＞新しい文字zを使って積分するように言われて 細かなやりとりを私は知らないので、「新しい文字zを使え」の意味が分かりかねます。 一応、次のような解答が考えられます。 F(s)=∫_0^{π/2} arctan(s*tan(x))/tan(x) dx とおく。 枠内の定理により (d/ds)F(s)=∫_0^{π/2} (∂/∂s)arctan(s*tan(x))/tan(x) ds =∫_0^{π/2} 1/(1+s^2*tan^2(x)) dx =(π/2)・1/(s+1) …① ①の計算をするときに、 z=s*tan(x) と置け、という意味かもしれませんね。 実際、このように置換すると ∫_0^{π/2} 1/(1+s^2*tan^2(x)) dx=s∫_0^∞ 1/(1+z^2)(s^2+z^2) dz となり、あとは 1/(1+z^2)(s^2+z^2)=(1/(s^2-1)){1/(1+z^2)-1/(s^2+z^2)} と、部分分数分解を行えばよいでしょう。 なお、s=1 に対しては、s^2-1 が分母に来てはまずいですが、直接 ∫_0^{π/2} x/tan(x) dx を部分積分で計算すればいいでしょう。 ①の続き： よって、 F(s)=(π/2)log(s+1)+C F(0)=0 だから、C=0 ∴ ∫_0^{π/2} arctan(s*tan(x))/tan(x) dx=(π/2)log(s+1)