on　～ing in ～ing　の違い。

こんにちは。

質問者さんの記憶通りでいいと思います。

on -ing「～するやいなや」「～するとすぐに」「～と同時に」
in -ing「～しているとき」「～の動作をしている間に」

どちらも前置詞の意味を確認しておくとよいでしょう。

補足ですが、in -ingは、「～しているとき」の意味のほかに
He was right in thinking that ...「…と考えた点で彼は正しかった」
のようにも用いられます。

なお、本題からは外れますが、この-ingはどちらも動名詞です。
ただし、be interested in -ingの"in -ing"とは
区別しておいた方が整理しやすいかと思います。（←経験上。）

No.3の回答をした者です。

前置詞の後に現在分詞が来るはずがないですね。申し訳ありません。訂正してお詫びします。

ご質問は、前置詞on, in＋（動作動詞の）現在分詞の用法についてだと思います。

No.2の回答にあるstudying on multiplyingやinterested in shoppingの～ingは動名詞ですので、質問の主旨とは違ってきます。
AHDの説明によれば、onはUsed to indicate the particular occasion or circumstanceで、inはDuring the act or process ofを意味するとのことですので、質問者の方の推測でほぼ正解だと思います。
ただ、個人的には「～するやいなや」という日本語は嫌いなので、「～したとき」ぐらいに訳すことが多いです。

アメリカに３５年ほど住んでいる者です。

残念ながら、違うんですね。　（怒られてしまうかも）

つまり、その前に来る同士によって、意味あいが変ってきてしまいます。

例えば、I'm studying on multiplying two numbers.ですと、二つの数字の掛け算を勉強しています。と言う意味なんですね。　つまり、ここのONは似ついて、とか、に関して、と言う意味で使われているんですね。

また、I'm interested in shopping books thru internet.　Do you know how to do it?インターねとを使って本を買うことに興味があります。 やり方を知っていますか？となりますね。　

同じinでも、she looks great in burning red. 彼女は燃えるような赤の服がとても似合います。　

このように、ingの使い方によって、mikegoさんが書いた意味とは違う意味で使われているんですね。

ただ、文章によっては、そのように使われる時があります、ともいえます。

つまり、その時は、onと言う単語が、onのもとの離れていないで「密着した」と言う意味から、「してからすぐ」という意味、つまり、「するや否や」と言うフィーリングで使われるんですね。

inももとの、「中に」と言う意味から、「その状態の中に」と言う意味で使われるんですね。　日本語の「の動作中に」の「中」と同じ発想です。

fushigichanサンの例を使わせてもらうと、I'm interested in crossing the river.となると、その川をわたりたいと思う。という意味ですね。　

ですから、英語を勉強する時に、例文と一緒に覚えて、こう言う文章では、例文のような意味を持つ、と言うようにした方が、ただ単に、熟語として覚えていると、違う意味を持ってしまうことがあり、困ってしまうんですね。　

これでいいでしょうか。　分からない点がありましたら、補足質問してください。、

mikegoさん、こんにちは！

＞on　～ing は、「～するやいなや」で
in ～ing　は、「～しているとき」

そうですね！！そういうニュアンスです。
on ～ing は、その時点（○○している時）
in ～ing は、それをしている間の時間、をさすと思います。


on arraiving home　　家に着くやいなや　←　家に着いた瞬間をさしている

in crossing the river　　その川を渡っているとき　←　川を渡っている間のこと


というような感じですね。
ご参考になればうれしいです。