佐久間

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佐久間
@keisankionwykip
東大数理←東大数学科←理科I類←国高68th800。学生です。数学垢。5日に1回浮上。大学数学耐性のない人はフォロー非推奨。#チート式 の作者。関数解析が好き。リツイートが嫌なら「リツイートのみ非表示」に設定してください。ネタツイ→
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佐久間さんのツイート

固定されたツイート
35通りの方法で証明してみました
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大澤裕一
@HirokazuOHSAWA
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出来るだけ多くの方法で証明してみましょう! ・高校生:1通り以上 ・大学生:2通り以上 ・数学の先生:4通り以上
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ノルムっぽいけどノルムではない「ノルムもどき」を10個集めました。 これって半ノルムって言うんだっけ?準ノルムだっけ?みたいにこんがらがりがちですね。 擬ノルムは何故かドイツ語版だけWikipediaに記事があります。
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「極限の公理」は実はこれで全てではない(証明で使ってる条件を書き出すと、同じ項を並べて増やしても極限が変化しないという条件も追加で必要)けど、高校数学からε-N論法が証明できることに変わりはない。
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チェザロ平均の収束や極限と積分の順序交換はわざわざε-N論法を出さなくても割と簡単に高校数学から証明できます。 そもそもいくらでも回りくどいことを許せばε-N論法自体が高校数学から出ちゃうので「ε-N論法を使えば証明できるけど高校数学では証明できない命題」など存在しません。
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佐久間
@keisankionwykip
チェザロ平均の収束は「ε-N論法を使わなければ証明できない例」としてよく挙げられますが、これは嘘で、実は高校範囲内で示せます。 limと∫の順序交換も測度論なしで高校範囲内で展開できます。 中間値の定理が実数の連続性と等価なので、実は原理的にε-δ論法自体も高校数学から逆に「導出」できます
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高校数学からε-N論法(ε-δ論法)を「証明」してみました。 高校数学の極限の「定義」は曖昧ですが、はさみうちの原理やlimの線形性・順序保存、中間値の定理(上限性質と同値)などは明確な主張です。それらを公理と見做し、逆にそこから「厳密な定義」を“導く”ことができます。
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D2「学部生でさー、院生のセミナーに入ってくる子がいるんだけど、間違い指摘すると泣くんだよね」 D3「手加減せんといかんね」 D2「してるしてる。『あのね、私はこの分野は専門外だからね、素人質問で恐縮なんだけどね』と優しく前置きしてゆるく指摘する。でも炎上する。そして泣く」 教授「あ〜」
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ゆうもい
@yuuki_mod
小6の娘「1年生でさー、高学年のドッジボールに入ってくる子がいるんだけど、当たると泣くんだよね」 私「手加減せんといかんね」 娘「してるしてる。脚を狙ってゆるく投げてる。でも当たる。そして泣く。」 私「あ~」 娘「優しくしたいけど、自分から入ってきたなら泣かないで、って思っちゃう」
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じゃあいつ等式が成り立つのかというと ・C^1級、リーマン積分 ・絶対連続、ルベーグ積分 ・全ての点で微分可能、導関数がL^1、ルベーグ積分 ・各点導関数が不連続点を測度0しかもたず有界、リーマン積分 ・連続、可算無限個の点で微分可能、ヘンストック=クルツヴァイル積分 のどれかならOK
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微分積分学の第2基本定理に現れるこの式、実は全然常に成り立つとは限らない。 fが絶対連続ならルベーグ積分の意味でOKだけど、全ての点で微分できるのに導関数がリーマン積分できないVolterra関数とか、a.e.微分できて導関数がルベーグ積分できるのに等号が成立しない階段関数やカントール関数もある
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確率論の先生がポアソン過程の例として「電話が鳴る回数」って言いかけて「あ、今どき電話はあまり鳴らないかもしれませんけど… メールとかですかね」って呟いたのは印象的だった。 今時も一般社会では結構電話鳴ってコミュ障苦しめてるやろがい。電話が鳴らない優しい世界なんてアカデミアくらいだよ
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チェビシェフ多項式を知っていれば(1)はすぐに3次チェビシェフ多項式だと気付き、(2)もチェビシェフ多項式の特徴付けとかと似た論法で解けるが、これが「裏技的知識」と言うべきなのか「本質的教養」と言うべきなのかは考えもの。
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東大数学は裏技が通用しないように工夫されているとかよく言われるけど、当時かなり難化したと言われたらしい1990年のこの問題なんか真面目にやると計算がかなりエグくなる一方で、三次関数の対称性とチェビシェフ多項式の知識を使うとあっさり解けちゃうぞ
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PDEで関数列の部分列に移っても同じ記号で表すことがよくあるけど、逆に{u_n}の部分列{u_{n_k}}_kの部分列{u_{n_{k_l}}}_lみたいに部分列をいちいち新しい記号で表していったらこんな感じの添字地獄になりそう。
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指導教員「その論文はこのジャーナルに出してみたら?」 ワイ「はい、ポチッ(Open Accessで掲載料1000ユーロ≒14万円って書いてあるけど研究費から出してくれるんだろうな。ありがたや)」 ワイ「ところでこの掲載料は?」 指導教員「あれ、無料じゃなかったの?ごめん君の自腹です」 え?「ワイ」
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もしも距離空間論のチャートがあったら。 これはε-δ論法が上手く使えるか問うのにちょうど良い問題で、解析学で使う典型的な推論の組み合わせだけで証明できるので、数学科では演習問題として頻出です。 #チェート式
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