1998　大学入試センター試験　本試験　数I・数IA・旧数IMathJax

【１】

〔１〕　$a$を実数とするとき，放物線

$y=x^2+ax+a-4\cdots \text{①}$

と$2$次方程式

$x^2+ax+a-4=0\cdots \text{②}$

について考える．

(1)　放物線$\text{①}$の頂点の$y$座標は

$-{\left({\displaystyle \frac{a-\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\right)}^2-\boxed{\text{ウ}}$

である．したがって，$2$次方程式$\text{②}$は二つの解$\alpha \text{，}$$\beta$をもつ．ここで，${(\alpha -\beta )}^2<28$となるのは$\boxed{\text{エオ}}<a<\boxed{\text{カ}}$のときである．

(2)　放物線$\text{①}$は$a$の値にかかわらず点$(-\boxed{\text{キ}},-\boxed{\text{ク}})$を通る．また，$\text{①}$の頂点は放物線

$y=-x^2-\boxed{\text{ケ}}x-\boxed{\text{コ}}\cdots \text{③}$

上にある．

(3)　二つの放物線$\text{①}$と$\text{③}$の頂点の$y$座標が等しくなるのは

$a=\boxed{\text{サ}}$

のときである．

【１】

〔２〕　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$二人のそれぞれがもつ袋には，次のように点数のついた玉が$6$個ずつ入っている．

$\mathrm{A}$の袋：　$6$点の玉$2$個，$3$点の玉$1$個，$0$点の玉$3$個

$\mathrm{B}$の袋：　$6$点の玉$1$個，$3$点の玉$3$個，$0$点の玉$2$個

　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は，各自の袋から玉を$1$個取り出して元に戻す．このとき，取り出した玉の点数をその人の得点とする．これを$2$回行って合計得点について考える．

(1)　$\mathrm{A}$の合計得点が$6$点になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シス}}}{\boxed{\text{セソ}}}}$である．

(2)　$\mathrm{A}$の合計得点の期待値は$\boxed{\text{タ}}$である．

(3)　$\mathrm{A}$の合計得点と$\mathrm{B}$の合計得点がともに$6$点になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チツテ}}}{1296}}$である．

(4)　$\mathrm{A}$の合計得点と$\mathrm{B}$の合計得点が等しくなる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{トナニ}}}{1296}}$である．

【２】　四角形$\mathrm{ABCD}$は円に内接し，$\angle \mathrm{ABC}$は鈍角で

$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{6}\text{，}$$\sin \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$

とする．また，線分$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$は直角に交わるとする．

　このとき

$\cos \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\text{，}$$\mathrm{AC}=\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}$

となる．円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}$であり

$\sin \angle \mathrm{CAB}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\text{，}$$\sin \angle \mathrm{ACB}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{サ}}}}{\boxed{\text{シ}}}}$

となる．また，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$である．さらに，$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{H}$とおくと

$\mathrm{CH}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}\text{，}$$\mathrm{BD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$

であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\boxed{\text{トナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}$である．

【３】　平面上において，点$\mathrm{O}$を重心とする正三角形を考える．$1$から$9$までの$9$個の整数のうちの互いに異なる$4$個を，この三角形の三つの頂点と点$\mathrm{O}$に$1$個ずつ配置する．

　ただし，平面上で点$\mathrm{O}$を中心としてその三角形を回転させたとき移りあう配置は同じとみなす．

　四つの点を互いに結んでできる$6$本の線分について，その両端に配置された数の和が偶数ならばその線分を黒く塗り，奇数ならば白く塗るとする．

(1)　相違なる配置の総数は$\boxed{\text{アイウエ}}$であり，そのうちすべての線分が黒である配置は$\boxed{\text{オカ}}$通りである．

(2)　点$\mathrm{O}$を端点とする$3$本の線分がすべて白となる配置は$\boxed{\text{キクケ}}$通りである．

(3)　各配置に対して黒い線分の本数を数えるとき，その本数の最小値は$\boxed{\text{コ}}$であり，その最小値をとるような配置は$\boxed{\text{サシス}}$通りである．

【２】

〔１〕　$x$の整式

$A=x^4-8x^3+14x^2+8x-1$

がある．

(1)　$A$を$x^2-5x-2$で割ったとき

商は	$x^2-\boxed{\text{ア}}x+\boxed{\text{イ}}$
余りは	$\boxed{\text{ウ}}x+\boxed{\text{エ}}$

である．

(2)　$x=2+\sqrt{3}$のとき

$x^2-4x=\boxed{\text{オカ}}$

であり，そのときの$A$の値は$\boxed{\text{キ}}$となる．

【２】

〔２〕　四角形$\mathrm{ABCD}$は円に内接し，$\angle \mathrm{ABC}$は鈍角で

$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{6}\text{，}$$\sin \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$

とする．また，線分$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$は直角に交わるとする．

　このとき

$\cos \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}}\text{，}$$\mathrm{AC}=\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$

となる．円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$であり

$\sin \angle \mathrm{CAB}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\text{，}$$\sin \angle \mathrm{ACB}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}}{\boxed{\text{テ}}}}$

となる．また，$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{H}$とおくと，$\mathrm{DH}=\boxed{\text{トナ}}\mathrm{BH}$である．

【３】　正の偶数を小さいものから順に並べた数列

$2,4,6,8,\cdots$

について考える．

(1)　連続して並ぶ$5$項のうち，初めの$3$項の和が次の$2$項の和に等しければ，$5$項のうちの中央の項は$\boxed{\text{アイ}}$である．

(2)　連続して並ぶ$2n+1$項のうち，初めの$n+1$項の和が次の$n$項の和に等しければ，$2n+1$項のうちの中央の項は

$\boxed{\text{ウ}}{n}^2+\boxed{\text{エ}}n$

である．

(3)　連続して並ぶ$5$項のうち，初めの$3$項の$2$乗の和が次の$2$項の$2$乗の和に等しければ，$5$項のうちの中央の項は$\boxed{\text{オカ}}$である．

(4)　連続して並ぶ$2n+1$項のうち，初めの$n+1$項の$2$乗の和が次の$n$項の$2$乗の和に等しければ，$2n+1$項のうちの中央の項は

$\boxed{\text{キ}}{n}^2+\boxed{\text{ク}}n$

である．

【４】　三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}$上にそれぞれ点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$を$\mathrm{AD}:\mathrm{AE}=2:3$となるようにとる．直線$\mathrm{DE}$と直線$\mathrm{BC}$は点$\mathrm{F}$で交わるとする．

(1)　$\mathrm{AD}:\mathrm{BD}=2:3\text{，}$$\mathrm{AE}:\mathrm{CE}=3:1$であるとき，三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$S$，四角形$\mathrm{BCED}$の面積を$T$とすれば，${\displaystyle \frac{S}{T}=\frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(2)　$\mathrm{BD}:\mathrm{CE}=3:1$とする．このとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{CF}}=\frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

　さらに，$4$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{D}$が同一円周上にあるとき，$\mathrm{AD}=2a\text{，}$$\mathrm{CE}=b$とおくと$\boxed{\text{オ}}a=\boxed{\text{カ}}b$である．したがって

${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}\text{，}}$${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}=\frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$

である．また，${\displaystyle \frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{DF}}=\frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$となる．

【５】　次のプログラムは$2$以上の自然数$N$を入力したときに，$N$以上の最小の$2$の累乗$2^a$を求め，$a$と$b=2^a$を表示させるものである．変数$A$と変数$B$がそれぞれ$a$と$b$とに対応する．

• 10 INPUT N
• 20 A=0
• 30 B=1
• 40 A=A $\boxed{\text{ア}}$ 1
• 50 B=B $\boxed{\text{イ}}$ 2
• 60 IF B $\boxed{\text{ウ}}$ N THEN GOTO $\boxed{\text{エオ}}$
• 70 PRINT "A=";A,"B=";B
• 80 END

(1)　上の$\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\boxed{\text{イ}}\text{，}$$\boxed{\text{ウ}}$については，当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから選び，$\boxed{\text{エオ}}$については行番号をいれて，プログラムを完成せよ．

• $\overline{)\text{0}}+$
• $\overline{)\text{1}}-$
• $\overline{)\text{2}}*$
• $\overline{)\text{3}}/$
• $\overline{)\text{4}}=$
• $\overline{)\text{5}}<>$
• $\overline{)\text{6}}>$
• $\overline{)\text{7}}<$
• $\overline{)\text{8}}>=$
• $\overline{)\text{9}}<=$

(2)　$N$に$5$を入力したとき，$40$行は$\boxed{\text{カ}}$回実行され，画面には$A$として$\boxed{\text{キ}}$が表示され，$B$として$\boxed{\text{ク}}$が表示される．

(3)　$N$に$1998$を入力したとき，画面には$A$として$\boxed{\text{ケコ}}$が表示され，$B$として$\boxed{\text{サシスセ}}$が表示される．

【１】(1)　二つの整式

$x^2-5x-14\text{，}$$x^3-x^2-5x+2$

の最大公約数は$x+\boxed{\text{ア}}$であり，最小公倍数は

$x^4-\boxed{\text{イ}}{x}^3+\boxed{\text{ウ}}{x}^2+\boxed{\text{エオ}}x-\boxed{\text{カキ}}$

である．

(2)　$f(x)$と$g(x)$は最高次の係数が$1$の整式であり，$f(x)$の次数は$2$とする．$f(x)$と$g(x)$の最大公約数が$x+3$で，最小公倍数が

$x^4-3x^3-4x^2+33x-27$

であるとき

• $f(x)=x^3+\boxed{\text{ク}}x-\boxed{\text{ケ}}$
• $g(x)=x^3-\boxed{\text{コ}}{x}^2-\boxed{\text{サ}}x+\boxed{\text{シス}}$

である．

(3)　(2)における$f(x)\text{，}g(x)$に対して

$h(x)={\displaystyle \frac{f(x)}{x+3}\cdot \frac{g(x)}{x+3}}$

とおき，$2$次方程式$x^2-5x+8=0$の解を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．

　このとき

• $h(\alpha )+h(\beta )=\boxed{\text{セ}}$
• $h(\alpha )h(\beta )=\boxed{\text{ソ}}$

である．

【２】

〔１〕　座標平面上で方程式

$x^2-14x+y^2-6y+50=0$

によって表される図形$C$は

中心$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$，半径$\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$

の円である．

(1)　点$\mathrm{P}(x,y)$が$C$上を動くとき

$x+y$の最大値は$\boxed{\text{オカ}}\text{，}x+y$の最小値は$\boxed{\text{キ}}$

である．

(2)　直線$x=a$に関して$C$と対称な図形を$C^{\prime }$，直線$y=b$に関して$C^{\prime }$と対称な図形を$C^{″}$とする．

　$C$が直線$x+y=0$に関して$C^{″}$と対称となるとき

$a=\boxed{\text{ク}}\text{，}b=\boxed{\text{ケコ}}$

である．

【３】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数とし，$f(x)={\displaystyle \frac{ax+b}{x+c}}$とおく．

　$y=f(x)$のグラフは点$(\mathrm{-4},4)$を通り，漸近線が$x=\mathrm{-5}\text{，}$$y=3$である双曲線とする．このとき

$a=\boxed{\text{ア}}$，$b=\boxed{\text{イウ}}$，$c=\boxed{\text{エ}}$

である．

　$y=f(x)$の逆関数は

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オカ}}x+\boxed{\text{キク}}}{x-\boxed{\text{ケ}}}}$

であり，この関数のグラフはもとの双曲線$y=f(x)$を

$x$軸方向に$\boxed{\text{コ}}\text{，}y$軸方向に$\boxed{\text{サシ}}$

だけ平行移動したものである．

　もとの双曲線$y=f(x)$と直線$y=kx$が共有点をもたない$k$の値の範囲は

$\boxed{\text{スセ}}<k<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソタ}}}{\boxed{\text{チツ}}}}$

である．