1998　大学入試センター試験　本試験　数II・数IIB・旧数IIMathJax

【１】

〔１〕　正の定数$a$に対して，方程式

$5\cdot 2^{-x}+2^{x+3}=2a\cdots \text{①}$

を考える．$t=2^x$とおくと，方程式$\text{①}$は

$t^2-{\displaystyle \frac{a}{\boxed{\text{ア}}}}t+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{8}}=0\cdots \text{②}$

となり，さらに

${(t-{\displaystyle \frac{a}{\boxed{\text{ウ}}}})}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}-a^2}{\boxed{\text{カキ}}}}=0$

と変形される．したがって，$a>\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケコ}}}$のとき方程式$\text{②}$は$2$個の解をもつ．

　また，$a=\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケコ}}}$のとき方程式$\text{①}$は，ただ一つの解

$x={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{サ}}}}({\log }_2\boxed{\text{シ}}-\boxed{\text{ス}})$

をもつ．

【１】

〔２〕　$0°\leqq \theta \leqq 90°$の範囲で，関数

• $f(\theta )=\sqrt{6}\cos \theta +\sqrt{2}\sin \theta$
• $g(\theta )=\sqrt{2}\cos \theta -\sqrt{6}\sin \theta$

を考える．

(1)　$f(60°)=\sqrt{\boxed{\text{セ}}}$である．

(2)　$\theta =\boxed{\text{ソタ}}°$のとき，$f(\theta )$は最小値$\sqrt{\boxed{\text{チ}}}$をとる．

(3)　$g(\theta )=\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}\cos (\theta +\boxed{\text{トナ}}°)$と表せる．とくに，$g\left(\theta \right)=-{\displaystyle \frac{8\sqrt{2}}{5}}$ならば，

$f(\theta )={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}}{\boxed{\text{ネ}}}}\text{，}$$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}+\boxed{\text{ハ}}\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}}{10}}$

となる．

【２】　$a>0$とし，直線$y=2ax$を$l$とする．

(1)　点$(\mathrm{-1},0)$で$x$軸に接する放物線$C_1$が直線$l$にも接しているとする．その接点$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イウ}})$であり，$C_1$の方程式は$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}{(x+1)}^2$である．

　次に，$x$軸に接する放物線$C_2:y=p{(x-q)}^2$が点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$での接線が直線$l$と直交しているとする．このとき，点$\mathrm{P}$での$C_2$の接線の傾きは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{クケ}}}}$であり，$p$と$q$は

$p={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{コサ}}{a}^{\boxed{\text{シ}}}}}\text{，}$$q=\boxed{\text{ス}}+\boxed{\text{セ}}{a}^{\boxed{\text{ソ}}}$

である．

(2)　放物線$C_1\text{，}$$x$軸，直線$x=\boxed{\text{ア}}$で囲まれる部分の面積を$S_1$とし，また放物線$C_2\text{，}x$軸，直線$x=\boxed{\text{ア}}$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1\text{，}$$S_2$は$a$を用いてそれぞれ

$S_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}a\text{，}$$S_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツテ}}}{\boxed{\text{ト}}}}{a}^{\boxed{\text{ナ}}}$

と表される．

　したがって，$3S_1=S_2$となるのは，$a={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$のときである．

【３】　二つの$2$次関数

$f(x)=x^2\text{，}$$g(x)=x^2-6x+12$

を考える．放物線$y=g(x)$の頂点は$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$であり，二つの放物線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$は点$(\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エ}})$で交わる．

　放物線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線$l$の方程式は

$y=\boxed{\text{オ}}ax-a^2$

である．この直線$l$がもう一方の放物線$y=g(x)$にも接するならば，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．このとき，直線$l$と放物線$y=g(x)$との接点の$x$座標は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$であり，二つの放物線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)\text{，}$およびこれらに接する直線$l$で囲まれる部分の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$となる．

【４】　円$C:x^2+y^2-6ax-4ay+26a-65=0$の中心の座標は

$(\boxed{\text{ア}}a,\boxed{\text{イ}}a)$

であり，円$C$は$a$の値によらず$2$定点

$\mathrm{A}(\boxed{\text{ウエ}},\boxed{\text{オ}})\text{，}$$\mathrm{B}(\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{キク}})$

を通る．点  $\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$における円$C$の接線の傾きはそれぞれ

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコ}}a-\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}a-\boxed{\text{ス}}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セソ}}a+\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}a+\boxed{\text{ツ}}}}$

である．ただし，分母が$0$となる場合は除いて考えるものとする．

　この$2$定点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$における円$C$の$2$本の接線が直交するならば$a=\boxed{\text{テト}}$または$a=\boxed{\text{ナ}}$である．

　また，点$\mathrm{A}$における円$C$の接線が原点を通れば$a=\boxed{\text{ニ}}$である．

【３】　右図のように向かい合う面が平行である六面体$\mathrm{OABC}-\mathrm{DEFG}$がある．ただし，面$\mathrm{OABC}\text{，}$$\mathrm{CBFG}$は一辺の長さが$1$の正方形であり，面$\mathrm{OCGD}$は$\angle \mathrm{COD}=60°$のひし形である．

　このとき

• $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\boxed{\text{ア}}$
• $\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{イ}}}}$

である．

　$a$を$0<a<1$を満たす数とする．線分$\mathrm{EB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{GE}$を$a:(1-a)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とすると

• $\overrightarrow{\mathrm{PG}}=-\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ウ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$
• $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(a-1)\overrightarrow{\mathrm{OA}}$$+({\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{オ}}}}-\boxed{\text{カ}})\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$

である．

　線分$\mathrm{PQ}$の長さは，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$のとき最小値${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{サシ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}$をとる．

【４】　この問題では，複素数の偏角はすべて$0°$以上$360°$未満とする．

　$\alpha =2\sqrt{2}(1+i)$とし，等式

$|z-\alpha |=2$

を満たす複素数$z$を考える．

(1)　$z$の中で絶対値が最大となるものは

$\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}(\boxed{\text{ウ}}+i)$

である．

(2)　$z$の中で偏角が最大となるものを$\beta$とおくと，${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$の絶対値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{エ}}}}{\boxed{\text{オ}}}}$で，偏角は$\boxed{\text{カキ}}°$である．また

${\displaystyle \beta =\frac{\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}-\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{\boxed{\text{サ}}}}$$+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}+\sqrt{\boxed{\text{セ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}i}$

である．さらに，$\beta$の偏角は$\boxed{\text{タチ}}°$である．

　$1\leqq n\leqq 100$の範囲で，${\beta }^n$が実数になる整数$n$は$\boxed{\text{ツ}}$個ある．

【５】〔１〕　円いテーブルのまわりに$12$個の席がある．そこに二人が座るとき，その二人の間にある席の数のうち少ない方を$X$として確率変数$X$を定める．ただし，二人の間にある席の数が同数の場合は，その数を$X$とする．このとき

$P(X=0)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}}\text{，}$$P(X=1)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オカ}}}}\text{，}$$P(X=5)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}}$

である．

　期待値（平均）は$E\left(X\right)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シス}}}}$であり，分散$V\left(X\right)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セソタ}}}{\boxed{\text{チツテ}}}}$である．

〔２〕　$a\text{，}$$b$を$4$以上の整数とし，$a$個の席のある円いテーブルと$b$個の席のある円いテーブルがある．そこに二人が座るとき，二人がそれぞれ確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$でどちらかのテーブルを選んで座るものとする．二人が同じテーブルでとなりあって座る確率を$p(a,b)$とする．

　いつ$p(a,b)={\displaystyle \frac{1}{14}}$となるかを調べてみよう．$p(a,b)={\displaystyle \frac{1}{14}}$を変形すると

$(a-\boxed{\text{ト}})(b-\boxed{\text{ナ}})=\boxed{\text{ニヌ}}$

となる．

　したがって，$a=b$ならば$a=\boxed{\text{ネノ}}$のとき，$p(a,b)={\displaystyle \frac{1}{14}}$となる．

　また，$a>b$ならば$a=\boxed{\text{ハヒ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{フ}}$のとき，$p(a,b)={\displaystyle \frac{1}{14}}$となる．

【６】　$100$未満の正の整数$a$に対して，正の整数$x\text{，}$$y$で

${\displaystyle \frac{2}{a}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\text{，}$$x\leqq y$

を満たすもののうち$y$をすべて求めるプログラムを作った．ただし，INT(X) は X を超えない最大の整数を表す関数とする．

• 110 INPUT "a = ";A
• 120 B = INT(A/2+1)
• 130 FOR X = B TO A
• 140  Y = 　　　
• 150  IF Y = INT(Y) THEN PRINT "y = ";Y
• 160 NEXT X
• 170 END

　このプログラムにおいて，行番号 140 の行の$\boxed{}$内は次の$\text{①}$の右辺に対応した式を書くものとする．

(1)　$y$を$x$の式で表すと

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}x}{\boxed{\text{イ}}x-\boxed{\text{ウ}}}}\cdots \text{①}$

となる．

(2)　a = ? に対して$7$を入力したとき y = $\boxed{\text{エオ}}$および y = $\boxed{\text{カ}}$がこの順に表示される．このとき，各$y$に対応した$x$はそれぞれ$\boxed{\text{キ}}$と$\boxed{\text{ク}}$である．

(3)　a = ? に対して 12 を入力したとき y = $\boxed{\text{ケコ}}\text{，}$y = $\boxed{\text{サシ}}\text{，}$y = $\boxed{\text{スセ}}\text{，}$y = $\boxed{\text{ソタ}}\text{，}$y = $\boxed{\text{チツ}}$がこの順に表示される．

【１】

〔１〕　$\mathrm{AB}⫽\mathrm{DC}\text{，}$$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{DC}=1$の台形$\mathrm{ABCD}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおく．

(1)　$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とすると

$\overrightarrow{\mathrm{DE}}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ア}}}\overrightarrow{a}-\frac{1}{\boxed{\text{イ}}}\overrightarrow{b}}$

である．

(2)　$\mathrm{AC}$と$\mathrm{DE}$の交点を$\mathrm{M}$とすると

$\overrightarrow{\mathrm{AM}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エオ}}}\overrightarrow{a}+\frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}\overrightarrow{b}}$

である．

(3)　$\mathrm{C}$を通り$\mathrm{AD}$に平行な直線と$\mathrm{DE}$との交点を$\mathrm{N}$とすると

$\overrightarrow{\mathrm{DN}}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ク}}}\overrightarrow{a}-\frac{1}{\boxed{\text{ケ}}}\overrightarrow{b}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{MN}}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{コサ}}}\overrightarrow{a}-\frac{1}{\boxed{\text{シス}}}\overrightarrow{b}}$

である．

〔２〕　三角形$\mathrm{ABC}$とその外部の点$\mathrm{P}$がある．線分$\mathrm{AP}$は辺$\mathrm{BC}$と点$\mathrm{Q}$で交わり

$11\overrightarrow{\mathrm{PA}}=13\overrightarrow{\mathrm{PB}}+17\overrightarrow{\mathrm{PC}}$

が成り立つとする．このとき

${\displaystyle \frac{\mathrm{QB}}{\mathrm{QC}}=\frac{\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タチ}}}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツテ}}}{\boxed{\text{トナ}}}}\overrightarrow{\mathrm{PA}}\text{，}$${\displaystyle \frac{▵\mathrm{PAB}}{▵\mathrm{PBC}}=\frac{\boxed{\text{ニヌ}}}{\boxed{\text{ネノ}}}}$

である．

【２】

〔１〕　$f(x)=-x^2+px+q$とする．放物線$y=f(x)$は点$(t,f(t))$で直線$x+y=1$に接しているものとする．

(1)　$p\text{，}$$q$を$t$で表すと

$p=\boxed{\text{ア}}t-\boxed{\text{イ}}\text{，}$$q=\boxed{\text{ウ}}-t^{\boxed{\text{エ}}}$

である．

(2)　$t>0$とする．

${\displaystyle {\int }_0^t}f(x)dx={\displaystyle -\frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}{t}^3-\frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}{t}^2+t}$

であり，これは$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコ}}+\sqrt{\boxed{\text{サ}}}}{\boxed{\text{シ}}}}$のとき最大となる．

【２】

〔２〕　$k$を定数として，関数$g(x)={\sin }^{4}x-2{\cos }^{2}x-(k^2+4k+1)$を考える．ただし，$0°\leqq x<360°$とする．

(1)　$g(x)=0$を満たす$x$が存在するための$k$の条件を求めよう．

　$X={\sin }^{2}x$とおくと，$g(x)=0$は

$X^2+\boxed{\text{ス}}X-(k^2+4k+\boxed{\text{セ}})=0$

となり，$0\leqq X\leqq 1$なので，求める条件は

$\boxed{\text{ソタ}}\leqq k\leqq \boxed{\text{チツ}}\text{，}$$\boxed{\text{テト}}\leqq k\leqq \boxed{\text{ナ}}$

である．

(2)　$\boxed{\text{ソタ}}<k<\boxed{\text{チツ}}$または$\boxed{\text{テト}}<k<\boxed{\text{ナ}}$のとき，$g(x)=0$を満たす$x$のうち異なるものは$\boxed{\text{ニ}}$個ある．

(3)　$g(x)=0$を満たす最大の$x$は

• $k=0$のときは$x=\boxed{\text{ヌネノ}}°$
• $k=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$のときは$x=\boxed{\text{ハヒフ}}°$

である．

【３】　袋の中に，$1$から$13$までの各数を一つずつ書いた$13$個の球が入っている．この袋の中から$3$個の球を同時に取り出し，それらに書かれている数を小さい方から順に$x\text{，}$$y\text{，}$$z$とする．

(1)　$x\text{，}$$y\text{，}$$z$が連続した三つの数になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}}$である．

(2)　積$xyz$が奇数である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カキク}}}}$である．

　積$xyz$が$3$の倍数である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコサ}}}{\boxed{\text{シスセ}}}}$である．

(3)　$x+y+z=21$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タチツ}}}}$である．

　$6\leqq t\leqq 36$を満たす整数$t$に対して，$x+y+z=t$である確率は$x+y+z=\boxed{\text{テト}}-t$である確率と等しい．

　$6\leqq x+y+z\leqq 20$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナニ}}}{\boxed{\text{ヌネノ}}}}$である．