Riesel generalizzati (numeri di)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri di Riesel generalizzati” in base b gli interi positivi k maggiori di 1 tali che:

• b – 1 e k – 1 siano primi tra loro;
• non esista un numero razionale r tale che b^r = k;
• kbⁿ – 1 sia composto per qualsiasi valore intero positivo di n.

I numeri di Riesel corrispondono al caso b = 2.

 

La prima condizione serve a evitare che per qualsiasi n esista uno stesso divisore, perché se d divide b – 1 e k – 1, kbⁿ – 1 ≡ (1)1ⁿ – 1 = 0 mod d; in particolare b e k non possono essere entrambi dispari. La seconda esclude che k e b siano potenze di uno stesso intero m, perché in tal caso kbⁿ – 1 diviene m^q – 1, sempre composto se m > 2 (v. numeri pluriunitari); va però detto che alcuni ricercatori sostituiscono a questa altre condizioni che eliminano scomposizioni elementari.

 

Per dimostrare che un intero è un numero di Riesel generalizzato si cerca, come nel caso dei numeri di Riesel, un insieme S di primi tali che kbⁿ – 1 sia divisibile per uno di essi, per qualsiasi valore di n.

Se l’insieme S permette di dimostrare che k è un numero di Riesel generalizzato in base b, lo stesso insieme permette anche di dimostrare che k’ è un numero di Riesel generalizzato in base b’, se k’ ≡ k mod P e b’ ≡ b mod P, dove P è il prodotto dei primi in S.

 

In ogni base esistono infiniti numeri di Riesel generalizzati.

 

La tabella seguente mostra i minimi numeri di Riesel generalizzati noti nelle basi fino a 100; il punto interrogativo indica i numeri non dimostrati minimi per quella base, nel qual caso tra parentesi vi è il numero di candidati ancora da escludere. Nelle basi 7, 15 e 71 non sono state esaminati tutti i numeri minori del minimo trovato.

Base	Minimo numero di Riesel generalizzato
2	509203? (42)
3	63064644938? (99856)
4	9
5	346802? (54)
6	84687? (1)
7	408034255082? (≥ 37768)
8	14
9	4
10	10176? (1)
11	862
12	25
13	302
14	4
15	36370321851498? (≥ 14)
16	9
17	86
18	246
19	144
20	8
21	560
22	4461? (1)
23	476? (1)
24	4
25	36
26	149
27	8
28	144
29	4
30	1369? (2)
31	134718? (1)
32	10
33	16
34	6
35	287860? (418)
36	4
37	116364? (12)
38	13
39	4
40	81
41	8
42	15137? (24)
43	672
44	4
45	22564? (6)
46	8177? (7)
47	14
48	3226? (20)
49	36
50	16
51	64
52	900
53	5392? (64)
54	4
55	6852? (5)
56	20
57	144
58	105788? (255)
59	4
60	121? (1)
61	13484? (2)
62	8
63	187258666? (177330)
64	9
65	10
66	101954772? (66553)
67	900
68	22
69	4
70	6176? (2)
71	1132052528? (≥ 4976)
72	293
73	36
74	4
75	4086? (8)
76	120
77	14
78	90059? (40)
79	144
80	253? (2)
81	4
82	22326? (66)
83	8
84	4
85	398534880? (449216)
86	28
87	1660? (10)
88	9702? (19)
89	4
90	25
91	229058? (29)
92	32
93	612? (1)
94	9
95	324
96	484
97	26354? (132)
98	10
99	4
100	9

 

Esistono numeri che sono numeri di Riesel generalizzati in infinite basi, come 6 nelle basi della forma 35m + 34.

Vedi anche

Numeri di Riesel, Numeri di Sierpiński generalizzati.

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