因数分解（読み）いんすうぶんかい

一つの整式が二つ以上の整式の積に等しいとき、積に現れる各整式をもとの整式の因数といい、与えられた整式をその因数の積で表すことを因数分解するという。たとえば、
　 2x³＋4x＝2x(x²＋2)
　　a²－b²＝(a－b)(a＋b)
における右辺が左辺の因数分解である。因数が数または文字であるとき、それを数因数あるいは文字因数という。また与えられた式の各項に共通な因数を共通因数という。前記の第一の例で、2は数因数、xは文字因数であり、これらはまた共通因数でもある。

　一般に因数分解はできるだけ（各因数がそれ以上因数分解できないまで）分解することが普通である。たとえば前掲の第二の例で二つの因数a－b、a＋bはもはや因数分解できない。また第一の例で因数x²＋2は、係数を実数に制限すれば、もはや分解できない。しかし係数に複素数を許せば、これはさらに

と分解される。したがって、どこまで分解可能かは、式そのものと、係数の許容範囲に依存する。因数分解の正しい指示としては、係数の許容範囲を明示すべきであるが、その指示がないときは、慣行として係数の範囲を実数域とする。

　任意の整式を因数分解する一般的方法は存在しない。与えられた式に即して分解の方法がくふうされる。しかし、基本的な因数分解の公式が応用される。たとえば、公式a²－b²＝(a－b)(a＋b)を用いて、
　 9x²－4y⁴＝(3x)²－(2y²)²
　　　　　＝(3x－2y²)(3x＋2y²)
と分解される。また公式a²＋2ab＋b²＝(a＋b)²を用いて

を得る。これらの公式は右辺から左辺を得るとみなせば、いわゆる乗法公式（または展開公式）となる。

　方程式論と関連して、係数を複素数まで許せば、n次代数方程式
a₀xⁿ＋a₁x^n－1＋……＋a_n－1x＋a_n＝0
の根をα₁、α₂、……、α_n（重根を含めて）とすると、
　　a₀xⁿ＋a₁x^n－1＋……＋a_n
　　　＝a₀(x－α₁)(x－α₂)……(x－α_n)
と因数分解される。

［竹内芳男］