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#数楽 f(z) = (1 + az)^{1/z} = exp((1/z)log(1 + az))は z = 0 まで解析函数として延長できて、 f(z)/eᵃ = 1 - a²z/2 + a³(3a+8)z²/24 + O(z³) 高木貞治『解析概論』の第5章の練習問題にもあります。 wolframalpha.com/input/?i=serie

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zzzz

@gsnxukm

· Nov 7, 2021

(1+1/n)^n=e+O(1/n)なんですね

3:12 AM · Jan 2, 2022Twitter for iPad

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#統計高木貞治さんは【別段重要性を有しない】と余計なことを言っていますが、二項分布からPoisson分布への連続極限や負の二項分布からガンマ分布への連続極限の収束の速さの程度を知るためには、このような練習問題は役に立つ。たとえ数学者が【重要性を有しない】と言っていても信用しちゃダメ。

黒木玄 Gen Kuroki

@genkuroki

Jan 2

#統計自分が書いた教科書の練習問題に【別段重要性を有しない】と書いたが、後の世代の人達に「先生！それ役に立ちました！」と言ってもらえる意外な機会に恵まれれば、教科書の著者的にはとてもうれしいのではないかと思われる。

黒木玄 Gen Kuroki

@genkuroki

Jan 2

#統計連続極限二項分布→Poisson分布負の二項分布→ガンマ分布と Poisson分布とガンマ分布の関係の離散版。私の感覚では、多くの場合に連続版の公式よりも離散版の公式の方が「偉い」。これを理解すればPoisson分布とガンマ分布を素朴なベルヌイ試行の場合の極限として理解できる。

黒木玄 Gen Kuroki

@genkuroki

Jan 2

#統計二項分布や負の二項分布の場合をPoisson分布やガンマ分布で近似する計算では (1 + a/N)^N → eᵃ (N→∞)型の極限を使うので、これの収束の速さが (1 + a/N)^N の 1/N に関する冪級数展開から分かる。そして、 Poisson分布って何？さらにガンマ分布って何？は非常によくある質問。

黒木玄 Gen Kuroki

@genkuroki

Jan 2

#統計 Poisson分布やガンマ分布を理解するための経路は無数にあるが、素朴なBernoulli試行の場合の極限でそれらの分布が出て来ることを知れば、Bernoulli試行に関する数学的経験を活かして、Poisson分布やガンマ分布も精神的な抵抗無しで理解できるようになる人は結構多いはず。基本は大事。

黒木玄 Gen Kuroki

@genkuroki

Jan 2

#統計解析学においては、単に収束することを知っているだけでは不十分で、どれだけの速さで収束するかまで理解しておく必要がある場合が多い。高校で習う (1 + 1/n)ⁿ → e についても、単に収束することを証明するだけではなく、どれだけの速さで収束するかまで理解しておきたい。

黒木玄 Gen Kuroki

@genkuroki

Jan 2

#数楽 #統計人生は数学を十分に理解できるほど長くないので、コンピュータによる計算によって、(1 + 1/n)ⁿ → e の速さを確認するだけでも相当に立派な勉強の仕方をしていることになると思います。 #Julia言語による計算相対誤差 (1 + 1/n)ⁿ/e - 1 は、nが大きなとき、ほぼ -1/(2n) に等しい。

黒木玄 Gen Kuroki

@genkuroki

Jan 4

#統計 3枚目を微小に訂正した。他人の計算をそのまま追うのは時間の無駄。アイデアだけを確認して普通は全部自分でやる。他人の計算を追いかけてしまったせいで、ちょっとした誤植の類にイライラして精神的に消耗するのは相当に損な行為。こういう訂正を見るだけでもそういうことが分かる。

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黒木玄 Gen Kuroki

@genkuroki

· Jan 2

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黒木玄 Gen Kuroki

@genkuroki

Jan 4

#統計 Bernoulli試行の時間方向の連続極限からPoisson分布や負の二項分布が得られることはすでに説明した(添付画像①②)。それでは期待値がガンマ分布に従うPoisson分布のBernoulli試行側での対応物は何になるのか？答え: 成功確率がベータ分布に従う二項分布=ベータ二項分布(添付画像③)