理的状況があると比較的驚くことが実証された。この発見は、その後、異なる方法論を用いた様々な研究室によって確認されている。1992年の別の実験では、18ヶ月から35ヶ月の年長の幼児を対象に、箱からピンポン玉を取り出させることで運動制御の発達を利用した。

人間以外の動物でも、特に霊長類では足し算の能力に限界がある。ウィンの1992年の結果を模倣した1995年の実験（ただし人形の代わりにナスを使用）では、アカゲザルやワタボウシタマリンザルは人間の幼児と同様の結果を示した。もっと劇的なのは、アラビア数字の0から4の意味を教わったチンパンジーが、それ以上の訓練なしに2つの数字の和を計算できたことである。さらに最近では、アジアゾウが基本的な算数を行う能力を実証している。

幼少期の学習[edit | edit source]

通常、子供はまず数え方をマスターする。2つの品目と3つの品目を組み合わせなければならない問題が与えられると、幼児はその状況を物理的なもの（多くは指や絵）でモデル化し、それから合計を数える。経験を積むにつれて、子どもたちは「カウントオン」という戦略を学んだり、発見したりする。「2＋3」を求めると、子どもたちは「3、4、5」と言いながら（通常は指を鳴らして）2を3つ数え、5に到達する。この方法はほとんど普遍的で、子どもたちは仲間や教師から簡単に学ぶことができる。ほとんどの子どもは、自分でこの方法を発見する。さらに経験を積むと、子どもたちは、足し算の可換性を利用して、大きいほうの数から数え上げることで、より速く足し算ができるようになる。やがて子どもは、経験や暗記によって、特定の足し算の事実（「ナンバー・ボンド」）を思い出し始める。いくつかの事実が記憶に定着すると、子どもは既知の事実から未知の事実を導き出すようになる。例えば、6と7を足すように言われた子どもは、6＋6＝12であることを知っていて、6＋7は1つ多い13であると推論するかもしれない。このような導き出された事実はすぐに見つけることができ、ほとんどの小学生は、最終的に暗記した事実と導き出された事実の混合に頼って、流暢に足し算をするようになる。

国によって、整数や算数を習う年齢は異なり、多くの国では就学前に足し算を習う。しかし、世界中で、足し算は小学校1年生の終わりまでに教えられる。

表[edit | edit source]

子どもたちはしばしば、0から9までの数の組の足し算表を提示され、それを暗記する。これを知っていれば、子供たちはどんな足し算もできる。

+ 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
0 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
1 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10
2 2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
3 3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
4 4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
5 5  6  7  8  9 10 11 12 13 14
6 6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
7 7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
8 8  9 10 11 12 13 14 15 16 17
9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

十進法[edit | edit source]

10進法での足し算の前提条件は、100の1桁の「足し算の事実」を流暢に思い出すか、導出することである。すべてのファクトを暗記することもできるが、パターンに基づいた戦略の方が、より啓発的であり、ほとんどの人にとってより効率的である：

可換性： 前述のように、a + b = b + aというパターンを使えば、「足し算の公式」の数を100から55に減らすことができる。

もう1つか2つ： を足すことは基本的な作業であり、数え上げや最終的には直感によって達成することができる。

ゼロ：ゼロは加法同一なので、ゼロを足すことは些細なことである。それにもかかわらず、算数の授業では、足し算は常に足し算を増やす過程であると紹介する生徒がいる。単語問題は、ゼロの「例外」を合理化するのに役立つかもしれない。

倍数： 数の足し算は、2つ数えることや掛け算に関連している。倍数のファクトは、関連する多くのファクトのバックボーンを形成しており、生徒は比較的容易に理解することができる。

ほぼ倍数： 6 + 7 = 13のような和は、6 + 6 = 12の倍数の事実から、1つ足すことによって、または7 + 7 = 14の事実から、1つ引くことによって、すぐに導き出すことができる。

5と10： 5 + xと10 + xの形の和は、通常早くから覚えており、他の事実を導くために使うことができる。例えば、6＋7＝13は、5＋7＝12から1つ足すことで導き出せる。

10を作る： 例えば、8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14である。

生徒が成長するにつれ、より多くの事実を記憶し、他の事実を迅速かつ流暢に導くことを学ぶ。多くの生徒は、すべての事実を記憶することはないが、どのような事実でも見つけることができる。

キャリー[edit | edit source]

多桁数の足し算の標準的なアルゴリズムは、右側の一の位から順番に、足し算を縦に並べ、列を足していくものである。列が9を超える場合、余分な桁は次の列に「キャリー」される。例えば、27 + 59の足し算では

  ¹
  27
+ 59
————
  86

7 + 9 = 16となり、桁1が繰り上がりとなる。別の方法として、左側の最上位桁から足し算を始める方法がある。この方法では、持ち運びが少々面倒になるが、合計の概算を得るにはこちらの方が速い。別の方法はたくさんある。

20世紀末以来、TERCを含む米国のいくつかのプログラムは、カリキュラムから伝統的なトランスファー法を削除することを決定した。この決定は批判を浴び、そのためこの試みを支持しない州や郡もあった。

小数の分数[edit | edit source]

小数の分数は、上記のプロセスを単純に修正することで加えることができる。小数点を同じ位置に置いて、2つの小数の分数を上下に並べる。必要であれば、長い方の小数と同じ長さになるように、短い方の小数に末尾にゼロを加える。最後に、上記と同じ足し算を行うが、小数点は和の小数点と同じ位置に置く。

例として、45.1 + 4.34 は次のように解ける：

   4 5 . 1 0
+  0 4 . 3 4
————————————
   4 9 . 4 4

科学的表記法[edit | edit source]

科学的記数法では、数値は${\displaystyle x=a\times 10^{b}}$の形で書かれ、${\displaystyle a}$はシグニフィカンド、${\displaystyle 10^{b}}$は指数部である。足し算は、科学的記数法における2つの数値が同じ指数部を用いて表現されることを必要とし、これにより2つのシグニフィカンドを単純に足し算することができる。

例えば

${\displaystyle 2.34\times 10^{-5}+5.67\times 10^{-6}=2.34\times 10^{-5}+0.567\times 10^{-5}=2.907\times 10^{-5}}$ となる。

非10進数[edit | edit source]

他の基数での足し算は10進数の足し算とよく似ている。例として、2進数の足し算を考えることができる。2つの1桁の2進数の足し算は比較的簡単で、持ち運びの形式を使用する：

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0、キャリー1（1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 21)なので）

"1" を2桁足すと "0" になり、"1" を次の列に加えなければならない。これは10進数で、ある1桁の数字を足し合わせたときに起こることと似ている。結果が基数の値(10)と等しいか、それを超える場合、左の桁がインクリメントされる：

5 + 5 → 0、桁上げ1（5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 101)であるため）。

7 + 9 → 6、キャリー1（7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 101)であるため）。

これをキャリーという。足し算の結果が桁の値を超えた場合、基数で割った超過分（つまり10/10）を左に「キャリー」し、次の位置の値に足すという手順になる。次の位置は基数に等しい係数だけ高い重みを持つので、これは正しい。桁上げは2進数でも同じように機能する：

  1 1 1 1 1    (桁上げ)
    0 1 1 0 1
+   1 0 1 1 1
—————————————
  1 0 0 1 0 0 = 36

この例では、2 つの数字が加算されている： 011012 (1310) と 101112 (2310) です。一番上の列は使用されているキャリービットを示しています。一番右の列から、1 + 1 = 102 となります。1が左にキャリーされ、0が一番右の列の一番下に書き込まれる。右から2番目の列が追加され、1 + 0 + 1 = 102となる。3列目： 1 + 1 + 1 = 112. 今度は1が繰り上がり、一番下に1が書かれる。このように進めると、最終的な答えは1001002 (3610)となる。

コンピュータ[edit | edit source]

アナログ・コンピュータは物理量を直接扱うので、加算の仕組みは加算の形に依存する。機械式加算器の場合、2つの被加算要素をスライディングブロックの位置で表すことができる。被加算物が2つのシャフトの回転速度であれば、差動で加算することができる。油圧加算器は、ニュートンの第2法則を利用して、ピストンのアセンブリ上の力のバランスをとることにより、2つのチャンバー内の圧力を加算することができる。汎用のアナログ・コンピュータで最も一般的なのは、（グラウンドを基準に）2つの電圧を加算することである。これは抵抗ネットワークで大まかに達成できるが、より優れた設計ではオペアンプを利用する。

足し算はデジタル・コンピュータの動作の基本でもあり、足し算の効率、特にキャリー・メカニズムが全体的な性能の重要な制限となっている。

そろばんは数え枠とも呼ばれ、文字による近代的な数字体系が採用される何世紀も前から使われていた計算道具で、アジアやアフリカなどで商人や貿易商、事務員によって今でも広く使われている。

ブレーズ・パスカルは1642年に機械式計算機を発明した。この機械式計算機は、重力を利用した持ち運び機構を利用していた。これは、17世紀における唯一の稼働可能な機械式計算機であり、最も初期の自動デジタル計算機であった。パスカルの計算機は、そのキャリー機構によって、車輪が一方向にしか回転しないため、足し算ができないという制約があった。引き算をするには、パスカルの計算機の補数を使わなければならず、足し算と同じくらい多くのステップを必要とした。ジョヴァンニ・ポレーニはパスカルに続いて、1709年に2番目の機能的な機械式計算機を作った。これは木製の計算時計で、一度セットアップすれば2つの数を自動的に掛け算することができた。

加算器は、電子デジタル・コンピュータで整数加算を実行するもので、通常は2進演算を使用する。最も単純なアーキテクチャはリップル・キャリー加算器で、標準的な多桁アルゴリズムに従っている。少し改良されたものに、やはり人間の直感に従ったキャリー・スキップ設計がある。999 + 1を計算する際にすべてのキャリーを実行するのではなく、9のグループを迂回して答えまでスキップするのである。

実際には、以下の擬似コードに示すように、ビットシフト演算と組み合わせたXORとANDのビット単位の論理演算によって、計算上の加算を達成することができる。XORゲートもANDゲートもデジタルロジックで実現するのが簡単であるため、完全な加算回路を実現することができ、それらを組み合わせてより複雑な論理演算を行うことができます。最近のデジタル・コンピュータでは、整数加算は一般に最速の算術命令ですが、すべての浮動小数点演算だけでなく、メモリ・アクセス時のアドレス生成や分岐時の命令フェッチなどの基本的なタスクの基礎となるため、性能に最も大きな影響を与えます。キャリー・セレクト、キャリー・ルックアヘッド、リン グ・シュード・キャリーなどの名称で呼ばれています。多くの実装は、実際にはこれら3つの設計のハイブリッドである。紙の上での足し算とは異なり、コンピュータ上での足し算はしばしば足し算を変化させる。古代のそろばんや加算器では、両方の加法が破壊され、和だけが残る。そろばんが数学的思考に与えた影響は強く、初期のラテン語の教科書には、「ある数とある数」を足し算する過程で、両方の数が消滅するとしばしば書かれていた。現代では、マイクロプロセッサのADD命令は、しばしばオージェンドを和に置き換えるが、アドエンドは保持する。高水準プログラミング言語では、a + bを評価してもaもbも変わらない。aを和に置き換えることを目的とする場合、通常はa = a + bという文で明示的に要求しなければならない。

// 反復アルゴリズム
int add(int x, int y) {
    int carry = 0;
    while (y != 0) {      
        carry = AND(x, y);   // 論理AND
        x     = XOR(x, y);   // 論理XOR
        y     = carry << 1;  // 左ビットシフトして1つ繰り上げる
    }
    return x; 
}

// 再帰的アルゴリズム
int add(int x, int y) {
    return x if (y == 0) else add(XOR(x, y), AND(x, y) << 1);
}

コンピュータでは、加算の結果が大きすぎて格納できない場合、算術オーバーフローが発生し、不正解となる。予期しない算術オーバーフローは、プログラム・エラーのかなり一般的な原因である。このようなオーバーフローのバグは、検証テストに使用される可能性が低い、非常に大きな入力データセットにのみ現れる可能性があるため、発見や診断が難しい場合がある。2000年問題は、年号に2桁のフォーマットを使用したためにオーバーフローエラーが発生した一連のバグである。

数の足し算[edit | edit source]

足し算の通常の性質を証明するには、まず問題の文脈に合わせて足し算を定義しなければならない。加算はまず自然数について定義される。整数、有理数、実数である。(数学教育では、負の数が考慮される前に正の分数が加えられる。これも歴史的な流れである)。

自然数[edit | edit source]

もし自然数を有限集合の基数（集合の基数とは、その集合に含まれる要素の数である）と定義するならば、その和を次のように定義するのが適切である：

N(S)を集合Sの基数とする。N(A)=a、N(B)=bの2つの不連続集合A、Bをとり、a+bを${\displaystyle N(A\cup B)}$と定義する。

ここで、A∪BはAとBの和である。この定義の別バージョンでは、AとBが重なる可能性を許容し、それらの不連続な和を取ることで、共通の要素を分離し、したがって2回数えることができるメカニズムである。

もうひとつの一般的な定義は再帰的である：

n+をnの後続者、つまり自然数でnに続く数とすると、0+=1、1+=2である。一般和を再帰的にa + (b+) = (a + b)+で定義する。したがって、1＋1＝1＋0+＝(1＋0)+＝1+＝2である。

繰り返しになるが、文献にはこの定義に細かいバリエーションがある。文字通りに解釈すれば、上記の定義は部分順序集合N2に対する再帰定理の応用である。一方、自然数の集合にのみ適用される限定再帰定理を使うことを好む文献もある。その場合、aを一時的に "固定" とみなし、bに再帰を適用して関数 "a +" を定義し、すべてのaに対してこれらの単項演算を貼り合わせて完全な二項演算を形成する。

この足し算の再帰的定式化は、1854年に早くもデデキントによって開発された。彼は数学的帰納法によって、特に結合特性と可換特性を証明した。

整数[edit | edit source]

整数の最も単純な概念は、絶対値（これは自然数である）と符号（一般に正または負のいずれか）から構成されるというものである。整数のゼロは特別な第3のケースであり、正でも負でもない。これに対応する足し算の定義は、場合によって進めなければならない：

整数nについて、|n|をその絶対値とする。aとbを整数とする。aかbのどちらかが0ならば、それを恒等式として扱う。a と b がともに正ならば、a + b = |a| + |b| と定義する。a と b がともに負のときは、a + b = -(|a| + |b|) と定義する。a と b が異なる符号を持つ場合、a + b を|a|と|b|の差と定義し、絶対値の大きい方の項を符号とする。例として、-6 + 4 = -2；-6と4は符号が異なるので、それらの絶対値を引き、負の項の絶対値の方が大きいので、答えは負となる。

この定義は具体的な問題には有効だが、考えるべきケースが増えるため、証明が不必要に複雑になる。そこで、整数の定義には次のような方法がよく使われる。すべての整数は2つの自然整数の差であり、そのような2つの差、a - bとc - dは、a + d = b + cである場合に限り等しいという発言に基づいている。

(a, b) ~ (c, d)は、a + d = b + cである場合にのみ成り立つ。

(a,b)の同値類は、a≧bなら(a - b, 0)、そうでなければ(0, b - a)を含む。nが自然数の場合、(n, 0)の同値類を+n、(0, n)の同値類を-nと表すことができる。これにより、自然数nと同値類+nを識別することができる。

順序対の足し算は成分的に行われる：

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$

簡単な計算で、結果の同値類は和の同値類にのみ依存し、したがってこれは同値類の足し算、つまり整数を定義することがわかる。もう一つの簡単な計算は、この足し算が上記の場合の定義と同じであることを示している。

整数を自然数のペアの同値類として定義するこの方法は、キャンセル特性を持つ任意の可換半群を群に埋め込むために使うことができる。ここで、半群は自然数によって形成され、群は整数の加法群である。有理数も同様に、0でない整数と乗算を半群として構成される。

この構成はグロテンディーク群の名で、任意の可換半群の場合にも一般化されている。キャンセルの性質がなければ、半群から群への半群同型性は非射影になる可能性がある。元来、グロテンディーク群は、より具体的には、この構成を半群演算としての直和を持つアベル範疇の対象の同型性の下の同値類に適用した結果であった。

有理数（分数）[edit | edit source]

有理数の足し算は最小公倍数を用いて計算できるが、概念的により単純な定義は整数の足し算と掛け算だけである：

定義 ${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.}$

例として、和 ${\displaystyle {\frac {3}{4}}+{\frac {1}{8}}={\frac {3\times 8+4\times 1}{4\times 8}}={\frac {24+4}{32}}={\frac {28}{32}}={\frac {7}{8}}}$.

分数の足し算は、分母が同じならもっと簡単である。この場合、分母を同じにして分子を足せばよい：${\displaystyle {\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}}}$ なので、${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1+2}{4}}={\frac {3}{4}}}$ となる。

有理数の加算の可換性と結合性は、整数演算の法則の簡単な帰結である。より厳密で一般的な議論は分数の分野を参照。

実数[edit | edit source]

実数の集合の一般的な構成は、有理数の集合のデデキント補完である。実数は有理数のデデキンド切断と定義される：有理数の空でない集合で、下方に閉じていて最大要素を持たないもの。実数aとbの和は要素ごとに定義される：

${\displaystyle a+b=\{q+r\mid q\in a,r\in b\}}$ を定義する。

この定義は1872年にRichard Dedekindによって少し修正された形で最初に発表された。実数足し算の可換性と結合性はすぐにわかる。実数0を負の有理数の集合と定義すれば、加法同一であることが簡単にわかる。加算に関するこの構成で最も厄介なのは、加法的逆数の定義であろう。

残念ながら、デデキントカットの乗算を扱うのは、符号付き整数の加算と同様、ケースバイケースで時間のかかる作業である。もう一つのアプローチは有理数の計量補完である。実数は基本的に有理数のコーシー数列の極限、lim anと定義される。足し算は項ごとに定義される：

${\displaystyle \lim _{n}a_{n}+\lim _{n}b_{n}=\lim _{n}(a_{n}+b_{n})}$ を定義する。

この定義はゲオルク・カントールによって1872年に発表されたものである．コ・コーシー数列を扱いながら、この操作がよく定義されていることを証明しなければならない。一旦この作業が終われば、実数加算のすべての性質は有理数の性質から直ちに導かれる。さらに、乗算を含む他の算術演算も、簡単で類似の定義を持っている。

複素数[edit | edit source]

複素数の足し算は、和の実数部と虚数部の足し算である。つまり

${\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.}$

複素数平面の点として解釈される2つの複素数AとBの和は、3つの頂点がO、A、Bである平行四辺形を作ることによって得られる点Xである。

一般化[edit | edit source]

実数上の加算操作の一般化と見なせる二項演算は数多くある。抽象代数の分野では、このような一般化された演算が中心であり、集合論や圏論にも登場する。

抽象代数[edit | edit source]

ベクトル[edit | edit source]

線形代数では、ベクトル空間は任意の2つのベクトルを加算し、ベクトルをスケーリングできる代数的構造である。ユークリッド平面上の原点から平面上の点(a,b)までのベクトルが(a,b)である。2つのベクトルの和は、それぞれの座標を足すことで得られる：

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$

この加算操作は、速度、加速度、力がすべてベクトルで表される古典力学の中心的なものである。

行列[edit | edit source]

行列の加算は同じ次元の2つの行列に対して定義される。2つのm×n（「m by n」と発音する）行列AとBの和（A + Bと表記する）は、対応する要素を加算することによって計算されるm×n行列である：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$

例えば

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}}$

モジュラー算術[edit | edit source]

モジュラー算法では、使用可能な数の集合は整数の有限部分集合に制限され、加算はモジュラスと呼ばれるある値に達すると「回り込む」。例えば、モジュロ12整数の集合は12個の要素を持ち、音楽の集合論の中心である加算操作を整数から受け継いでいる。モジュロ2の整数集合は2つの要素しか持たない。この集合が継承する加算演算は、ブール論理学では「排他的論理和」関数として知られている。同じような "折り返し" 演算が幾何学にもあり、2つの角度の和は実数モジュロ2πの和とみなされることが多い。これは円上の加算操作に相当し、多次元トーリの加算操作に一般化される。

一般理論[edit | edit source]

抽象代数の一般理論では、「加算」演算は集合上の任意の結合演算と可換演算である。このような加算操作を持つ基本的な代数構造には、可換モノイドやアーベル群がある。

集合論と圏論[edit | edit source]

自然数の加算の遠大な一般化は、集合論における序数と基数の加算である。これらは、超限への自然数の加算の2つの異なる一般化を与える。ほとんどの加算操作とは異なり、順序数の加算は可換ではない。しかし、基数の足し算は、不連和演算と密接に関係する可換演算である。

カテゴリー理論では、不連接和は共積演算の特殊なケースとみなされ、一般的な共積はおそらく加算の一般化の中で最も抽象的なものである。直和や楔和などいくつかの共積は、加算との関連を連想させる名前が付けられている。

関連演算[edit | edit source]

足し算は、引き算、掛け算、割り算とともに基本操作のひとつとされ、初等算数で使われる。

算数[edit | edit source]

引き算は足し算の一種と考えることができる。xを足すこととxを引くことが逆関数であるという点で、引き算はそれ自体、足し算の逆関数の一種である。

加算演算を持つ集合が与えられたとき、その集合に対応する減算演算を定義できるとは限らない。一方、減法演算は加算演算、加算逆演算、加算恒等式を一意に決定する。このため、加法群は減法で閉じている集合として記述できる。

乗算は足し算の繰り返しと考えることができる。一つの項xがn回和に現れると、和はnとxの積となる。nが自然数でない場合でも、積は意味を持つ。例えば、-1の乗算は数の加法的逆数をもたらす。

実数と複素数では、加算と乗算は指数関数で置き換えることができる：

${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}.}$

この恒等式は、対数の表を参照し、手で足し算を計算することによって掛け算を実行することを可能にする。また、計算尺での乗算も可能である。この公式は、リー群の広い文脈では、無限小群要素の乗算と関連するリー代数でのベクトルの加算を関係付ける、まだ良い一次近似である。

乗算には加算よりもさらに多くの一般化がある。一般に、乗算の演算は常に加算よりも分配される。この要件は環の定義で公式化されている。整数のようないくつかの文脈では、足し算に対する分配性と乗法的恒等式の存在は、乗算演算を一意に決定するのに十分である。分配性は足し算に関する情報も提供する。積(1 + 1)(a + b)を両方の方法で展開すると、足し算は強制的に可換であると結論づけられる。この理由から、環の加算は一般に可換である。

除算は足し算と少し関係のある算術演算である。a/b = a(b-1)であるから、除算は加算に対して右分配である：(a + b) / c = a/c + b/c。しかし、除算は足し算に対して左分配ではない。1 / (2 + 2)は1/2 + 1/2とは違う。

順序付け[edit | edit source]

最大演算 "max (a, b)" は加算に似た2項演算である。実際、2つの非負数aとbが異なる次数である場合、それらの和はそれらの最大値にほぼ等しい。この近似は、例えばテイラー級数の切り捨てなど、数学の応用において非常に有用である。しかし、"max" が可逆でないため、数値解析では永遠の難題となる。bがaよりはるかに大きい場合、(a + b) - bの単純な計算は許容できない丸め誤差を累積し、おそらくゼロを返すことさえある。有意性の損失も参照のこと。

aかbのどちらかが無限の基数である場合、それらの基数の和は2つのうち大きい方に正確に等しくなる。したがって、無限基数には減算操作はない。

最大化は加算のように可換・結合的である。さらに、加算は実数の順序を保持するので、乗算が加算に分配するのと同じように、加算は "max" に分配する：

${\displaystyle a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c).}$

これらの理由から、トロピカル幾何学では乗算を加算に、加算を最大化に置き換える。この文脈では、加算は「トロピカル乗算」と呼ばれ、最大化は「トロピカル加算」と呼ばれ、トロピカルな「加法同一性」は負の無限大である。加法恒等式は正の無限大である。

これらの観察を結びつけると、トロピカル加算は対数を通して通常の加算とほぼ関連している：

${\displaystyle \log(a+b)\approx \max(\log a,\log b),}$

となり、対数の底が大きくなるほど正確になる。この近似は、量子力学からプランク定数を類推して命名された定数hを抽出し、hがゼロになるにつれて「古典的極限」を取ることによって厳密にすることができる：

${\displaystyle \max(a,b)=\lim _{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).}$

この意味で、最大演算は加算のデ量子化バージョンである。

加算の他の方法[edit | edit source]

インクリメント、別名サクセサー演算は、数値に1を足すことである。

和算とは、任意の数の足し算のことで、通常は2つ以上である。これには、それ自身である1つの数の和と、ゼロである空和の考え方が含まれる。無限和は級数として知られる微妙な手順である。

有限集合を数えることは、その集合の上で1を合計することと等価である。

積分は、連続体上の、より正確には一般的には微分可能な多様体上の、一種の「和」である。ゼロ次元の多様体上の積分は和に帰着する。

線形結合は乗算と和算を組み合わせたもので、各項が乗数を持つ和であり、通常は実数または複素数である。線形結合は、ゲーム理論における戦略の混合や量子力学における状態の重ね合わせなど、単純な足し算が何らかの正規化規則に違反するような文脈で特に有用である。

畳み込みは、分布関数によって定義された2つの独立した確率変数を加算するために使用されます。その通常の定義は、積分、減算、乗算を組み合わせたものです。一般に、畳み込みは一種の領域側加算として有用であり、対照的にベクトル加算は一種の範囲側加算である。

参照[edit | edit source]

月の算術

暗算

平行加算（数学）

言葉の算術（暗号算としても知られる）、足し算を含むパズル

備考[edit | edit source]

"addend" はラテン語ではない。ラテン語では、numerus addendus "加算される数" のように、さらに活用されなければならない。

著者の中には、"carry" は教育には不適切だと考える人もいる。Van de Walle (p. 211)は "obsolete and conceptually misleading" と呼び、"trade" を好んでいる。しかし、「キャリー」は依然として標準的な用語である。