2021(R3)年度公立高校入試・正答率が低い難問①0.0％～0.3％

お久しぶりです。生きてます。

今回は、2021年度公立高校入試の中で、正答率が低かった問題を紹介する。

なお、単位は省略して解答を行う。

※以下の県は、設問ごとの正答率が公表されていないため省いた。

岩手県, 宮城県, 福島県, 群馬県, 富山県, 石川県, 福井県, 長野県, 岐阜県, 静岡県

愛知県, 三重県, 京都府, 大阪府, 和歌山県, 島根県, 岡山県, 山口県, 徳島県, 香川県

愛媛県, 佐賀県, 長崎県, 熊本県, 沖縄県

補足として,これらの県からも紹介する記事を作るかもしれないが期待しないでほしい。

 2021パート②

2019年のパート①

1. 宮崎県公立高校入試・大問5-3(2) 0.0%

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　3(1)0.4%, (2)0.0%　と非常に難しい問題。

　(1)のほうが個人的に難しいと思う。

2. 山梨県公立高校入試・大問6-2(4)　0.0%

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※訂正

(4) 6点P, B, S, R, T, Qを頂点とする立体の体積を求めなさ　

　 い。

大問6-2(3) 3.0% (4) 0.0 %

(3)の時点で十分難しかったようだ。

省略した(1)の問題は、辺ACとねじれの位置にある線分を選ぶ問題だった。

3. 鳥取県公立高校入試・大問5-問4　0.0%

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 問4の正答率が0.0％であった。

 円が関わる図形問題は, 正答率が低い傾向がある。

4. 滋賀県公立高校入試・大問4(4)　0.1%

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 (1)36.7% (2)2.9% (3)0.4% (4)0.1%

と全体的に正答率の低い大問。　

5. 兵庫県公立高校入試・大問3(4)　0.1%

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(3)までは簡単。(4)もそれほどでもないと思うが...

6. 大分県公立高校入試・大問6(2)②　0.1%

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(1)は△ABC∽△EPCの証明問題であった。

(2)①は非常に簡単な問題だが、②で急に難易度があがる。

面積比から線分比を求めていく問題はよく出るのに、あまり練習されていない。

7. 奈良県公立高校入試・大問4(4)　0.2%

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(3) 8.1％ (4) 0.2%

(3)から十分に難しい。

8. 高知県公立高校入試・大問6(2)②　0.2%

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(1)の相似はよく出るので、(1)がなくても気がつくべき

(2)①45°の直角三角形が見つける。

　②は(1)(2)①を利用しつつ面積比

いうほど難しくないと思う。

9. 栃木県公立高校入試・大問6-3　0.3%

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　規則性の問題。文字で置くところまでは易しい問題なので, 1, 2は解けなければならない。

　3②はいわゆる整数問題であるが、公立入試の場合一つずつ代入して確認していく方法だけ知っておけばほぼ問題ない。

解説 

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1. 宮崎県公立高校入試 

大問5-3(1)

台形の面積を求める。比の利用は難しそうなので

面積公式、つまり(上底+下底)×高さ÷2を使えるか考える

そのためにはEFの長さを求める必要があるが、

これは△PEF∽△PCDあたりを利用すればできそうだ。

よって、この相似の相似比を求めれないかと考える。

図のように真ん中の二等辺三角形を取り出す

　

※赤丸の部分は角度が45°のところ

もちろん、AG=GB=DH=HC=3$AG=GB=DH=HC=3$である。

長さのヒントが少ないので、45°の三角形を利用したい。

だから、IからGHと平行な直線をひき、PGとの交点をJとする。

また、△PHGは二等辺三角形なので、PからGHに垂線PKをおろす。

そして、IJ, PKの交点をL, PK, GIの交点をMとする。

この図からPI:PHを求めれば、相似比が分かってEFの長さが出せる。

GIが求める台形の高さになっているので、これも求める。

45°三角形の処理をする

GH=AD=8$GH=AD=8$, GK=KH=4$GK=KH=4$ で

三角形KMGは45°の直角三角形だから、

MK=4$MK=4$, GM=42–√$GM=4\sqrt{2}$

PKを求める

三角形ABDで三平方の定理より

　BD2=AB2+AD2$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2$

　BD2=62+82$B{D}^2=6^2+8^2$

　BD=10$BD=10$

よって、BK=5$BK=5$

三角形BPKで三平方の定理より

　PK2=PB2−BK2$P{K}^2=P{B}^2-B{K}^2$

　PK2=132−52$P{K}^2={13}^2-5^2$

　PK=12$PK=12$

よって、PM=PK−MK=8$PM=PK-MK=8$

※この地点で、PM:MK=2:1からMが△PHGの重心だと気がつけばPI:PHがだせるが、公立中学校では習わないので、以下の方法で出す。

LI, PLの長さを出して、三角形PLIで三平方の定理を使ってPIを出す。

その後、PHを出せば目標の比を求められる。

三角形LMIも45°の直角三角形なので

　LM=x$LM=x$とおくと、

　　LI=LM=x$LI=LM=x$, MI=2–√×x$MI=\sqrt{2}\times x$

　　PL=PM−LM=8−x$PL=PM-LM=8-x$

△PLI∽△PKHより

　PL:PK=LI:KH$PL:PK=LI:KH$

　8−x:12=x:4$8-x:12=x:4$

　3x=8−x$3x=8-x$

　x=2$x=2$

よって、

　PL=8−x=6$PL=8-x=6$, LI=x=2$LI=x=2$, MI=2–√×x=22–√$MI=\sqrt{2}\times x=2\sqrt{2}$

三角形PLIで三平方の定理より

　PI2=PL2+LI2$P{I}^2=P{L}^2+L{I}^2$

　PI2=62+42$P{I}^2=6^2+4^2$

　PI=210−−√$PI=2\sqrt{10}$

三角形PHCで三平方の定理より

　PH2=PC2−HC2$P{H}^2=P{C}^2-H{C}^2$

　PH2=132−32$P{H}^2={13}^2-3^2$

　PH=410−−√$PH=4\sqrt{10}$

よって

　PI:PH=1:2$PI:PH=1:2$

上底EFと高さGIを出し、面積を求めよう。

△PEF∽△PCDの相似比はPI:PHと等しいので

 　EF:DC=1:2$EF:DC=1:2$

　 EF:6=1:2$EF:6=1:2$

　 EF=3$EF=3$

求める台形の高さGIは

　GI=GM+MI=62–√$GI=GM+MI=6\sqrt{2}$

以上より、台形ABEFの面積は

　(6+3)×62–√÷2=272–√$(6+3)\times 6\sqrt{2}÷2=27\sqrt{2}$・・・答

大問5-3（２）

四角錐P-ABCDから、立体EF-ABCDを引いて目標の体積を求める。

立体EF-ABCDは下の図のように, 長方形ABCDに垂直でADと平行なEを通る平面と、Fを通る平面で切り分けると、2つの四角錐(緑)と, 1つの三角柱(黄)に分けられる。

 　

EFCDは等脚台形で, EF=3, DC=6だから, 図の1.5cmと書かれた部分はすぐに求める事ができる。また, この3つの立体の高さはすべて, 図中の青で書かれた線分である。

この高さ＝青で書かれた線分は, (1)で切り出した図でいうと下図の青い線分に等しい

青い線分の長さ中点連結定理より、PKの半分の6 cmだと分かる。

以上より

立体EF-ABCD

　=緑色の立体2つ分　+　黄色の立体

　=(8×1.5×6÷3)×2 + 8×6÷2×3

　=120

四角錐P-ABCD

　=8×6×12÷3

　＝192

以上より、求める立体の体積は

　192-120=72　・・・答

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2. 山梨県公立高校入試

大問6-1　

　高さｈは三平方の定理より

　　h2=82−62$h^2=8^2-6^2$

　　h=27–√$h=2\sqrt{7}$ ・・・答

大問6-2

(1) 略

(2)

 大問6-1で求めた高さが, そのまま三角錐ABCDの高さOAである。

よって、三角形BCDの面積を求めれば体積を出せそうだ。

円と三角形BCDを取り出すと、下図のようになる。

　　

三角形BCDの各頂点は, 円周上に等間隔にあるから、

三角形BCDは正三角形である。

よって、DOの延長は、BCを垂直に二等分する。

DOとBCの交点をHとすると、

三角形OBHは∠OBH=30°の直角三角形であるから

　BH=33–√$BH=3\sqrt{3}$

よって

　BC=63–√$BC=6\sqrt{3}$

一方, 三角形DBHは∠DBH=60°の直角三角形だから

　DH=9$DH=9$

三角形BCDの面積は

　△BCD=BH×DH×12$△BCD=BH\times DH\times \frac{1}{2}$

であるから、三角錐ABCDの体積は

　　13×△BCD×OA$\frac{1}{3}\times △BCD\times OA$

　　　=16×BH×DH×OA$=\frac{1}{6}\times BH\times DH\times OA$

　　　=16×63–√×9×27–√$=\frac{1}{6}\times 6\sqrt{3}\times 9\times 2\sqrt{7}$

　　　=1821−−√$=18\sqrt{21}$・・・答　

 (3)

空間図形の問題で線分の長さを問われたときは

求めたい線分を含む平面を切り出して考えるのがセオリー

今回はPQを含む平面ABQを取り出す。

　

　三角形BCDが正三角形であることから、BOQは直線上にあることに注意。

　点PからBQに垂線PIを下ろすと、PQ//AOで点PはABの中点だから

中点連結定理より、

　　PI=12AO=7–√$PI=\frac{1}{2}AO=\sqrt{7}$

　　BI=IO=12OB=3$BI=IO=\frac{1}{2}OB=3$

また、三角形BCDは正三角形だから

BQは(2)で求めたDHと等しい

　　BQ=DH=9$BQ=DH=9$

よって、OQ=BQ−OB=3$OQ=BQ-OB=3$、IQ=IO+OQ=6$IQ=IO+OQ=6$

以上より、三角形PIQで三平方の定理より

　　PQ2=PI2+IQ2$P{Q}^2=P{I}^2+I{Q}^2$

　　PQ2=7+36=43$P{Q}^2=7+36=43$

　　PQ=43−−√$PQ=\sqrt{43}$・・・答

(4)

6点P, B, S, R, T , Qを頂点とする立体をPBSRTQと書くこととする

三角錐ABCDなどは、A-BCDと表現する。

図のように求める立体を分割する

　

つまり求める立体の体積は

　PBSRTQ=(P−BST)+(P−SIQ)+(Q−PRT)$PBSRTQ=(P-BST)+(P-SIQ)+(Q-PRT)$

で求めることができる。

実はこの3つの三角錐P-BST, P-SIQ, Q-PRTは体積が等しくなる

三角形BCDは正三角形でS,Q,Tは各辺の中点だから

　△BST=△QST$△BST=△QST$

といえる。よって高さと底面積が等しいので

　(P−BST)=(P−SIQ)$(P-BST)=(P-SIQ)$

といえる。

一方、中点連結定理よりPT//RC, PR//ICだから

四角形PRCTは平行四辺形である。

ゆえに、△PRT=△CRT$△PRT=△CRT$

であるから。高さと底面積が等しいので

　(Q−PRT)=(Q−RST)$(Q-PRT)=(Q-RST)$ 

図形の対称性より

　(P−BST)=(Q−RST)=(Q−PRT)$(P-BST)=(Q-RST)=(Q-PRT)$ 

以上より、

　　PBSRTQ=(P−BST)+(P−SIQ)+(Q−PRT)$PBSRTQ=(P-BST)+(P-SIQ)+(Q-PRT)$

　　　　  =3(P−BST)$=3(P-BST)$

である。

三角錐P-BSTは三角錐A-BCDと比べて高さ半分、底面積4分の1なので

　　(P−BST)=18(A−BCD)$(P-BST)=\frac{1}{8}(A-BCD)$

ゆえに、

　PBSRTQ=(P−BST)+(P−SIQ)+(Q−PRT)$PBSRTQ=(P-BST)+(P-SIQ)+(Q-PRT)$

　　　　 =3(P−BST)$=3(P-BST)$

　　　　 =38(A−BCD)$=\frac{3}{8}(A-BCD)$

　　　　 =38×1821−−√$=\frac{3}{8}\times 18\sqrt{21}$

　　　　 =2721√4$=\frac{27\sqrt{21}}{4}$・・・答

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3. 鳥取県公立高校入試

問4

 正三角形ABCの面積は簡単に出せるから、

面積比を使って、三角形CDQの面積を求めたい。

　→BQ:QCと AD:DQ:QPが欲しい！

まずは、角度が分かる部分を確認し、

△CDPが正三角形であることに気がつこう。

　

　∠ACB=∠APB=60°$\angle ACB=\angle APB=60°$　(弧AB）

　∠ABC=∠APC=60°$\angle ABC=\angle APC=60°$　(弧AC)

 [PC=PDで ∠DPC=60°なのだから、

△CDPは正三角形で, DC=DP=PCである。

また、△ADC≡△BPCだから, AD=BPである。

※BP:PC=2:1 だから [BP=②, DC=①として図に書き入れたのが上図

まず、BQ:QCを求める。

△ABQ∽△APBであるから

　BQ:PB=AB:AP$BQ:PB=AB:AP$

よって

　BQ=23AB$BQ=\frac{2}{3}AB$

ゆえに、　

 BQ:QC=2:1$BQ:QC=2:1$

※△ABQ∽△APBはよく出る相似の形

　∠ABQ=∠APB=60°, ∠A共通

※BP=②, DC=①とするとAP=③だから

　BQ:PB=AB:AP

　BQ:②=AB:③

　よって,  BQ=23AB$BQ=\frac{2}{3}AB$ 

 次に、AD:DQ:QPを求める

△BPQ∽△CDQであることを利用する

　PQ:DQ=BQ:CQ$PQ:DQ=BQ:CQ$

　PQ:CQ=2:1$PQ:CQ=2:1$

また、AD:DP=②:①であったから、

線分APは以下の図のように整理できる。

以上より、

　AD:DQ:DP=6:1:2$AD:DQ:DP=6:1:2$

となる。

あとは、面積比を利用していく

高さ共通 BQ:QC=2:1より

　△AQC=13△ABC$△AQC=\frac{1}{3}△ABC$

底辺共通 AQ:DQ=7:1 より

　△CDQ=17△AQC$△CDQ=\frac{1}{7}△AQC$

よって、

　△CDQ=121△ABC$△CDQ=\frac{1}{21}△ABC$

△ABCは1辺9の正三角形だから、その面積は

　△ABC=3√4×92$△ABC=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 9^2$ 

ゆえに

　△CDQ=121×3√4×92$△CDQ=\frac{1}{21}\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times 9^2$

　　　　　=273√28$=\frac{27\sqrt{3}}{28}$・・・答

※今回、正三角形ABCの面積を公式で出しているが、

もちろん高さを出して底辺×高さ÷2で計算しても良い。

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4. 滋賀県公立高校入試

まず、どの部分が x cmなのかが分かりづらい

例えば以下の図のとき

　

また、AE=4, AF=3なので、△AEFはいわゆる3:4:5の直角三角形となり、

PQはEFと平行であるから、図1△APQ, 図2△CQPも3:4:5の直角三角形である。

(1)

P、QがCと一致するとき剥離紙が完全に剥がれる。

このとき, x=16$x=16$であるから

求める変域は　0≦x≦16$0\leqq x\leqq 16$ ・・・答

(2)

0≦x≦16で、アの形は以下の3段階ある。

　①0≦x≦8 のとき,　アは3:4:5直角三角形の

　②8≦x≦10のとき,　アは台形

　③10≦x≦16のとき,　アは五角形

　初め, アは3:4:5の直角三角形の形をしているが, AP=8のとき, AQ=6であるから, QとDが一致し, これ以降アの形は台形となる。また, AP=10以降は, PはBC上に, QはCD上にあるから, アの形は五角形となる。　

(2)では0≦x≦10の範囲なので①と②に分けて考える。

　① 0≦x≦8のとき

　　△APQは3:4:5の直角三角形であるから

　　 AP=x$AP=x$,  AQ=34x$AQ=\frac{3}{4}x$

　　よって

　　　y=38x2$y=\frac{3}{8}{x}^2$

　② 8≦x≦10のとき

　　

　上図より、上底8-x 下底x 高さ6の台形なので

　　y=(2x−8)×6÷2=6x−24$y=(2x-8)\times 6÷2=6x-24$

この2つをグラフにすればよい。

※グラフを書くだけなら、式を求める必要はない

0≦x≦8のとき, yを出すには, xで表される線分AP,AQの積が必要なので, グラフは放物線となる。よって, 点を打ちやすいx, yの値, 例えば(0, 0), (4,6), (8,24)求め, これを結ぶ。

8≦x≦10のとき、上底＋下底の部分は xの一次式で、高さは6だから、グラフは直線となる。同じく点を打ちやすいx,yの値, 例えば(10,36)を求め, 先程の(8,24)と直線で結べばよい。

(3)

長方形ABCDの面積の58$\frac{5}{8}$ 倍は

　6×10×58=752$6\times 10\times \frac{5}{8}=\frac{75}{2}$

アがこの面積になるのは①, ②,③のどの時か考える

　x=8$x=8$ のとき y=24$y=24$　→①ではない

　x=10$x=10$ のとき y=36$y=36$　→②ではない

であるから、条件を満たすのは③のとき

すなわち、点PがBC上にあるときである。

五角形ABPQDが 752$\frac{75}{2}$ のとき, △CQPの面積は

　60−752=452$60-\frac{75}{2}=\frac{45}{2}$

で, △CQPは3:4:5の直角三角形であるから

　CQ=43CP$CQ=\frac{4}{3}CP$

よって、△CQPの面積について

　CP×CQ÷2=452$CP\times CQ÷2=\frac{45}{2}$

　23CP2=452$\frac{2}{3}C{P}^2=\frac{45}{2}$

が成り立つので, 

　CP=315√2$CP=\frac{3\sqrt{15}}{2}$

よって

　x=AB+BP=10+6−315√2$x=AB+BP=10+6-\frac{3\sqrt{15}}{2}$

　　 =16−315√2$=16-\frac{3\sqrt{15}}{2}$ ・・・答

(4)

　折返しの問題では以下の形がよく出る。

　　　

　上図で赤と青の三角形は相似である。

　以下の図のように補助線QRを引くとこの形が見つかる

　もちろん, QR=6$QR=6$ となる。

 　

　x=AB+BPを求めるためには, BPを求める必要がある。

　BP=tとおくと,

　　B′P=BP=t$B^{\prime }P=BP=t$, CP=6−t$CP=6-t$

　△PCB' ∽△CQRより

　　CB′:QR=PC:CQ$C{B}^{\prime }:QR=PC:CQ$　

　△CQPは3:4:5の直角三角形であるから 

　　　PC:CQ=3:4$PC:CQ=3:4$

　つまり

　　 CB′:QR=PC:CQ$C{B}^{\prime }:QR=PC:CQ$

　　 CB′:6=3:4$C{B}^{\prime }:6=3:4$

　　　CB′=92$C{B}^{\prime }=\frac{9}{2}$

　よって, △PCB'について三平方の定理より

　　 PC2=PB′2+B′C2$P{C}^2=P{B}^{\prime 2}+B^{\prime }{C}^2$

　　 (6−t)2=t2+(92)2$(6-t{)}^2=t^2+(\frac{9}{2}{)}^2$

　　　 t=2116$t=\frac{21}{16}$

　以上より, 

　　x=AB+BP=10+2116$x=AB+BP=10+\frac{21}{16}$

　　　x=18116$x=\frac{181}{16}$・・・答

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5. 兵庫県公立高校入試

(2)

　AEは∠BACの二等分線だから

　　∠BAE=∠CAE=60°$\angle BAE=\angle CAE=60°$

　円周角の定理より

　　∠BAE=∠BCE=60°$\angle BAE=\angle BCE=60°$

　　∠CAE=∠CBE=60°$\angle CAE=\angle CBE=60°$

　よって、△BCEは正三角形であり

　　BC=CE=EB=7$BC=CE=EB=7$

　△AEC∽△CEDより

　　AE:CE=CE:DE$AE:CE=CE:DE$

　　8:7=7:DE$8:7=7:DE$

　　　DE=498$DE=\frac{49}{8}$・・・答

(3)

　△BCEは正三角形だから, その面積は

　　3√4×72=493√4$\frac{\sqrt{3}}{4}\times 7^2=\frac{49\sqrt{3}}{4}$・・・答

(4)

OPを結ぶと底面と垂直に交わる。

 四角錐の体積は

　底面積=四角形ABCD

　高さ=球の半径OP

と考えれば計算できる。

四角形ABCDについて

　面積比を利用して求める

　　AD=AE−DE=158$AD=AE-DE=\frac{15}{8}$

　よって、

　　AD:DE=158:498=15:49$AD:DE=\frac{15}{8}:\frac{49}{8}=15:49$

　すなわち四角形ABECは

　　ABEC=6449△ABC$ABEC=\frac{64}{49}△ABC$

　　　　　　=6449×493√4$=\frac{64}{49}\times \frac{49\sqrt{3}}{4}$

　　　　　　=163–√$=16\sqrt{3}$

高さOPについて

　球の半径だから OP=OE=OC

　図のように, △BCEを取り出せば

　　　

　1:2:3–√$1:2:\sqrt{3}$の直角三角形が見える

　よって、OC=73√3$OC=\frac{7\sqrt{3}}{3}$

以上より, 求める体積は

　163–√×73√3×13=1123$16\sqrt{3}\times \frac{7\sqrt{3}}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{112}{3}$・・・答

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6. 大分県公立高校入試

四角形ABCDはひし形だから

　AB=BC=CD=DA=5$AB=BC=CD=DA=5$

　AO=OC=3$AO=OC=3$,　BO=OD$BO=OD$

　AC⊥BD$AC\perp BD$

(2)①

　 [BC=5, OC=3 だから 

　△BOCは3:4:5の直角三角形

　よって, BO=4　・・・答

(2)②

　比を利用して解きたい

　　△AFG∽△CFPで、△CEPの面積は後述の方法で簡単に出せる

　　よって、FG:FPが欲しい。

 △CBOと△ABCの面積は

　△CBO=3×4÷2=6

　△ABC=2△CBO=12

与えられた面積条件△EOF=△BPEを利用する。

　　△FPC=COEP+△EOF$△FPC=COEP+△EOF$

　　△CBO=COEP+△BPE$△CBO=COEP+△BPE$

であるから

　　△CFP=△CBO=6$△CFP=△CBO=6$

また、△ABC∽△FPCでその面積比は

　　△ABC:△FPC=2:1$△ABC:△FPC=2:1$

つまり相似比は

　　AB:FP=2–√:1$AB:FP=\sqrt{2}:1$

であり、AB=GPであることをふまえると

　　FG:FP=2–√−1:1$FG:FP=\sqrt{2}-1:1$

あとは、この線分比を利用して面積を求めていく

△AFG∽△CFPだから, その面積比は

　△AFG:△CFP=(2–√−1)2:12$△AFG:△CFP=(\sqrt{2}-1{)}^2:1^2$

△CFP＝6だったから

　△AFG:6=(2–√−1)2:12$△AFG:6=(\sqrt{2}-1{)}^2:1^2$

　　△AFG=6(2–√−1)2$△AFG=6(\sqrt{2}-1{)}^2$

　　　　=18−122–√$=18-12\sqrt{2}$・・・答

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7. 奈良県公立高校入試

(3)

∠AOE=60°, OA=OE より

△AOEは正三角形で

　　OA=OE=AE=2.5$OA=OE=AE=2.5$

∠ABE=30°, ∠AEB=90°だから

△ABEは 1:2:3–√$1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形

　　EB=2.53–√$EB=2.5\sqrt{3}$

△ACD∽△EBDより

　　AD:DE:AC:EB$AD:DE:AC:EB$

　　AD:DE=3:2.53–√$AD:DE=3:2.5\sqrt{3}$

よって、　

　　AD=53√6DE$AD=\frac{5\sqrt{3}}{6}DE$

 以上より、　

　　53√6$\frac{5\sqrt{3}}{6}$　倍・・・答

(4)

  △AEBは∠AEB=90°の直角三角形だから

　AEとBEの長さを求めれば面積を出せる。

　そうすると、OA=OBだから

　　△OEB=12△AEB$△OEB=\frac{1}{2}△AEB$

　が成り立つので、△OEBの面積が求められる。

　二等辺三角形が多いので、角度が等しくなるところを調べていく。

　下図の赤い部分は角度が等しい。

　

　△AOC∽△ACDであるから

　　AC:AD=AO:AC$AC:AD=AO:AC$

　　3:AD=52:3$3:AD=\frac{5}{2}:3$

　　　AD=185$AD=\frac{18}{5}$

　よって、

　　DB=5−AD=75$DB=5-AD=\frac{7}{5}$

　また、△DBEも二等辺三角形だから

　　BE=BD=75$BE=BD=\frac{7}{5}$

　△AEBで三平方の定理より

　　AB2=AE2+BE2$A{B}^2=A{E}^2+B{E}^2$

　　52=(75)2+AE2$5^2=(\frac{7}{5}{)}^2+A{E}^2$

　　　　AE=245$AE=\frac{24}{5}$

以上より、

　△OEB=12△AEB$△OEB=\frac{1}{2}△AEB$

　　　　=12×12×245×75$=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{24}{5}\times \frac{7}{5}$

　　　　=4225$=\frac{42}{25}$　・・・答

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8. 高知県公立高校入試

(1)

　BCを結ぶ。∠CAB=45°であるから

　△ABCは 1:1:2–√$1:1:\sqrt{2}$ 直角二等辺三角形

　半径が6であるから,AB=12

　よって,

　　AC=62–√$AC=6\sqrt{2}$・・・答

(2)

　AO=6$AO=6$, OD=2$OD=2$, 

　DB=4$DB=4$, AD=8$AD=8$

△AEC∽△DEBであるから,その相似比は

　AC:DB=62–√:4=32–√:2$AC:DB=6\sqrt{2}:4=3\sqrt{2}:2$ 

よって, 面積比は

　△AEC:DEB=18:4=9:2$△AEC:DEB=18:4=9:2$

ゆえに, 

　△AEC=92△DEB$△AEC=\frac{9}{2}△DEB$

また、

　AD:AB=8:12=2:3$AD:AB=8:12=2:3$

であるから

　四角形AEBC=32△AEC$四角形AEBC=\frac{3}{2}△AEC$

　　　　　=32×92△AEC$=\frac{3}{2}\times \frac{9}{2}△AEC$

　　　　　=274△AEC$=\frac{27}{4}△AEC$

よって、

　274$\frac{27}{4}$・・・答

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9. 栃木県公立高校入試

まず、作り方I, Ⅱについて、x枚目のシートにかかれている数字をすべて文字で表す。

　　

[作り方Ⅰ]

　x$x$ 枚目のシートの中で最大の数は枚数の4倍 4x$4x$で表すことができる。

[作り方Ⅱ]

　x$x$ 枚目のシート左上の数は枚数と同じ数である。

　右上は左上＋25, 左下は左上+50, 右下は左上+75である。

問1

　7枚目の最大の数は

　　作り方Ⅰ・・・4×7=28$4\times 7=28$

　　作り方Ⅱ・・・4+75=79$4+75=79$

問2

　a+2b+3c+4d=ac$a+2b+3c+4d=ac$　より

　x+2(x+25)+3(x+50)+4(x+75)=x(x+50)$x+2(x+25)+3(x+50)+4(x+75)=x(x+50)$

　x2+40−500=0$x^2+40-500=0$

　(x−10)(x+50)=0$(x-10)(x+50)=0$

　　x=10$x=10$ (0<x<25)・・・答

問3

作り方Ⅰの m$m$枚目の和

　　(4m−3)+(4m−2)+(4m−1)+4m=16m−6$(4m-3)+(4m-2)+(4m-1)+4m=16m-6$

作り方Ⅱの n$n$枚目の和

　　n+(n+25)+(n+50)+(n+75)=4n+150$n+(n+25)+(n+50)+(n+75)=4n+150$

これらが, 等しくなるとき

　16m−6=4n+150$16m-6=4n+150$

　　n=4m−39$n=4m-39$・・・①答

①を満たす整数を調べる。

n＞0$n＞0$であるから、m＞10$m＞10$である

よって、m=11$m=11$ から順々に条件を満たす

m,n$m,n$ の組を調べれば良い。

m＜n$m＜n$ と ｍ,n≦25$ｍ,n\leqq 25$ に注意

　m=11$m=11$ のとき n=5$n=5$ ☓

　m=12$m=12$ のとき n=9$n=9$ ☓

　m=13$m=13$ のとき n=13$n=13$ ☓

　m=14$m=14$ のとき n=17$n=17$ ○

　m=15$m=15$ のとき n=21$n=21$ ○

　m=16$m=16$ のとき n=25$n=25$ ○

これ以上は、n＞25$n＞25$となるため調べる必要はない

よって、n=17,21,25$n=17,21,25$・・・②答

※11から調べなくても

　m＜n$m＜n$ より 

　　m＜4m−39$m＜4m-39$

　　m＞13$m＞13$

　25≧n$25\geqq n$より

　　25≧4m−39$25\geqq 4m-39$

　　16≧m$16\geqq m$

　つまり、13＜m≦16$13＜m\leqq 16$であるから

　　m=14,15,16$m=14,15,16$のみが条件を満たす。

　このときのn$n$の値のみを調べればよい。

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