Sierpiński generalizzati (numeri di)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri di Sierpiński generalizzati” in base b gli interi positivi k maggiori di 1 tali che:

• b – 1 e k + 1 siano primi tra loro;

• non esista un numero razionale r tale che b^r = k;

• kbⁿ + 1 sia composto per qualsiasi valore intero positivo di n.

I numeri di Sierpiński (II) corrispondono al caso b = 2.

 

La prima condizione serve a evitare che per qualsiasi n esista uno stesso divisore, perché se d divide b – 1 e k + 1, kbⁿ + 1 ≡ (–1)1ⁿ + 1 = 0 mod d; in particolare b e k non possono essere entrambi dispari. La seconda esclude che k e b siano potenze di uno stesso intero m, perché in tal caso kbⁿ + 1 diviene m^q + 1, composto se q non è una potenza di 2 (v. numeri di Fermat generalizzati); va però detto che alcuni ricercatori sostituiscono a questa altre condizioni che eliminano scomposizioni elementari.

 

Per dimostrare che un intero è un numero di Sierpiński generalizzato si cerca, come nel caso dei numeri di Sierpiński, un insieme S di primi tali che kbⁿ + 1 sia divisibile per uno di essi, per qualsiasi valore di n.

Se l’insieme S permette di dimostrare che k è un numero di Sierpiński generalizzato in base b, lo stesso insieme permette anche di dimostrare che k’ è un numero di Sierpiński generalizzato in base b’, se k’ ≡ k mod P e b’ ≡ b mod P, dove P è il prodotto dei primi in S.

 

Questi numeri sono relativamente comuni: Amy Brunner, Chris K. Caldwell, Daniel Krywaruczekno e Chris Lownsdale dimostrarono che:

• esistono infiniti numeri di Sierpiński generalizzati in ogni base;

• se b non è un numero di Mersenne ed esistono almeno r numeri di Fermat generalizzati in base b b²ⁿ, divisibili per due primi distinti, esistono infiniti numeri dispari k tali che se t è un intero positivo non multiplo di 2^r, k^t è un numero di Sierpiński generalizzato in base b;

• tutti gli interi fino a 3000 sono numeri di Sierpiński generalizzati per qualche base minore di 10⁷, tranne 2, 3, 5, 7, 15, 31, 63, 65, 127, 255, 511, 1023 e 2047.

 

Krywaruczekno dimostrò poi che non esiste alcun insieme finito di primi che permetta di dimostrare che i numeri di Mersenne sono numeri di Sierpiński generalizzati in qualche base e risolse le eccezioni della precedente lista che non sono numeri di Mersenne:

• 2 è un numero di Sierpiński generalizzato in base 1697906241008607249 (dimostrabile con l’insieme { 3, 5, 17, 257, 641, 65537, 6700417 });

• 5 è un numero di Sierpiński generalizzato in base 140324348 (dimostrabile con l’insieme { 3, 13, 17, 313, 11489 });

• 65 è un numero di Sierpiński generalizzato in base 19030688904264 (dimostrabile con l’insieme { 3, 17, 113, 2113, 8925313 }).

E’ quindi probabile che tutti gli interi positivi siano numeri di Sierpiński generalizzati per qualche base, anche se nel caso dei numeri di Mersenne non si conosce un modo semplice per dimostrarlo.

 

La tabella seguente mostra i minimi numeri di Sierpiński generalizzati noti nelle basi fino a 100; il punto interrogativo indica i numeri non dimostrati minimi per quella base, nel qual caso tra parentesi vi è il numero di candidati ancora da escludere (Amy Brunner, Chris K. Caldwell, Daniel Krywaruczekno e Chris Lownsdale). Nelle basi 7, 15 e 71 non sono state esaminati tutti i numeri minori del minimo trovato

Base	Minimo numero di Sierpiński generalizzato
2	78557? (5)
3	125050976086? (394933)
4	66741?
5	159986? (30)
6	174308 (10)
7	1112646039348? (≥ 19909)
8	1, 47
9	2344? (1)
10	9175? (1)
11	1490
12	521
13	132
14	4
15	91218919470156? (≥ 10362)
16	2500
17	278 (1)
18	398
19	765174? (525)
20	8
21	1002
22	6694? (1)
23	182
24	30651? (61)
25	262638? (81)
26	221? (2)
27	8
28	4554? (2)
29	4
30	867? (2)
31	6360528? (503)
32	1, 10
33	1854
34	6
35	214018? (325)
36	1886
37	2604? (3)
38	14
39	166134? (259)
40	826477? (238)
41	8
42	13372? (15)
43	2256? (1)
44	4
45	53474? (26)
46	14992? (12)
47	8
48	1219? (6)
49	2944? (2)
50	16
51	5183582? (3972)
52	28674? (16)
53	1966? (18)
54	21
55	2500? (3)
56	20
57	1188
58	43071? (96)
59	4
60	16957? (19)
61	15168? (9)
62	8
63	3511808? (2901)
64	51?
65	10
66	21314443? (8840)
67	18342? (29)
68	22? (1)
69	6
70	11077? (1)
71	5917678826?
72	731
73	1444
74	4
75	4086? (1)
76	43
77	14
78	186123? (120)
79	2212516? (5594)
80	1039? (12)
81	2500? (3)
82	19587? (55)
83	8
84	16
85	346334170? (358422)
86	28? (1)
87	274? (1)
88	4093? (6)
89	4
90	27
91	89586? (13)
92	32
93	24394? (70)
94	39
95	41354? (365)
96	353081? (387)
97	15996? (82)
98	10
99	684
100	2469? (3)

 

Vedi anche

Numeri di Riesel generalizzati, Numeri di Sierpiński (II).

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