Sierpiński generalizzati (numeri di)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri di Sierpiński generalizzati” in base b gli interi positivi k maggiori di 1 tali che:

• b – 1 e k + 1 siano primi tra loro;

• non esista un numero razionale r tale che b^r = k;

• kbⁿ + 1 sia composto per qualsiasi valore intero positivo di n.

I numeri di Sierpiński (II) corrispondono al caso b = 2.

 

La prima condizione serve a evitare che per qualsiasi n esista uno stesso divisore, perché se d divide b – 1 e k + 1, kbⁿ + 1 ≡ (–1)1ⁿ + 1 = 0 mod d. La seconda esclude che k e b siano potenze di uno stesso intero m, perché in tal caso kbⁿ + 1 diviene m^q + 1, composto se q non è una potenza di 2 (v. numeri di Fermat generalizzati); va però detto che alcuni ricercatori sostituiscono a questa altre condizioni che eliminano scomposizioni elementari.

 

Per dimostrare che un intero è un numero di Sierpiński generalizzato si cerca, come nel caso dei numeri di Sierpiński, un insieme S di primi tali che kbⁿ + 1 sia divisibile per uno di essi, per qualsiasi valore di n.

Se l’insieme S permette di dimostrare che k è un numero di Sierpiński generalizzato in base b, lo stesso insieme permette anche di dimostrare che k’ è un numero di Sierpiński generalizzato in base b’, se k’ ≡ k mod P e b’ ≡ b mod P, dove P è il prodotto dei primi in S.

 

Questi numeri sono relativamente comuni: Amy Brunner, Chris K. Caldwell, Daniel Krywaruczekno e Chris Lownsdale dimostrarono che:

• esistono infiniti numeri di Sierpiński generalizzati in ogni base;

• se b non è un numero di Mersenne ed esistono almeno r numeri di Fermat generalizzati in base b b²ⁿ, divisibili per due primi distinti, esistono infiniti numeri dispari k tali che se t è un intero positivo non multiplo di 2^r, k^t è un numero di Sierpiński generalizzato in base b;

• tutti gli interi fino a 3000 sono numeri di Sierpiński generalizzati per qualche base minore di 10⁷, tranne 2, 3, 5, 7, 15, 31, 63, 65, 127, 255, 511, 1023 e 2047.

 

Krywaruczekno dimostrò poi che non esiste alcun insieme finito di primi che permetta di dimostrare che i numeri di Mersenne sono numeri di Sierpiński generalizzati in qualche base e risolse le eccezioni della precedente lista che non sono numeri di Mersenne:

• 2 è un numero di Sierpiński generalizzato in base 1697906241008607249 (dimostrabile con l’insieme { 3, 5, 17, 257, 641, 65537, 6700417 });

• 5 è un numero di Sierpiński generalizzato in base 140324348 (dimostrabile con l’insieme { 3, 13, 17, 313, 11489 });

• 65 è un numero di Sierpiński generalizzato in base 19030688904264 (dimostrabile con l’insieme { 3, 17, 113, 2113, 8925313 }).

E’ quindi probabile che tutti gli interi positivi siano numeri di Sierpiński generalizzati per qualche base, anche se nel caso dei numeri di Mersenne non si conosce un modo semplice per dimostrarlo.

 

La tabella seguente mostra i minimi numeri di Sierpiński generalizzati noti nelle basi fino a 100; l’asterisco indica i numeri effettivamente dimostrati minimi per quella base (Amy Brunner, Chris K. Caldwell, Daniel Krywaruczekno e Chris Lownsdale).

Base	Minimo numero di Sierpiński generalizzato
2	78557
3	125050976086
4	66741
5	159986
6	174308
7	1112646039348
8	1, 47*
9	2344
10	9175
11	1490*
12	521
13	132*
14	4*
15	91218919470156
16	2500*
17	278
18	398
19	765174
20	8*
21	1002*
22	6694
23	182
24	30651
25	262638
26	221
27	8*
28	4554
29	4*
30	867
31	6360528
32	1, 10*
33	1854
34	6*
35	214018
36	1886*
37	2604
38	14*
39	166134
40	826477
41	8*
42	13372
43	2256
44	4*
45	53474
46	14992
47	8*
48	1219
49	2944
50	16*
51	183582
52	28674
53	1966
54	21*
55	2500
56	20*
57	1188
58	43071
59	4*
60	16957
61	15168
62	8*
63	3511808
64	51
65	10
66	21314443
67	18342
68	22
69	6*
70	11077
71	5917678826
72	731
73	1444
74	4*
75	4086
76	43*
77	14*
78	186123
79	2212516
80	1039
81	2500
82	19587
83	8*
84	16*
85	346334170
86	28
87	274
88	4093
89	4*
90	27*
91	89586
92	32*
93	24394
94	39*
95	41354
96	353081
97	15996
98	10*
99	684
100	2469

 

Vedi anche

Numeri di Sierpiński (II).

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.