幾何コンテスト2013

• 1. 幾何コン2013 @not_522 @pepsin_amylase
• 2. Problem  A 役⼈人 原案 :  @not_̲522 テスト :  @not_̲522,  @pepsin_̲amylase 解説 :  @pepsin_̲amylase 2013年 6月 30日 幾何コンテスト  2013
• 3. 問題概要 •  xy平⾯面上に300頂点が与えられる •  任意の3点は同⼀一直線上にない •  共有点を持たないように出来るだけ多くの 三⾓角形を作れ 2013年 6月 30日 幾何コンテスト  2013
• 4. 問題概要 •  xy平⾯面上に300頂点が与えられる •  任意の3点は同⼀一直線上にない •  共有点を持たないように出来るだけ多くの 三⾓角形を作れ •  この制約が重要な役割を果たします 2013年 6月 30日 幾何コンテスト  2013
• 5. 解法1 •  x 座標でソートし⼩小さい順に三⾓角形を作る •  x 座標が同じ点は2個以下なのでうまくいき ます 2013年 6月 30日 幾何コンテスト  2013
• 6. 解法1  動作の様⼦子 2013年 6月 30日 幾何コンテスト  2013
• 7. 解法1  動作の様⼦子 2013年 6月 30日 幾何コンテスト  2013
• 8. 解法1  動作の様⼦子 2013年 6月 30日 幾何コンテスト  2013
• 9. 解法2 •  頂点の凸包を取り、そこから辺を⼀一つ選ぶ •  凸包を取ると頂点が辺の⽚片側に寄る •  辺のどちらかの頂点を原点にとり、各頂点 の偏⾓角を考える •  偏⾓角が⼀一番⼩小さい頂点とはじめに選んだ辺 で三⾓角形を作る •  これを100回繰り返す 2013年 6月 30日 幾何コンテスト  2013
• 10. 解法2  動作の様⼦子 2013年 6月 30日 幾何コンテスト  2013
• 11. 解法2  動作の様⼦子 この点からの偏⾓角を考える 2013年 6月 30日 幾何コンテスト  2013
• 12. 解法2  動作の様⼦子 3頂点が同⼀一直線上にないので、 最⼩小偏⾓角の頂点はただひとつに決まる これが最⼩小偏⾓角の頂点 2013年 6月 30日 幾何コンテスト  2013
• 13. 解法2  動作の様⼦子 2013年 6月 30日 幾何コンテスト  2013
• 14. 回答状況 満点の⼈人数：88⼈人 最初に正の得点を得た提出 •  evima（1分21秒, 1点） 最初に満点を得た提出 •  semiexp（3分41秒） 2013年 6月 30日 幾何コンテスト  2013
• 15. Problem  B ⽟玉座の間 原案 :  @not_̲522 テスト :  @not_̲522,  @pepsin_̲amylase 解説 :  @pepsin_̲amylase 2013年 6月 30日 幾何コンテスト  2013
• 16. 問題概要 •  xy平⾯面上にn頂点が与えられる •  y軸に関して線対称になるように点を動かし たい •  移動先は重複していてもよい •  移動距離離の総和を最⼩小化せよ 2013年 6月 30日 幾何コンテスト  2013
• 17. 部分点 •  (1) 50点 :n = 1 •  (2) 50点 :n ≦ 10 •  (3) 50点 :n ≦ 20 •  (4) 50点 :n ≦ 100 2013年 6月 30日 幾何コンテスト  2013
• 18. 解法1（50点） •  1頂点の場合はy軸に移動させるしかない •  x座標の絶対値が答え 2013年 6月 30日 幾何コンテスト  2013
• 19. 解法2（100点） •  対応させるペアの組み合わせをすべて試す •  n! / 2(n/2) ≦ 113400通り 2013年 6月 30日 幾何コンテスト  2013
• 20. 2頂点の組を対称にする •  各ペアを対称にするのに必要な移動距離離 •  = ペアの⽚片⽅方をy軸反転させたあとで2点 を⼀一致させるのに必要な移動距離離 •  = ペアの⽚片⽅方をy軸反転させたあとの2点間 の距離離 •  もしくはそれぞれをy軸にのせるのに必要な 距離離の和 2013年 6月 30日 幾何コンテスト  2013
• 21. 2頂点の組を対称にする ⾚赤実線  = 対称にするのに必要な距離離 ⻘青実線 = y軸に乗せるのに必要な距離離 2013年 6月 30日 幾何コンテスト  2013
• 22. 解法3（150点） •  すでに線対称になっている頂点集合を状態 としたbitDP •  2通りの遷移があるのに注意 •  2頂点をペアとして対称にする •  1頂点をy軸上に移動させる 2013年 6月 30日 幾何コンテスト  2013
• 23. 解法4（200点） •  この図をよく⾒見見ると…… 2013年 6月 30日 幾何コンテスト  2013
• 24. 解法4（200点） •  y軸に載せないほうが得する ⇔ x 座標の符 号が異異なる a •  ということがわかる •  d < c, a < b から従う c d 2013年 6月 30日 幾何コンテスト  2013 b
• 25. 解法4（200点） •  x座標の符号が異異なるペアについてのみ、そ のペアを対称にするのに必要な距離離をコス トとする辺を張ったグラフを作る •  これは⼆二部グラフになる •  ⾜足りない側に  y  =  0  の頂点を付け⾜足して 左右の頂点を同数にしておく •  このようにして作ったグラフ上での最⼩小費 ⽤用完全マッチングとなる •  ⼆二部グラフなので最⼩小費⽤用流流を流流す 2013年 6月 30日 幾何コンテスト  2013
• 26. 回答状況 満点の⼈人数：26⼈人 最初に正の得点を得た提出 •  kyuridenamida（3分6秒, 50点） 最初に満点を得た提出 •  Navi（21分55秒） 2013年 6月 30日 幾何コンテスト  2013
• 27. C 泥棒 原案：@not_522 テスター：@not_522，@pepsin_amylase 解説：@not_522 参考文献：コンピュータ・ジオメトリ
• 28. C 泥棒 ごめんなさい ・制約を読み解くのが難しいです 　　1≦X,Y≦108,アジトは(0,0) 　　　→アジトが囲まれることはない 　　わざとだった（悪質） ・被害者多数 　　数人は出ると思ってましたが…
• 29. C 泥棒 いいわけ ・読み落とす方が悪い ・座標の範囲は気をつけて欲しい 　　-105≦X,Y≦105だと誤差死の危険が ・冷静に考えてそんな難しい問題解けない 　　(4)はたぶん無理
• 30. C 泥棒 問題概要 ・監視所を結んだ線分で家が囲まれるか判定 　　線分に乗っていてもダメ ・監視所はどんどん増える ・家も次々与えられる
• 31. C（１） （１） ・監視所 N≦3 ・家 M=1
• 32. C（１） 線分に乗っているか ・はまりやすいです 　　何も見ずに書いたら自分もはまりました ・線分に対して点がどこにあるか判定 　　ccwを使いましょう 　　http://www.prefield.com/algorithm/geometry/ccw.html
• 33. C（１） 三角形の内部にあるか ・辺から見て全て左側か全て右側ならいい 　　ccwを使いましょう 　　　　 左　　　　　　　　右
• 34. C（２） （２） ・監視所 N≦100 ・家 M≦100
• 35. C（２） 実は（１）と同じ ・全部の線分に対して判定 　　O(N2M) ・全部の三角形に対して判定 　　O(N3M) →間に合う
• 36. C（３） （３） ・監視所 N≦1000 ・家 M≦1000
• 37. C（３） 三角形作ってると間に合いません …のつもりだったがテストケースが弱くて通る 　　ごめんなさい ・そもそも内側の線分とか考える必要ない 　　→凸包
• 38. C（３） 凸包 ・点の集合を覆う最小の凸多角形 　　O(N log N)のアルゴリズムがある 　　　　Andrew's monotone chainなど 　　　　http://www.prefield.com/algorithm/geometry/convex_hull.html ・凸包作るのはO(NMlogN) 　　間に合う
• 39. C（３） 多角形に点が含まれるか ・その点を通る半直線と凸包が何回交わるか 　　偶数だと外部、奇数だと内部 　　crossing number algorithm 　　http://www.prefield.com/algorithm/geometry/contains.html ・一回の判定がO(N)、全体でO(NM) 　　間に合う
• 40. C（４） （４） ・監視所 N≦100000 ・家 M≦100000
• 41. C（４） 監視所多すぎ ・毎回凸包求めてたら終わらない ・内外判定もさっきのアルゴリズムじゃダメ
• 42. C（４） 監視所多すぎ ・毎回凸包求めてたら終わらない 　　→動的凸包 ・内外判定もさっきのアルゴリズムじゃダメ 　　→凸多角形の性質を活かす
• 43. C（４） 動的凸包 ・点の挿入をO(log N)でやる 　　ならし計算量でOK ・計算幾何学では有名な問題 2 ・点の削除があってもO((log N) )らしい 　　Overmars, M. H., van Leeuwen, J. (1981)
• 44. C（４） Andrew's monotone chain ・上包と下包をくっつける 　　　　 上包 　　　　 下包
• 45. C（４） Andrew's monotone chain ・動的にできないか？ ・上包と下包を別々に扱えば良さそう ・挿入する位置を決めて凸になるまで点を削除
• 46. C（４） 動的凸包 ・次の操作がO(log N)でできればOK 　　検索 　　挿入 　　削除 ・そう、平衡二分探索木
• 47. C（４） 平衡二分探索木 ・いろんなことができるデータ構造 　　解説は省略します 　　詳しく知りたい人はこちら 　　http://www.slideshare.net/iwiwi/2-12188757 ・C++ならSTLのsetでも通ります
• 48. C（４） 内外判定 ・動的凸包と同様に上包と下包でわける ・対応する辺を探して上か下か調べる 　　二分探索すればいい 　　O(log N) ・全体でO(M log N)
• 49. C 解答状況 正答数：３ ファーストアクセプト （３）uwi (0:32:14) （４）Navi (1:22:15)
• 50. D 魔女 原案：@not_522 テスター：@not_522，@pepsin_amylase 解説：@not_522
• 51. D 魔女 問題概要 ・魔女を中心とする円形の呪いには入れない ・スタートからゴールへの最短距離を求める ・呪いの半径が時間変化する 　　やばすぎ
• 52. D 魔女 必要なライブラリ ・ある点を通る円の接線 ・２円の共通接線
• 53. D（１） （１） ・N=1 ・Wv=0
• 54. D（１） 経路は３パターンしかない ・まっすぐゴールまで進む 　　呪いに触れずにすむならこれが最短 ・呪いの上側を通る ・呪いの下側を通る スタートを通る接線とゴールを通る接線を 求めると解ける
• 55. D（２） （２） ・N≦10 ・Wv=0
• 56. D（２） グラフに変換して最短経路問題を解く 頂点は ・スタート・ゴール ・スタート・ゴールからの接線の接点 ・２円の共通接線の接点 Impossibleになるケースが存在することに注意
• 57. D（３） （３） ・N≦10 ・Wv=0またはV<Wv
• 58. D（３） （２）にV<Wvが追加されただけ V<Wvの呪いの周囲を移動することは不可能 最短経路で呪いに追いつかれるなら他のルート でも追いつかれる 固定された呪いのみで最短経路を求めゴールで 広がる呪いに追いつかれているか調べればよい
• 59. D（４） （４） ・N=1 ・0<Wv<V
• 60. D（４） 経路は３パターンしかない ・まっすぐゴールまで進む 　　呪いに触れずにすむならこれが最短 ・呪いの上側を通る ・呪いの下側を通る 以降では魔女を原点とし、スタート地点が y軸上にあるとする
• 61. D（４） まっすぐゴールまで進む 呪いと接触しないかの判定が必要 →２次方程式を解くだけ 円の方程式：x2+y2=(Wr + t Wv)2 位置：(Sx + t dx, t dy) これが0 < t < |S-G|/Vに解を持つか判定する
• 62. D（４） 呪いの周囲を通る① スタートから直線移動して呪いの周囲を動く 軌跡になめらかに入る そのまま直線で動くと呪いと接するだけ →２次方程式を解くだけ 円と位置の連立方程式がtについて唯１つ解を もつようなdx,dyを求める
• 63. D（４） 呪いの周囲を通る② 呪いの周囲を動く軌跡 →極座標系で微分方程式を解くだけ 満たすべき方程式（・は時間微分を表す）
• 64. D（４） 呪いの周囲を通る③ 呪いの周囲を動く軌跡 対数螺旋（等角螺旋）になる
• 65. D（４） 呪いの周囲を通る④ 呪いから離れてゴールへ向かう →二分探索するだけ 対数螺旋の「中心を通る直線と螺旋の交点で の接線とのなす角は一定」という性質を使う と比較的容易に書ける
• 66. D（４） 呪いの周囲を通る⑤ 全体の長さを求める 一見、対数螺旋の長さを求める必要がありそう 　→実は要らない 対数螺旋に触れた点、離れた点がわかればWv が一定なのでかかった時間はすぐに求められる
• 67. D 解答状況 正答数：０ ファーストアクセプト （１）uwi (1:24:39) （２）sune2 (2:46:25)