ニュース速報

NHK高校講座

数学Ⅰ

今回の学習

第2回 数と式

式の展開

  • 湘南工科大学特任教授/湘南工科大学附属高校教育顧問 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

式の展開

  • 数学Ⅰの時間です

数学Iの時間です!
MCはみみずくのアイク、みなさんといっしょに学習するのは、藤本ばんびさん、酒井蒼澄(あすみ)さんの2人です。
そして数学をわかりやすく教えてくれるのは、湯浅弘一先生です。

今回は「式の展開」から始めていきましょう!

式の展開とは
  • かっこが外れた
  • 「展」は「広げる」「並べる」等の意味

(x+3)=x+6x+9

上の式の左辺と右辺を見比べて気づくことはありませんか?

ばんび「数が増えたかな?」

あすみ「かっこが外れたからそれぞれの数字のまとまりになって、数字としてイメ-ジしやすい感じがするかな」

簡単に言うと、「式の展開」は かっこを外した形にすることです。
展開の「展」の字には、「広げる」とか「並べる」という意味があります。

湯浅先生によると「数学はイメ-ジすることが大事」。そこで、イメージするところから始めます。

Step1 式の展開の基本
  • 2(a+3)
  • 2つの長方形の面積の合計

上の式を展開してみましょう。

かっこを外すには どうしたらいいでしょうか?

2(a+3)  は、
2×(a+3) ということですよね。

図でイメ-ジするために、右図のような長方形を思い浮かべてください。
縦の長さが2、横の長さは、(a+3)。
2(a+3)は、図中の2つの長方形の面積の合計ということです。

左の部分の面積は、
2×a=2a

右の部分の面積は、
2×3=6
です。
2つの長方形を合わせた面積は2a+6なので、

2(a+3)=2a+6

かっこが外れて展開できました。

式の展開の仕方
  • クイズ

式を展開するには、まず"項"に区切るのがル-ルです。

まずは2人にクイズに答えてもらいます。
上の文字式を正しく項に区切っている点線をすべて選びましょう!

あすみ「”すべて”って言ってたよね」

ばんび「1つじゃないってことかな?」

  • ばんびの解答
  • あすみの解答

ばんび「項だから、2とa+3かなって思って、その塊で分けてみました」

あすみ「2とかっこの間は絶対切れるって自信があったんですけど、かっこの中はちょっと自信がない。でも”すべて”って言ってたからつけちゃお、みたいな(笑)」

  • 解答
  • 分配

2人は2の後ろに区切りを入れましたが、2は(a+3)の係数です。
実は、項は+とーの符号の前で区切り、かけ算の場所では区切りません。
そのため、この問題ではaと+の間で区切るのが正解です。

「すべて選びましょう」という問題でしたが、実は正解はこの1つだけでした。


項を区切ることができたら、次はどうやって計算したらいいのでしょうか?

先ほど面積でイメージしたときのように、かっこの前の2をかっこの中へ、ひとつひとつ左から右へ、かけていきます。

2×a=2a
2×3=6

この2つを合わせると、

2a+6

となり、先ほどの大きな長方形の面積と同じになっています。

いま行った計算のように、かっこの前の係数を、かっこ内の項にそれぞれかけることを「分配」といいます。

あすみの解答

実際に次の式を展開してみましょう!

-2(x-1)

あすみさんは、かっこの中の項の符号に注意して、上の画像のように式を展開しました。

湯浅先生は「いいですね!」と言ってから、赤いペンで式を区切りました。

湯浅先生「一つだけ!最初に項に区切ってからやって欲しかったかな。あとは正解ですね」

Step2 (多項式)×(多項式)の展開
多項式×多項式のイメ-ジ

(a+b)(x+y)

上の式は、どのようにイメ-ジしたらいいのでしょうか。
かっこの中は2つとも、多項式です。

多項式と多項式のかけ算をイメ-ジすると、上の図のようになります。
これは縦の長さがa+b、横の長さがx+yの長方形です。

4つの長方形の面積はそれぞれ、ax ay bx byになりますね。

多項式×多項式の展開
多項式×多項式の展開

実際に計算するときはどうやって展開したら良いでしょう?

湯浅先生「まず最初に項に区切ります。それから左から右へ、左から右へと……」

このようにaとbをそれぞれ分配して計算すると
(a+b)(x+y)
=a×x+a×y+b×x+b×y
=ax+ay+bx+by

となります。

湯浅先生「この4つの面積の合計とイメ-ジがつながってきますよね」

ばんびの解答

(x-2)(x+3)を展開しましょう!

ばんび「さっきは+だったのに-になっちゃった。面積で考えてみると?」

ばんびさん、マイナスをイメ-ジするのは難しかったようですが、次のように答えを出しました。

(x-2)(x+3)
=x+(-2)×x+3×x+3×(-2)
=x+-2x+3x-6

湯浅先生「考え方はすごい!だけど……。ここちょっと気にならない?プラスとマイナスがいっしょに書いてある。」

ばんびさんの計算結果の「x+-」の部分には かっこが必要です。

湯浅先生「ここも気になるんだな。-2x+3xこういうのを同類項っていうんだよね。だから-2xと+3xを合わせたら何になるかな?」

ばんびさんの解答にかっこを加え、同類項をまとめたら
(x-2)(x+3)
=x+(-2x)+3x-6
=x+x-6

となりました。

Step3 乗法公式
  • 乗法公式「平方タイプ」

乗法公式は、式の展開を簡単にできる公式です。
それぞれの公式の左辺を展開すると、右辺になります。
一つずつ見ていきましょう!

乗法公式「平方タイプ」
ひとつの多項式の2乗、つまり平方の形になっている場合です。
覚え方は「前2乗、かけて2倍、後ろ2乗」!

「前2乗」の「前」は項に区切ったときの「前」、つまりaの部分です。
これを2乗するので、aの2乗。

「かけて2倍」は、前の項と後ろの項をかけて2倍。つまり2abです。

後ろ2乗はbを2乗。

「前2乗、かけて2倍、後ろ2乗」
(a+b)=a+2ab+b
となります。

  • 覚え方は「和と差の積は二乗の差」!

乗法公式「和と差の積のタイプ」
2つのかっこの中が、
a+b…和
a-b…差
となっている、多項式どうしの積を展開する場合の公式です。

「2乗の差」は、
(前の項の2乗)-( 後ろの項の2乗)
になるということです。

「和と差の積は2乗の差」で、
(a+b)(a-b)=a-b

  • 乗法公式「(x+a)(x+b)のタイプ」

乗法公式「(x+a)(x+b)のタイプ」
それぞれのかっこの中の、左の項が同じで右が異なる場合です。

まずxを2乗、次に右側の項どうしを足して左の項とかける。
最後に右側の項どうしをかける。それらすべてを足して、
(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab
となります。

乗法公式の使い方
  • (x+3)<sup>2</sup>を乗法公式を使って展開しよう
  • 湯浅先生の解説

上の問題を例に、乗法公式の使い方を見ていきましょう。

この式はかっこの右側に2乗があるので、平方タイプです。
(a+b)=a+2ab+b

公式と見比べると、aがxにあたり、bが3にあたります。

よって、
(x+3)=x+6x+9
となります。

ばんびの解答

次は、違う公式の問題!
(x+5)(x-5)を、乗法公式を使って展開しなさい。

ばんび「和と差だから、真ん中の公式かな?」

(a+b)(a-b)=a-b
の乗法公式に当てはめ、aをx、bを5として計算します。

(x+5)(x-5)
=x-5
=x-25

ばんびさん、正解です!

和と差の積は 二乗の差
二乗の差は 和と差の積

を言えるようになるといいですね!

世界の色々な数字
  • 世界の色々な数字
  • マヤ文明の象形文字

世界には色々な数字があります。

ローマ数字は、ⅠⅡⅢ
漢数字は、一二三
アラビア数字は、123

右の画像の、顔のようなものは…マヤ文明の象形文字で数を表したものです。

  • (x-2)<sup>2</sup>は?

次の問題です!
(x-2) を乗法公式を使って展開しなさい。

あすみ「(x+2)は乗法公式の平方タイプで展開できるけど、(x-2)はできるのかな?」

湯浅先生「平方タイプの符号が-(マイナス)のときは、おまけの乗法公式ってのがあるんです!」

Step4 乗法公式のおまけ
  • 平方タイプを見比べよう

先ほど見た乗法公式の平方タイプと、「おまけ」の平方タイプのマイナスバ-ジョンを比べてみましょう。

どうして「おまけ」かというと、マイナスバージョンは上の画像のように、2箇所マイナスになっているだけなんです。

この公式を使って、(x-2)を展開します。

  • おまけの乗法公式に代入しよう
  • 次回もお楽しみに!

aにx、bに2を代入して…
(x-2)
=x-2x・2+2
=x-4x+4
となります。
乗法公式の平方タイプの符号が変わるだけですね。


アイク「式の展開どうだった?」

ばんび「最初わからなかった問題も解けたから楽しかった!」

あすみ「ばんびとがんばって解いたし、乗法公式もバッチリです!」

湯浅先生「これから勉強していく上で、式の展開は色々なところで出てきます。しっかり使いこなしましょう」

それでは、次回もお楽しみに!!

科目トップへ

制作・著作/NHK (Japan Broadcasting Corp.) このページに掲載の文章・写真および
動画の無断転載を禁じます。このページは受信料で制作しています。
NHKにおける個人情報保護について | NHK著作権保護 | NHKインターネットサービス利用規約

目的外の使用を禁止します

OK