円周率と素数の関係 – 数の美しい繋がりをご覧ください

2018年3月12日2020年5月20日

この記事はこんなことを書いています

円周率と素数の美しい繋がりを紹介します。

最終的に以下の式が成り立つことを証明しましょう。

π 2 6 = (1 1 - 1 2 2) (1 1 - 1 3 2) (1 1 - 1 5 2) (1 1 - 1 7 2) (1 1 - 1 11 2) \dots

左辺が円周率、右辺が素数の式になっていますね。

円周率と素数は繋がっている

円周率とは、π≃3.14という値で知られている数学の分野でもっとも有名な定数です。

円周率は元々、円の円周の長さと直径を結びつける数です。

円周の長さは直径の何倍か？

という値が円周率でしたね。

一方、素数とはまったく別の分野から生じたものです。素数は、

1と自分自身以外で割ることのできない1以外の数

のことです。

例えば、5や13は素数ですね。両方とも1か自分自身（5,13）でしか割ることができません。

このように、円周率と素数はまったく無関係の考え方から生じた数字です。

しかし、数学の世界とは不思議なもので、この二つの数が繋がってしまうことがあるのです。

出発点はゼータ関数

”円周率と素数の繋がり”までたどり着くためには、”ゼータ関数”を避けて通れません。※少なくとも私はそう思います

「ゼータ関数！難しそう…」

と思いましたか？

安心してください。すごく簡単です。

以下がゼータ関数です。

ζ (x) = 1 1 x + 1 2 x + 1 3 x + 1 4 x + 1 5 x + \dots 1 n x + \dots

分数をいくつも足し合わせていった数になってますね。

その分子は常に1ですが、分母の数は1から+1ずつ増えていってます。

そして、分母の数は何やらx乗されています。このxにはいろんな数が自由に入ります。

ゼータ関数とは1∼∞まで自然数を使った関数なのです。

余談ですが、このゼータ関数を最初に発見したのはレオハルト・オイラーという天才数学者でした。

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ゼータ関数を計算してみよう

さて、このゼータ関数、

ζ (x) = 1 1 x + 1 2 x + 1 3 x + 1 4 x + 1 5 x + \dots 1 n x + \dots

のxに実際に値を代入してみましょう。

まずは、x=1を入れてみます。すると、

ζ (1) = 1 1 1 + 1 2 1 + 1 3 1 + 1 4 1 + 1 5 1 + \dots 1 n 1 + \dots

となり、これを計算すると、※計算過程（証明）は省略します。

ζ (1) = 1 1 1 + 1 2 1 + 1 3 1 + 1 4 1 + 1 5 1 + \dots 1 n 1 + \dots = 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + \dots 1 n + \dots = \infty

となり無限大になってしまいます。つまり、発散してしまうということですね。

では、次はx=2を入れてみましょう。すると、※またも計算過程は省略します（ちょっと難しいです）

ζ (2) = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + 1 5 2 + \dots 1 n 2 + \dots = 1 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 + \dots 1 n 2 + \dots = π 2 6

なんとここで、円周率πが登場しました。

x=1のときは、発散しましたが、今回はちゃんと収束しました。

実は、x=2以上のときのゼータ関数は収束することが証明されており、x=4,6,⋯など偶数のときにπが登場します。

ζ (2) ζ (4) ζ (6) \dots = π 2 6 = π 4 90 = π 6 945

このように、自然数と円周率が繋がっていることがここで分かりました。

ゼータ関数から素数を導き出す

さて、ゼータ関数から円周率πが出てくるのは分かりましたが、まだ素数が登場していません。

ここでは、円周率と素数の関係を探しているのでしたね。

ゼータ関数のx=2の場合をもう一度みてみましょう。前よりも長く書いてみます。

ζ (2) = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + 1 5 2 + 1 6 2 + 1 7 2 + 1 8 2 + \dots

これの分母の数を分解できるものは分解してしまいましょう。素因数分解です。

ζ (2) = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 ( 2 2 ) 2 + 1 5 2 + 1 ( 2 \cdot 3 ) 2 + 1 7 2 + 1 ( 2 3 ) 2 + \dots

分母が4、6、8だった項が素因数分解されていることに気づくと思います。

ここが少し難しいのですが、上の式は以下のように書き直すことができます。

ζ (2) = (1 1 2 + 1 2 2 + 1 ( 2 2 ) 2 + 1 ( 2 3 ) 2 + \dots) \times (1 1 2 + 1 3 2 + 1 ( 3 2 ) 2 + 1 ( 3 3 ) 2 + \dots) \times (1 1 2 + 1 5 2 + 1 ( 5 2 ) 2 + 1 ( 5 3 ) 2 + \dots) \times (1 1 2 + 1 7 2 + 1 ( 7 2 ) 2 + 1 ( 7 3 ) 2 + \dots) \times (1 1 2 + 1 11 2 + 1 ( 11 2 ) 2 + 1 ( 11 3 ) 2 + \dots) \times (1 1 2 + 1 13 2 + 1 ( 13 2 ) 2 + 1 ( 13 3 ) 2 + \dots) \dots \dots \dots

分母に素数だけが使われた式になりました。ようやく素数の登場です。

素数は素因数分解によって登場したのですね。

この式と元の式が同じであることを理解するには、以下のように考えてください。

例えば、元の式の、

1 2 2

の部分が、変形した式のどの部分かというと、

このように、緑で囲んだ部分を掛けたもので表すことができます。

もう一つ例を示すと、元の式の、

1 ( 2 \cdot 3 ) 2

の部分が、変形した式のどの部分かというと、

このように、青で囲んだ部分を掛けたもので表すことができます。

どうでしょうか？少し分かりにくいので、じっくりと考えてみてくださいね。

上の変形した式は、∏を使って、

ζ (2) = (1 1 2 + 1 2 2 + 1 ( 2 2 ) 2 + 1 ( 2 3 ) 2 + \dots) \times (1 1 2 + 1 3 2 + 1 ( 3 2 ) 2 + 1 ( 3 3 ) 2 + \dots) \times (1 1 2 + 1 5 2 + 1 ( 5 2 ) 2 + 1 ( 5 3 ) 2 + \dots) \times (1 1 2 + 1 7 2 + 1 ( 7 2 ) 2 + 1 ( 7 3 ) 2 + \dots) \times (1 1 2 + 1 11 2 + 1 ( 11 2 ) 2 + 1 ( 11 3 ) 2 + \dots) \times (1 1 2 + 1 13 2 + 1 ( 13 2 ) 2 + 1 ( 13 3 ) 2 + \dots) \dots \dots \dots = \prod p; p r i m e (1 + 1 p 2 + 1 ( p 2 ) 2 + 1 ( p 3 ) 2 + \dots)

と書けます。

∏は、∑の掛け算バージョンです。

なので、”∏p;primeは直後の括弧内の式のpを素数として掛けていく”という意味ですね。

もう一度書きます。

ζ (2) = \prod p; p r i m e (1 + 1 p 2 + 1 ( p 2 ) 2 + 1 ( p 3 ) 2 + \dots)

ですね。これをオイラー積と言います。

いよいよ円周率と素数が出会う

ここまででだいぶ疲れたかもしれませんが、あと一息です。

ζ (2) = \prod p; p r i m e (1 + 1 p 2 + 1 ( p 2 ) 2 + 1 ( p 3 ) 2 + \dots)

の式の右辺の、

1 + 1 p 2 + 1 ( p 2 ) 2 + 1 ( p 3 ) 2 + \dots

を変形していきましょう。

まず、以下のように変形します。

= 1 + 1 p 2 + 1 ( p 2 ) 2 + 1 ( p 3 ) 2 + \dots 1 + (1 p 2) + (1 p 2) 2 + (1 p 2) 3 + \dots

ここで、r=1/p2と置くと、

1 + r + r 2 + r 3 + \dots

となります。

ここで、高校数学で習う”べき乗の和の公式”

べき乗の和の公式

1 + r + r 2 + r 3 + \dots = 1 1 - r, (0 < r < 1)

を使いましょう。

rは0と1の間をとる必要がありますが、ここでは、pは素数であり2以上なので、

r = 1 p 2

は必ず(0<r<1)となります。

これを使って、式を書き直すと、

ζ (2) = \prod p; p r i m e 1 1 - r = \prod p; p r i m e 1 1 - 1 p 2

となります。

ここで、ζ(2)は、

ζ (2) = π 2 6

であったことを思い出してください。

すると、最終的に、

π 2 6 = \prod p; p r i m e 1 1 - 1 p 2 = (1 1 - 1 2 2) (1 1 - 1 3 2) (1 1 - 1 5 2) (1 1 - 1 7 2) (1 1 - 1 11 2) \dots

となり、見事に円周率と素数がつながりましたね。

これで、円周率と素数が繋がっていることが分かりました。

しかし、ここまでの導出過程から分かるように、円周率と素数は直接繋がっているわけではなく、円周率が自然数と繋がっていて、自然数が素数と繋がっているのですね。

円 周 率 \to 自 然 数 \to 素 数

まとめ

円周率と素数は自然数を介して繋がっている
ゼータ関数が重要な関数となる

2018年3月12日2020年5月20日数学の面白いネタ数学を使った不思議な現象に関する面白いこと

Posted by yoshi

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コメント一覧

与太郎より:
2018年12月17日 8:23 PM
非常にわかりやすい解説で、素数がゼータ関数で円周率Πにつながっているのが良く理解出来た。
数学って面白い！！。
返信
匿名より:
2019年7月12日 7:54 PM
よくわかりました。
勉強になりました。
ありがとうございます。
返信
- トマトより:
  2020年12月30日 8:27 PM
  ファー
  返信
発想力教育研究所より:
2019年10月6日 11:10 AM
オイラーの公式で単位円に丸め込まれた無限累乗根０と1の間でも自然数１が定義された、xーy座標平面上でも１以外のあたいをもっていますが、ビー玉も地球も１は１でしょと言うのはあまりにもいい加減すぎませんか？
ビー玉も地球も１は１でしょ！って、今の数学はいい加減過ぎませんか？ – 発想力教育研究所素数誕生のメカニズム http://blog.livedoor.jp/art32sosuu/archives/80329776.html
返信
バリバリ文系様より:
2022年8月11日 4:37 PM
どうでもいい
返信

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【朗報】VIPで円周率を高い精度で求める式が発見された模様 | 2ndMediaより:
2021年5月22日 10:50 PM
[…] >>85 ゼータ関数のオイラー積表示でリンクする https://analytics-notty.tech/relationship-between-pi-and-prime-numbers/ […]