こんにちは。しらこです。
前回のお話で、
掛け算の順序を考えることは、文章問題を解くのに役立つだろう
ということが分かりました。
そして今回は、
掛け算の順序は数学的にも大事だよ
というお話をします。
私
私的には、「数学的に大事」…っていう言葉の意味がよく分からんのだけど、こういう意味で大事なことが、「数学的に大事」っていうことなんだなぁ〜と思ったよ。
「掛け算の順序が数学的に大事」というのは、
"「掛け算を累加で定義すると掛け算が可換（交換可能）である」、という事が、自明ではない（当たり前ではない）"という意味において、掛け算の順序は数学的に大事だよ。という意味です。
掛け算の順序を守る事が、数学的に大事という意味ではありません。
おいたん
掛け算の順序を逆にしたら、結果が同じっていうのは、すぐに分からんよね？
私
え？分かるけど。
「2×3」も「3×2」も答え「6」じゃん。
（何言ってんの？）
「2×3」も「3×2」も答え「6」じゃん。
（何言ってんの？）
掛け算は入れ替えても答えが同じって、すぐ分かる？
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おいたん
それは「2×3」という数字が小さくて、すぐ計算出来ているからだよ。
じゃあ、2桁の掛け算の問題を出そう。
「41×17」と「17×41」の結果が同じになるって、一瞬で分かる？
じゃあ、2桁の掛け算の問題を出そう。
「41×17」と「17×41」の結果が同じになるって、一瞬で分かる？
私
えっ？？
41と17を入れ替えただけやん。答えが一緒になるに決まっとるやん。
（はぁ？何言っちゃってんの、この人？ますます意味分からんけど…）
41と17を入れ替えただけやん。答えが一緒になるに決まっとるやん。
（はぁ？何言っちゃってんの、この人？ますます意味分からんけど…）
（ここ、私が理解するのに一番苦労したところでした…）
「掛け算が可換（交換可能）である」と知っているに過ぎない
おいたん
それは、「掛け算を入れ替えても結果が同じ」ということを知っているだけ。
これから掛け算の勉強をしようとする人たちは、そんなことは知らないんだよ。
「41×17＝17×41」を証明するには、計算するでしょ？
これから掛け算の勉強をしようとする人たちは、そんなことは知らないんだよ。
「41×17＝17×41」を証明するには、計算するでしょ？
私
やっぱり、何言ってんのか分からない…
「41×17」と「17×41」は見た目は同じ？
おいたん
じゃあ、「41×17」と「17×41」は見た目は同じ？
「2×3」と「3×2」でもいいけど、これは、見た目は同じ？
「2×3」と「3×2」でもいいけど、これは、見た目は同じ？
私
（えっ？見た目？？）
（数字入れ替えただけでしょ？一緒じゃん！！）
同じ！！
（数字入れ替えただけでしょ？一緒じゃん！！）
同じ！！
おいたん
いやいや、違うやろ？
数字、入れ替わっとるやろ？？
数字、入れ替わっとるやろ？？
私
まぁ確かに数字は入れかわっとるけれども…
おいたん
ちょっと今、答えいくらになるか、計算してみて。
私
（電卓ポチポチ）
（どっちも）697！！
（どっちも）697！！
おいたん
今、電卓使ったでしょ？
電卓で、計算したでしょ？
「41×17」と「17×41」が同じ数になるか、電卓で「確認」したでしょ？
これ、掛け算を知らない人たちは、どうやって確認すると思う？
今、掛け算は足し算で定義しているから、１つずつ足していって、確認していくしかないんだよ。
電卓で、計算したでしょ？
「41×17」と「17×41」が同じ数になるか、電卓で「確認」したでしょ？
これ、掛け算を知らない人たちは、どうやって確認すると思う？
今、掛け算は足し算で定義しているから、１つずつ足していって、確認していくしかないんだよ。
【掛け算の順序2話目】で、「掛け算は累加（足し算）」と定義したので、「41×17」と「17×41」は、
↑こうなる。
この足し算、見た目が同じですか？一瞬で、計算できますか？
私
見た目は全然違うし、一瞬で計算もデキマセン…
計算してみて初めて「イコール」で結べる
おいたん
41×17を計算するとき、足し算してるでしょ？
掛け算を足し算で定義してるから、
「41×17」は、「41を17回」足して計算するんだよ。
答えが「697」だったね。
逆も同じ。「17を41回」足して、答えが「697」だと分かる。
「41×17」と「17×41」の、どちらも数えてみたら「697」と、数が同じになったから「＝」で結べたんだよ。
掛け算を足し算で定義してるから、
「41×17」は、「41を17回」足して計算するんだよ。
答えが「697」だったね。
逆も同じ。「17を41回」足して、答えが「697」だと分かる。
「41×17」と「17×41」の、どちらも数えてみたら「697」と、数が同じになったから「＝」で結べたんだよ。
私
なるほどね〜
おいたん
掛け算が可換（交換可能）って、どうやって知ったか覚えてる？
まず、九九を覚えるよね？その時に、九九の中の数字は、入れかえても答えが同じなんだな、と、知る。
九九の中の数字を入れかえても、「A×B=B×A」になってるから、「掛け算は交換可能」と思ってるに過ぎないんだ。
学校のドリルとかで何回もやっているうちに、「掛け算は数字を入れ替えても同じ答え（数字）が出てくる」と推測して、それが当たり前になる。
実際、掛け算は交換可能だしね。
だけど、A×B＝B×Aは本当に成り立つの？と言われたら、証明しないと分からないんだ。
まず、九九を覚えるよね？その時に、九九の中の数字は、入れかえても答えが同じなんだな、と、知る。
九九の中の数字を入れかえても、「A×B=B×A」になってるから、「掛け算は交換可能」と思ってるに過ぎないんだ。
学校のドリルとかで何回もやっているうちに、「掛け算は数字を入れ替えても同じ答え（数字）が出てくる」と推測して、それが当たり前になる。
実際、掛け算は交換可能だしね。
だけど、A×B＝B×Aは本当に成り立つの？と言われたら、証明しないと分からないんだ。
私
そっか〜。なるほどね〜。
私は、「掛け算が交換可能」って知っていて、それが当たり前だと思っていただけなんだねぇ〜。
私は、「掛け算が交換可能」って知っていて、それが当たり前だと思っていただけなんだねぇ〜。
おいたん
そうそう。
三角形の合同の問題で、「△ABCと△DEFが、合同になることを証明せよ」って言ってるのに、「合同になるのを知っているから、その三角形は合同になるに決まってる」って言っているようなもの。
三角形の合同の問題で、「△ABCと△DEFが、合同になることを証明せよ」って言ってるのに、「合同になるのを知っているから、その三角形は合同になるに決まってる」って言っているようなもの。
私
そっかぁ〜。
でもそれ、小学生には難しくない？
でもそれ、小学生には難しくない？
おいたん
それが実は…続く。
なるほどねぇ…
「知っている事」と、「証明する事」は、違うもんねぇ。。。
私は、「掛け算は入れかえ可能」っていう事実を、知っていただけなんだなぁ。
私
おいたんの言う、「それが実は〜」の続きの話が個人的には面白かったんだけど、そこは今回省いて、次は結論の話をします。
続きも見てね。
続きも見てね。
私
うつぼ屋さんと言えば、「坊っちゃん団子」。
だけど私は、坊っちゃん団子より、しょうゆ餅が好き。
美味しいよ。
だけど私は、坊っちゃん団子より、しょうゆ餅が好き。
美味しいよ。
私
ではまた〜！！
＜注意＞
これは、小2すん（息子）のテストが発端となり、おいたん（兄）から聞いた話が面白かったので、漫画にしているだけです。
学校教育に関する議論とは、無関係です。
![掛け算は[まとまりの数]×[個数]で計算している【掛け算の順序2話目】](https://snsnblog.com/wp-content/uploads/2021/12/1-2-e1639622802325-150x150.jpg)
